談數(shù)學中分類討論解題的幾種情況

張友聰

【摘要】用分類討論法解答的數(shù)學題目，往往具有較強的邏輯性、綜合性和探索性，既能全面考查學生的數(shù)學能力又能考查學生的思維能力，分類討論問題充滿了數(shù)學辨證思想，它是邏輯劃分思想在解決數(shù)學問題時的具體運用。

【關鍵詞】初中數(shù)學 分類討論解題

初中數(shù)學中的分類討論問題往往是學生不容易掌握好的一類問題，在研究幾何問題時，由于圖形的變化（圖形位置不確定或形狀不確定）引起幾何問題結果有多種可能，就需要分類討論，在這里對常見的幾種情況進行歸納：

一、高

方法一：由于三角形的高可在三角形的內(nèi)部、外部或與邊重合，所以在解決問題時常常將三角形分成銳角三角形、直角三角形和鈍角三角形。

例1為了美化環(huán)境，計劃在小區(qū)內(nèi)用120m2的草皮鋪設一塊一邊長為20的等腰三角形綠地，請求出這個三角形的另兩條邊長。

分析：由題中已知一邊長20m的等腰三角形，可分為底邊長為20m或腰長為20m兩種情況，如圖1由底邊長為 20m和面積為由腰長為20m和面積為120m2分析時難度較大，需考慮將三角形分成銳角三角形、直角三角形和鈍角三角形，直角三角形的情況不成立，可分別得到圖2和圖3兩種情況來研究。

方法二：比例尺畫圖法

例2小剛玩拼圖游戲，所拼成的圖形是一個三角形，量得兩邊長分別為20cm、25cm，第三邊上的高為15cm，請你幫助他計算這個圖形的面積。

在教學中我不僅要求學生掌握這種分類方法，同時還要求學生按條件用比例尺畫圖，并深入思考畫圖的步驟，使學生不僅從表面上明白畫兩種情況的圖形，還能分析出為什么要畫兩種情況，讓學生思考可否先畫一條直線上的高長為15cm，然后用刻度尺在高的同側及異側畫出長度為20cm和25cm的線段，這樣的圖形準確無誤更利于學生進一步的思考。

例3有一塊梯形菜地，上底、下底不能直接測量，但可測量梯形的高為12m，梯形的兩條對角線長分別為15m和20m，試求這塊地的面積。

此題相對上題難度更大一些，我引領學生不要急于解決問題，而是思考怎樣才能畫出符合條件的圖形，由于有了上題的提示學生能有一些嘗試，已經(jīng)學會了這種分析問題的方法，我引導學生可否先畫出距離為12的兩條平行線，分別在高的同側和異側畫出兩條對角線，同學們紛紛動手畫圖，研究問題的氛圍非常濃厚，我想這才是我們要達到的目的。

二、截圖問題

題型相對簡單，考查知識點為相似三角形的性質(zhì)及相似三角形對應高的比等于相似比等、常見題型有：

1.直角三角內(nèi)截等邊三角形

例4在ABC中，∠C=90°，BC=15，AC = 20，以C為頂點，作一個等邊三角形，其他兩個頂點在ΔABC的邊上，求這個等邊三角形的邊長。

2.直角三角形內(nèi)截正方形

例5在△ABC中，∠C=90°，BC=15，AC=20，作一個正方形，使它的四個頂點都上三角形的邊上，求正方形的邊長。

3.直角三角形內(nèi)截矩形

例6為了節(jié)省資金，小明的爺爺將一塊兩直角邊長分別為30cm和40cm的直角三角形廢鏡片割成一塊長與寬的比為3：2的小長方形鏡片，為小明做了一個精美的小鏡子，（要求長方形的各個頂點均在直角三角形的邊上），請你計算一下長方形鏡片的長與寬各為多少厘米？

4.正方形內(nèi)截直角三角形

例7正方形ABCD的邊長為4，點E、F分別在正方形的邊上（點E、F不與頂點重合），△AEF是斜邊等于5的直角三角形，且∠EAF≠90°，求BE的長。

5.正方形內(nèi)截等腰梯形

例8在邊長為了8的正方形內(nèi)截一個上底為4，下底為6的等腰梯形，其各頂點在正方形的邊上，求截得的等腰梯形的面積。

6.矩形內(nèi)截等腰三角形

例9矩形ABCD中，AB=8，BC=25，點O在BC邊上，BO=7，點M在線段OC上且OM=8，以OM為一邊作等腰△OMP，使點P在矩形的一邊上，求AP的長。

7.梯形內(nèi)截等腰三角形

例10（2008.黑龍江）有一底角為60°的直角梯形，上底長為10cm，與底垂直的腰長為10cm，以上底或與底垂直的腰為一邊作三角形，使三角形的另一邊長為15cm，第三個頂點落在下底上，請計算所作的三角形的面積。

在解題時，我抓住畫圖是解題的關鍵這一特點，讓學生掌握內(nèi)部截等邊三角形時分別以現(xiàn)有圖形的各邊為作等邊三角形，內(nèi)部截正方形時分別以直角邊和斜邊為邊作正方形，內(nèi)部截等腰梯形時要考慮它的軸對稱性分別在邊和對角線上研究。

三、外拼問題：

1.等邊三角形外拼等腰三角形

例11張大爺家的耕地為四邊形ABCD，∠BAD=105°，AB=20m，若張大爺沿對角線AC把地分給兩個兒子，其中耕地ABC恰好為等邊三角形，另一塊耕地△ ADC恰好為等腰三角形，求耕地ADC的面積。

2.等腰直角三角形外拼等腰直角三角形

例12（2010.黑龍江）RtΔABC中，∠BAC=90°，AB=AC=2，以AC為一邊，在△ABC外部作等腰直角三角形ACD，則線段BD的長為多少？

3.直角三角形外拼直角三角形構成等腰三角形

例13（2009.黑龍江）有一塊直角三角形的綠地，量得兩直角邊長分別為6m、8m，現(xiàn)在要將綠地擴建成等腰三角形，且擴充部分是以8m為直角邊的直角三角形，求擴建后，等腰三角形綠地的周長。

4.直角三角形外拼直角三角形構成相似圖形

例14有一塊直角三角形綠地，它的兩條直角邊長分別為3m和4m，現(xiàn)要將其擴充成四邊形，擴充部分是以4m為一邊的直角三角形，且與原直角三角形相似，試求擴充后的四邊形的面積。

數(shù)學中的分類討論思想是一種比較重要的數(shù)學思想，通過加強數(shù)學分類討論思想的訓練，有利于提高學生對學習數(shù)學的興趣，培養(yǎng)學生思維的條理性、填密性、科學性，這種優(yōu)良的思維品質(zhì)對學生的未來必將產(chǎn)生深刻和久遠的影響。