MIMO雷達協(xié)方差矩陣重構(gòu)波束形成算法

譚志浩， 金 偉， 賈維敏， 周淑華

(1.火箭軍工程大學(xué)，西安 710025； 2.火箭軍青州士官學(xué)校，山東 青州 262500)

0 引言

與傳統(tǒng)相控陣雷達相比，集中式MIMO(Multiple Input Multiple Output)雷達擁有更高的目標分辨能力和更好的參數(shù)辨識能力[1-2]。波束形成目的是將目標成分進行加權(quán)增益，同時抑制干擾降低噪聲，獲得高輸出SINR性能。近年來，大量的穩(wěn)健自適應(yīng)波束形成算法被提出，主要可以分為兩大類：一類致力于獲得精確的聯(lián)合導(dǎo)向矢量[3-8]；另一類力圖獲取更為準確的協(xié)方差矩陣[9-14]。前者在聯(lián)合導(dǎo)向矢量失配較小時，可以獲得很好的性能，但在大失配誤差情形下魯棒性變差；而后者實質(zhì)上是基于最小方差無失真響應(yīng)(MVDR)波束形成器原理，對各類任意失配誤差，特別是大失配誤差情形，均具有較強的魯棒性，因而成為該領(lǐng)域的研究熱點之一。文獻[9]提出的基于Capon空間譜估計法對協(xié)方差矩陣重構(gòu)(Reconstruction Based，RB)算法，對失配誤差具有較強的魯棒性，但是在選取干擾角域時顯得過于“寬松”。文獻[10]從縮窄干擾角域和環(huán)不確定集約束誤差(Narrowing the Interference Angular Domain and Annular Uncertainty Set,NIAD-AUS)兩個方面對RB算法進行了改進。雖然NIAD-AUS算法對任意失配誤差均具有很強的魯棒性，但是其計算復(fù)雜度過高，不適合大規(guī)模MIMO雷達系統(tǒng)。

因此，本文提出BI-KMC(Bilateral K-means)算法，從兩方面修正失配誤差模型：一方面基于雙邊約束的方式，在發(fā)射端和接收端分別建立導(dǎo)向矢量誤差集，然后獲取離散的聯(lián)合導(dǎo)向矢量失配誤差集；另一方面基于小不確定集模型結(jié)構(gòu)特點，提出用K-means聚類算法獲取少量加權(quán)特征采樣點來代替原先大量的離散采樣點，在保證算法高輸出SINR性能的同時，盡可能降低計算復(fù)雜度。

1 基本概念

假定空間中存在包含目標在內(nèi)的k個信號，則接收端信號可以表示為

(1)

式中：θi為第i個信號的方向角；at(θi)和ar(θi)分別為發(fā)射導(dǎo)向矢量和接收導(dǎo)向矢量。對式(1)進行分析不難發(fā)現(xiàn)，接收信號包含信號、干擾和噪聲3方面成分，則式(1)可以重寫為

(2)

式中，ai為第i個信號的聯(lián)合導(dǎo)向矢量。因此，協(xié)方差矩陣可以表示為

(3)

同樣，協(xié)方差矩陣也可以對應(yīng)地分成3方面成分，即

(4)

(5)

基于空間譜估計方法，文獻[10]提出的NIAD-AUS算法采用不確定環(huán)集來約束失配誤差。由于構(gòu)造干噪?yún)f(xié)方差矩陣，因此干擾方向的信息顯得尤為重要，為了保證算法性能，需要對干擾的聯(lián)合方向矢量進行誤差建模約束。與之前單一目標約束稍有不同，這里的干擾方向是一個角域，所以直接采用大不確定集對干擾方向失配誤差進行約束的效果并不理想。因此，NIAD-AUS算法提出將干擾角域進行離散化處理，對于每一采樣角方向上，采用相同半徑的小不確定集作為大不確定環(huán)集的估計來進行約束。實際上，這種約束方式通過離散化處理，使干擾角域的各類誤差被包含在多個小不確定集組成的不確定環(huán)集中，即小不確定集代替大不確定集來約束失配誤差，則干噪?yún)f(xié)方差矩陣可表示為

(6)

(7)

式中，?Sa為小不確定集的表面。然而，即使是面積分，計算復(fù)雜度仍然較高。為降低小不確定集帶來的計算復(fù)雜度，NIAD-AUS算法對小不確定集也采取離散化處理，即在小不確定集表面選取大量采樣點作為不確定集的估計，則干擾協(xié)方差矩陣可以通過下式求解獲得

(8)

式中：I為干擾角域的離散角個數(shù)；L為單個方向角對應(yīng)不確定集表面的采樣點數(shù)。NIAD-AUS算法基于陣元數(shù)M，給出了不確定集表面選點個數(shù)L的選取方式。假定選點因子n0=2,3，…，則選點個數(shù)可以取為

(9)

2 BI-KMC算法

NIAD-AUS算法的計算復(fù)雜度為O(LIM2)，由式(9)可以發(fā)現(xiàn)，其計算復(fù)雜度會隨著陣元數(shù)增加呈指數(shù)增長，不適用于虛擬陣元數(shù)較高的MIMO雷達系統(tǒng)。因而，從算法計算復(fù)雜度來源出發(fā)，基于此，提出修正失配誤差模型來提升算法性能。

2.1 計算復(fù)雜度分析

不難發(fā)現(xiàn)，NIAD-AUS算法對不確定集表面采樣選點數(shù)的約束顯得太過“寬松”。實際中的任意誤差模型可以用一個等效聯(lián)合失配誤差表征，即存在幅度和相位兩方面的影響。為了能有效地約束任意失配誤差，在不確定集表面的選點可以進行均勻選取，則該離散失配誤差集可以表示為

(10)

為直觀地說明這個問題，用圖1進行闡述。圖1所示為不確定集的三維空間圖，即陣元數(shù)為3的情形。在該情形下，不確定集的幾何特征為球集，而NIAD-AUS算法提出的選點個數(shù)為8，這8個點是立方體的頂點。不難發(fā)現(xiàn)，選用離散點集的方式實際上是用與球集同心的立方體來表征的。事實上，在三維空間中，一個球面只需要4個非共面的點就可以準確描述。所以，從這一點上而言，NIAD-AUS算法描述球面選擇8個點有些“冗余”，且選點的均勻性要求顯得約束過緊。

圖1 失配誤差模型修正示意圖Fig.1 The schematic diagram of modified mismatch model

這種因為選點數(shù)的增加造成的“信息冗余”在算法性能上不會帶來不良影響，但會造成算法計算復(fù)雜度的浪費。還是以圖1進行闡釋，球面的描述可以有多種方式，8個均勻點、4個均勻點、4個非均勻點都可以描述。采樣點數(shù)限制的是計算復(fù)雜度，而采樣點的位置選取則顯示算法的靈活性。為了有效地降低算法的計算復(fù)雜度，在選取采樣點時，應(yīng)當盡量選取最少的特征采樣點來對球面的結(jié)構(gòu)進行表征。

2.2 失配誤差模型

事實上，RB算法和NIAD-AUS算法的不確定集選取方式，可以從失配誤差模型角度進行分析。不確定集的提出，實際上就是對約束范圍容錯機制的建立。RB算法對干擾角域的離散化，使干擾方向可以在干擾角域內(nèi)均具有較強的魯棒性。從誤差失配模型來看，RB算法的誤差失配模型在角度維上，由最初的單點約束轉(zhuǎn)化為曲線約束。NIAD-AUS算法則在此基礎(chǔ)上對失配誤差進一步修正，將曲線約束離散點轉(zhuǎn)化為高維矢量約束，相當于將失配誤差模型由二維向高維拓展。但這種失配誤差模型不斷修正的過程，也是計算復(fù)雜度不斷增加的過程。在實時性要求較高的情形中，需要對失配誤差模型進行再修正，即在算法性能與計算復(fù)雜度之間尋找到一種折中。NIAD-AUS算法對單點不確定集表面采取有限均勻采樣點的方法，實際上就是對失配誤差模型的一種修正，即采用低計算量的估計值來描述不確定集的本質(zhì)特征。

本文則充分發(fā)掘MIMO雷達雙邊優(yōu)勢，對失配誤差分別進行約束，這其實是將聯(lián)合失配誤差模型分解為兩個單邊失配誤差模型，即發(fā)射失配誤差模型和接收失配誤差模型，實現(xiàn)對誤差失配更精確的建模。這種失配誤差模型的修正是由MIMO雷達系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)特點決定的。聯(lián)合導(dǎo)向矢量一般是Kronecker積的形式，無論是發(fā)射還是接收導(dǎo)向矢量，兩者的小失配誤差就可能造成大失配誤差的情形，而修正后的雙邊失配誤差建模的方式可以有效提升該情形下的魯棒性。

除此之外，選用少量特征采樣點來描述單點不確定集表面，也是對失配誤差模型的一種修正。此時，與PC算法[9]相似，本文不再致力于將所有失配誤差情形完全包含在內(nèi)，而是允許少數(shù)的誤差矢量被“遺漏”的情形，當然這種“遺漏”只是極少數(shù)的情形。選用盡可能少的特征點來表征高維不確定球面，可能會出現(xiàn)對不確定集的描述不能完全表征的情形，但這是由于離散采樣點集作為球面估計所帶來的問題，在NIAD-AUS算法中亦存在。因此，這種失配誤差模型修正是在部分性能損失下的對NIAD-AUS失配誤差模型的一種改進。值得注意的是，這種性能損失幾乎是可以忽略不計的。

2.3 BI-KMC算法

結(jié)合MIMO雷達系統(tǒng)結(jié)構(gòu)特點，上一節(jié)提出了采用雙邊約束的方式對失配誤差進行約束。由于發(fā)射端和接收端可以認為是等效的，因此，本節(jié)以接收端為對象，對誤差模型進行研究。此時，就單邊而言，優(yōu)化模型可以退化為普通的陣列信號處理過程。顯然，小不確定集點數(shù)直接決定算法的計算復(fù)雜度。

但是，在降低小不確定集點數(shù)時需要注意兩方面的問題：一是點數(shù)應(yīng)當盡可能的少；二是點數(shù)必須具有代表性，可以有效描述不確定球集的特征。事實上，這兩方面也就是算法的兩個方面，前者是力圖算法收斂更快，后者是力圖獲得較高的魯棒性。不難發(fā)現(xiàn)，修正后的小不確定集表面實際上就是一個高維凸球集，因此本文考慮選擇更少、更有效的加權(quán)采樣點來表征其結(jié)構(gòu)。

在數(shù)據(jù)挖掘中，聚類算法被認為是無監(jiān)督學(xué)習中最重要的算法，而聚類就是致力于在一堆無標記數(shù)據(jù)中，發(fā)掘出一個結(jié)構(gòu)來進行表征，這一點正是在選取加權(quán)特征采樣點時所需要的。因此，可以利用聚類算法獲取加權(quán)特征采樣點，從而較好地解決性能與復(fù)雜度之間的矛盾。

KMC(K-means Clustering)算法是最經(jīng)典的聚類算法之一。本文采用KMC算法就在于其相對簡單和高效。KMC算法目標函數(shù)在于使數(shù)據(jù)群內(nèi)平方和最小化，這種平方和實際上就是歐氏距離，即

(11)

式中：k為聚類中心個數(shù)；el為第l個采樣點；ci為第i個聚類中心。利用式(11)可以對NIAD-AUS算法的2M個點進行加權(quán)，獲得k個特征采樣點，從而有效地減少干擾協(xié)方差矩陣重構(gòu)的采樣點數(shù)，使重構(gòu)過程的計算復(fù)雜度大大降低。實際上，由于采用KMC算法，可以發(fā)掘出初始采樣點的結(jié)構(gòu)特點，在魯棒性方面所提算法和NIAD-AUS算法是相當?shù)摹?/p>

分析算法復(fù)雜度，所提算法復(fù)雜度除NIAD-AUS算法的兩方面來源外[10]，KMC聚類過程也是重要來源。若KMC算法迭代次數(shù)為t，則其復(fù)雜度為O(tkLM)。對陣元數(shù)較大情形，KMC算法是所提算法復(fù)雜度的決定因素。不難發(fā)現(xiàn)，由于失配誤差模型結(jié)構(gòu)相對簡單，只需要1次迭代就可以選取出合適的加權(quán)特征點，算法計算復(fù)雜度較低。

從信息發(fā)掘方面來分析，傳統(tǒng)的采樣協(xié)方差類矩陣，只是利用數(shù)據(jù)的相關(guān)性進行的求解過程，這種方式?jīng)]有更充分地利用先驗知識，如干擾的大致方向等，因而在算法性能提升方面有所限制。而干擾協(xié)方差矩陣重構(gòu)類算法則充分利用先驗知識，對數(shù)據(jù)內(nèi)的信息進一步發(fā)掘，因而算法的魯棒性更強。

3 仿真結(jié)果與分析

圖2給出了不同SNR條件下各算法的性能對比，從中可以看出，RB算法在高SNR條件下可以獲得很強的魯棒性，但是在低SNR時，干擾角域過多的無效角導(dǎo)致算法性能的損失，而其他算法則在高SNR時魯棒性較差。本文提出的BI-KMC算法在SNR為-30～10 dB時，可以始終獲得最優(yōu)的輸出SINR性能。圖3所示為當SNR為-5 dB時，不同快拍數(shù)下各算法的性能對比，從中可以看出，當快拍數(shù)為150時，所提算法就能獲得最優(yōu)輸出性能，且輸出SINR始終最高。而LSMI算法基本失效，RCB算法、WC算法和BI-QCQP算法則在快拍數(shù)從100到500過程中，輸出SINR存在不同程度的提升。換言之，所提算法對快拍數(shù)依賴度較小。

圖2 不同SNR下的SINR性能比較Fig.2 The output SINRs versus the input SNRs

圖3 不同快拍數(shù)下的性能比較Fig.3 The output SINRs versus the number of snapshots

圖4所示為僅存在方向角度估計誤差條件下各算法的性能對比，從中可以看出，各算法對方向角估計誤差均具有一定的魯棒性，而BI-KMC算法的魯棒性最強，在失配誤差為4°以內(nèi)時，始終能獲得最優(yōu)輸出SINR。其他算法性能則隨著方向角失配誤差的增大有不同程度的下降，其中，WC算法和RCB算法下降速度較快。

為了進一步研究算法對各類失配誤差的魯棒性，在仿真過程中，假定聯(lián)合導(dǎo)向矢量的每個元素被均值為0、方差為0.04的復(fù)高斯分布成分“污染”，在此基礎(chǔ)上對方向角估計誤差進行研究。

圖4 僅存在角度估計誤差下的性能比較Fig.4 The output SINRs versus the direction errors

圖5為任意失配誤差條件下的性能比較，從中明顯看出，LSMI算法、WC算法和RCB算法利用采樣協(xié)方差矩陣的方式，導(dǎo)致算法對于任意失配誤差的魯棒性較差。BI-QCQP算法雖然對方向角度估計誤差并不敏感，始終能保證較高的性能，但是在任意失配誤差的條件下，其輸出SINR性能較差。而基于協(xié)方差矩陣重構(gòu)類算法，由于對采樣協(xié)方差矩陣中的數(shù)據(jù)進行了信息發(fā)掘，因而其魯棒性有所提升。RB算法由于干擾角域選取過寬，因此其魯棒性并不穩(wěn)定，即出現(xiàn)了“偏折”的現(xiàn)象，而所提的BI-KMC算法縮窄了干擾角域，并對失配誤差模型進行多次修正，因而對于任意失配誤差均具有較強的魯棒性。

圖5 任意失配誤差條件下的性能比較Fig.5 The output SINRs versus the random errors

圖6和圖7所示分別為各算法的歸一化方向圖和局部放大圖。從圖6可以看出，所提算法(BI-KMC)在兩個干擾處形成了零限，而且零限更深更寬，事實上，這也是所提算法高性能的根本原因。BI-KMC算法除了獲得較為準確的聯(lián)合導(dǎo)向矢量估計值外，還著重增強對干擾的抑制能力。在實際工程應(yīng)用中，不僅目標信號的方向矢量會出現(xiàn)失配誤差，干擾的方向矢量也存在一定的失配誤差，所提算法在重構(gòu)干擾協(xié)方差矩陣時，使用干擾角域和小不確定球集來對干擾進行約束，因而對干擾具有很強的抑制能力。

圖6 各算法歸一化方向圖Fig.6 The normalized beam patterns

圖7 歸一化方向圖局部放大圖

4 結(jié)束語

針對高性能與低計算復(fù)雜度間的矛盾，本文提出BI-KMC算法對失配誤差模型進行修正：一方面基于雙邊約束的方式，在發(fā)射端和接收端分別建立單邊導(dǎo)向矢量誤差集，然后獲取離散的聯(lián)合導(dǎo)向矢量失配誤差集；另一方面基于小不確定集模型結(jié)構(gòu)特點，提出用K-means聚類算法獲取少量加權(quán)特征采樣點來代替原先大量的離散采樣點，減少協(xié)方差矩陣重構(gòu)所需采樣點數(shù)，從而降低計算復(fù)雜度。仿真實驗表明，所提算法在失配誤差較大情形下具有很強的魯棒性，且輸出SINR性能達到最優(yōu)。