復(fù)指數(shù)函數(shù)的定義及歐拉公式的教學(xué)探討

高 杰 笪 誠(chéng) 朱仁義

（巢湖學(xué)院，安徽 合肥 236148）

1 引言

歐拉公式在《復(fù)變函數(shù)與積分變換》[1]課程中具有十分重要的地位，在定義復(fù)指數(shù)函數(shù)后，應(yīng)用歐拉公式直接給出對(duì)數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、三角函數(shù)以及反三角函數(shù)的定義，從而將初等函數(shù)從實(shí)數(shù)域擴(kuò)展到復(fù)數(shù)域。但在給出復(fù)指數(shù)函數(shù)定義之前，并沒(méi)有說(shuō)明為什么f（z）=ex（cosy+isiny）就是復(fù)數(shù)域上的指數(shù)函數(shù)。與此同時(shí)，在歐拉公式：eiθcosθ+isinθ中，等式的左邊是復(fù)指數(shù)函數(shù)，等式的右邊是余弦函數(shù)和正弦函數(shù)；復(fù)指數(shù)函數(shù)怎么會(huì)和余弦函數(shù)與正弦函數(shù)之間存在關(guān)系？這是學(xué)生在學(xué)習(xí)過(guò)程中一定會(huì)有的疑惑，也是教師在教學(xué)過(guò)程中必須要說(shuō)明的問(wèn)題。

正因?yàn)樵诮虒W(xué)過(guò)程中，復(fù)指數(shù)函數(shù)的定義交代不夠清楚，導(dǎo)致學(xué)生在理解上存在偏差，給復(fù)變函數(shù)后續(xù)章節(jié)以及其他課程的學(xué)習(xí)帶來(lái)一定的障礙。

2 復(fù)指數(shù)函數(shù)定義

眾所周知，在實(shí)數(shù)域中指數(shù)函數(shù)被定義為y=ax（其中a＞0且a≠1一切實(shí)數(shù)），當(dāng)a取值為自然數(shù)e時(shí)，我們得到工程中常用的指數(shù)函數(shù)y=ex（本文中提到的指數(shù)函數(shù)，如不加說(shuō)明均是以e為底），該指數(shù)函數(shù)滿足以下幾個(gè)條件：

i.定義域內(nèi)是連續(xù)函數(shù)

ii.（ex）′=ex，e0=1

iii.ex滿足指數(shù)律：

若能構(gòu)造一個(gè)復(fù)函數(shù) f（z） =u（x，y） +i（x，y），其中 z=x+iy 為復(fù)數(shù)，使其滿足以下條件：

iv.f（z）在復(fù)平面上處處解析

v.f′（z）=f（z），f（0） =1

vi.f（z）滿足指數(shù)律： f（z1+z2） =f（z1） f（z2）即

vii.當(dāng) Im（z）=0 時(shí)，f（z）=ex

那么這個(gè)函數(shù)f（z）就可以定義為是復(fù)變量z的指數(shù)函數(shù)，并把它記作：f（z）=ez，下面我們?cè)噲D找到能夠滿足題設(shè)條件iv-vii的函數(shù)f（z）。

首先由條件 iv，假設(shè)定義在復(fù)平面上的解析函數(shù) f（z） =u（x，y） +i（x，y）（其中 z=x+iy），則由解析函數(shù)的充要條件知：

由條件v和（1）式，可得以下微分方程組：

由方程中①和②不妨設(shè)方程組（2）的通解為：

其中的φ（y）和φ（y）是關(guān)于y的實(shí)函數(shù)，代入③和④中，解得：

代入初始條件 f（0）=1，得：

即有：

則滿足條件iv和v的解析函數(shù)（1）的表達(dá)式應(yīng)為：

下面驗(yàn)證（3）式是否滿足條件vi和vii？

首先，設(shè)有兩個(gè)復(fù)變數(shù)： z1＝ x1+iy1，z2＝ x2+iy2，則由（3）式可得：

可知 f（z）滿足條件 vi。

其次，當(dāng)Im（z）=0即y=0，則（3）式退化為實(shí)數(shù)域的指數(shù)函數(shù)：

可知 f（z） =ex滿足條件 vii。

因此，（3）式即可作為指數(shù)函數(shù)從實(shí)數(shù)域推廣到復(fù)數(shù)域后的定義，記為：

需要指出兩點(diǎn)：第一，定義式中第一個(gè)等式也可以寫(xiě)成exp（z），ez沒(méi)有冪的意義，是一個(gè)數(shù)學(xué)符號(hào)，為了與實(shí)數(shù)域中的指數(shù)函數(shù)表達(dá)方式統(tǒng)一并簡(jiǎn)化表達(dá)式和運(yùn)算，其中的e嚴(yán)格意義上并不代表實(shí)數(shù)域中的自然數(shù)；第二，復(fù)指數(shù)函數(shù)除了有iv—vii的性質(zhì)外，同時(shí)也具備在實(shí)數(shù)域中沒(méi)有的性質(zhì)，比如：周期性，周期為2kπi（其中：k∈Z）。至此，在不引入復(fù)分析概念的情況下，從已知的實(shí)數(shù)域指數(shù)函數(shù)的定義和性質(zhì)出發(fā)，給出復(fù)指數(shù)函數(shù)為何具有如此形式的定義式。

3 歐拉公式的可視化

其中 z為任意的復(fù)數(shù)[7]。由（5）式，以純虛數(shù)為例，分別考察 eπi和 e2πi，可得：

圖1 eπi數(shù)值逼近過(guò)程

圖2 e2πi逼近過(guò)程

由（5）式的逼近過(guò)程可知：eiθ可代表復(fù)平面單位圓周上的任意一點(diǎn)，θ即為該點(diǎn)與實(shí)軸正半軸的夾角。由表達(dá)式（4），若假設(shè)z為純虛數(shù)iθ，則有：

表達(dá)式（6）即為歐拉公式。其圖像如圖3所示：

圖3 歐拉公式的可視化描述

在復(fù)平面上，單位圓周上的任一點(diǎn)A，其位置可以用虛指數(shù)函數(shù)eiθ來(lái)表示，其中θ為A的輻角主值，可以看出與上述數(shù)值模擬的逼近過(guò)程一致。

進(jìn)一步，推廣到整個(gè)復(fù)平面，對(duì)于復(fù)平面上任意一點(diǎn)z=x+iy，可以表示為：

分別對(duì)應(yīng)于復(fù)數(shù)的指數(shù)和三角形式，其中r為z的模，θ為z的輻角

至此，對(duì)于任意復(fù)指數(shù)函數(shù)f（z）＝az（其中a＞0且a≠ 1一切實(shí)數(shù)，z為一切復(fù)數(shù)），有：

其對(duì)應(yīng)復(fù)平面上模為ax，輻角主值為ylna的點(diǎn)。

4 教學(xué)探討

由于教材中直接給出復(fù)指數(shù)函數(shù)定義式，進(jìn)而引入歐拉公式，沒(méi)有指出定義的來(lái)歷，很大程度上影響學(xué)生對(duì)復(fù)變函數(shù)及歐拉公式的理解。鑒于以上情況，建議在教學(xué)過(guò)程中從以下幾個(gè)方面加以展開(kāi)：

4.1 還原知識(shí)發(fā)現(xiàn)的過(guò)程

歐拉通過(guò)嚴(yán)格的推導(dǎo)發(fā)現(xiàn)了eiθ=cosθ+isinθ的關(guān)系，要知道在歐拉的時(shí)代，還沒(méi)有復(fù)數(shù)概念，這不能不說(shuō)是歐拉的偉大所在。隨著數(shù)的范圍由實(shí)數(shù)擴(kuò)展到復(fù)數(shù)后，特別是高斯等人將復(fù)數(shù)與復(fù)平面上的點(diǎn)對(duì)應(yīng)起來(lái)，有關(guān)的復(fù)變函數(shù)理論才得以建立。在理論建立的過(guò)程中，人們自然要提出一個(gè)問(wèn)題：實(shí)數(shù)域的初等函數(shù)，如：指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、三角函數(shù)等，推廣到復(fù)數(shù)域后是什么？本著樸實(shí)、簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)思維，自然希望上述函數(shù)推廣到復(fù)數(shù)域后，仍然有和實(shí)數(shù)域中類似甚至一樣的運(yùn)算性質(zhì)。本文即按照這一思路，從運(yùn)算性質(zhì)入手，給出復(fù)指數(shù)函數(shù)應(yīng)該被定義成何種表達(dá)式。

4.2 尊重知識(shí)的認(rèn)知過(guò)程

學(xué)生開(kāi)始接觸復(fù)指數(shù)函數(shù)，對(duì)于復(fù)數(shù)的指數(shù)冪在理解上存在一些困難，特別是對(duì)于eiθ，受到實(shí)數(shù)域中指數(shù)函數(shù)定義的影響，首先想到的是這個(gè)指數(shù)冪的值是多少？此時(shí)，需要向?qū)W生們明確兩點(diǎn)：首先，此處的eiθ之所以寫(xiě)成e的指數(shù)冪的形式，是為了與實(shí)數(shù)域的指數(shù)函數(shù)在表達(dá)式上統(tǒng)一，是一個(gè)記號(hào)，并沒(méi)有冪的意義；其次，這也是正是歐拉公式的意義所在，通過(guò)歐拉公式建立了虛指數(shù)函數(shù)與三角函數(shù)之間的聯(lián)系，讓復(fù)指數(shù)的運(yùn)算成為可能，并具有和實(shí)數(shù)域指數(shù)函數(shù)有近乎一樣的運(yùn)算性質(zhì)。

4.3 注重新舊知識(shí)的融會(huì)貫通

引導(dǎo)學(xué)生回顧《高等數(shù)學(xué)》中的重要極限，由e的定義出發(fā)，通過(guò)數(shù)值模擬的方法，直觀的給出eiθ在復(fù)平面上的圖像；同時(shí)，也可以利用級(jí)數(shù)展開(kāi)知識(shí)，分別將eiθ，cosθ，sinθ展開(kāi)成泰勒級(jí)數(shù)形式，他們之間也是滿足：eiθ=cosθ+isinθ。