復雜地震波場的自適應流預測插值方法

劉 一，劉 財，劉 洋，勾福巖，李炳秀

吉林大學地球探測科學與技術學院,長春 130026

0 引言

地震數(shù)據(jù)在采集過程中總是表現(xiàn)出空間不連續(xù)性：一方面是由于實際勘探環(huán)境非常復雜，如村莊、河流等障礙物的存在造成觀測系統(tǒng)的改變；另一方面是由于經(jīng)濟因素的制約，造成檢波器和炮點不可能連續(xù)布置，使地震數(shù)據(jù)缺失。但是完整的地震數(shù)據(jù)是許多重要處理方法的前提，如表層相關多次波消除、波動方程偏移和時移地震等。常規(guī)的地震數(shù)據(jù)插值方法往往對地震數(shù)據(jù)的平穩(wěn)性要求較高，如地震同相軸為平穩(wěn)平面波假設，但地震數(shù)據(jù)本質(zhì)上是非平穩(wěn)的，開發(fā)能夠有效解決非平穩(wěn)復雜波場的缺失數(shù)據(jù)重建問題具有重要意義。

預測濾波器在地震數(shù)據(jù)處理和分析中具有重要的作用，例如在地震數(shù)據(jù)反褶積[1]和壓制隨機噪聲[2-3]等方面。預測濾波器可以有效地表征地震數(shù)據(jù)能量譜[4-5]，為解決地球物理反演問題提供了一種有效的近似估計方法，也為恢復缺失的地震信息指明了方向。地球物理學者對預測濾波器的研究取得了一定的進展。預測濾波器的本質(zhì)是信號自回歸，在時間-空間域和頻率-空間域都具有適用性，而時間-空間域的濾波能夠避免出現(xiàn)假頻現(xiàn)象[6]。可以利用預測誤差濾波器(由預測濾波系數(shù)構成)的尺度縮放不變性計算反空間假頻地震傾角模式，對缺失的地震數(shù)據(jù)進行反假頻插值[7]。

隨著勘探區(qū)域地下介質(zhì)復雜性的增加，地震信號的非平穩(wěn)性往往也愈加明顯，如何將傳統(tǒng)的平穩(wěn)預測濾波處理方法應用到非平穩(wěn)數(shù)據(jù)是一個重要的研究方向。常規(guī)的解決方式將數(shù)據(jù)進行重疊時窗處理，或者假設數(shù)據(jù)是局部平穩(wěn)[8-9]。Fomel[10]提出了基于整形正則化算子的非平穩(wěn)自回歸方法，并用于解決地球物理反演問題，其擴展可應用于時頻分析和非平穩(wěn)多項式擬合。Liu 等[11]提出應用非因果正則化非平穩(wěn)自回歸(NRNA)進行頻率-空間域的隨機噪聲壓制，在二維地震數(shù)據(jù)中取得了理想的效果，繼而將濾波系數(shù)在空間方向進行擴展，開發(fā)了三維非平穩(wěn)自回歸對地震數(shù)據(jù)的隨機噪聲壓制方法。Liu 等[12]利用整形正則化條件約束預測誤差濾波系數(shù)，對帶有空間假頻的地震數(shù)據(jù)進行了有效的重建。但是這些方法在解決濾波器系數(shù)的時空變化屬性表征問題時都增加了額外的計算成本。流預測濾波器[13]可以使濾波系數(shù)隨著數(shù)據(jù)的變化同時更新，運算形式僅僅表現(xiàn)為信號的褶積，并且不需多次迭代，在提高運算效率的同時降低了內(nèi)存成本。流預測濾波器對非平穩(wěn)數(shù)據(jù)具有預測逆運算的特點，可以快速地完成缺失數(shù)據(jù)重建。但是，缺失的地震道對濾波器系數(shù)的準確估計有較大影響，很難保證準確的插值效果。

近年來，很多地球物理學家從不同的角度對多次波的問題進行探討和嘗試，并不局限于視其為噪聲從地震數(shù)據(jù)中去除，而是如何更好地利用多次波中所包含的地下反射信息。多次波在偏移成像[14]和聯(lián)合反演[15]中都得到了一定的應用。構建準一次波的插值方法[16-17]以及直接利用含有多次波的地震數(shù)據(jù)構建擬地震數(shù)據(jù)的插值方法[18]，主要是利用地震數(shù)據(jù)的動力學可預測特性，將多次波中蘊含的有效信息提取出來。利用多次波的信息形成虛擬一次波，能夠為基于流預測濾波的插值方法提供濾波器系數(shù)估計的數(shù)據(jù)來源。

本文針對流預測濾波器具有較準確非平穩(wěn)波場能量譜估計和較高運算效率的特征，通過虛擬一次波為缺失數(shù)據(jù)提供合理的濾波估計，利用自回歸預測理論對缺失數(shù)據(jù)進行重建，以解決復雜疊前地震波場的數(shù)據(jù)缺失問題。

1 理論基礎

1.1 預測濾波插值方法

預測濾波器基于自回歸理論，利用預測濾波器進行地震數(shù)據(jù)的重建可以表述為兩步求解反問題的過程。第一步，利用最小二乘方法求解反問題，估計濾波系數(shù)。例如，給定一組數(shù)據(jù)d(其中可能包含缺失數(shù)據(jù))，利用預測濾波器估計濾波系數(shù)，當dn+1已知時，基于預測誤差近似為零的自回歸表達公式為

(1)

式中：ak為預測濾波系數(shù)；n、k為自然數(shù)。其矩陣表達形式為

dn+1-dTa=r≈0。

(2)

式中：r為殘差；d為數(shù)據(jù)的矩陣形式；a為預測濾波系數(shù)的矩陣形式。

利用最小二乘反演估計濾波系數(shù)，表達式為

a=(ddT)-1dn+1d。

(3)

第二步，利用求得的濾波系數(shù)對缺失的地震數(shù)據(jù)進行恢復。當dn+1為缺失數(shù)據(jù)時，通過自回歸方程再次求解公式(2)，并利用第一步估計出的預測濾波系數(shù)可以完成對缺失數(shù)據(jù)的重建，其計算表達式為

dn+1=r+dTa。

(4)

由于傳統(tǒng)的預測濾波方法很難表征復雜的非平穩(wěn)地震數(shù)據(jù)，直接利用傳統(tǒng)的預測濾波器進行數(shù)據(jù)插值會引起較大的誤差；而自適應預測濾波器[13]的結構造成計算資源占用率過高，很難滿足實際生產(chǎn)的需求。因此，利用改進的流預測濾波方法進行濾波器系數(shù)的非迭代計算。

1.2 流預測濾波器估計

(5)

powerGUN鋁點焊自動焊鉗采用一個或者并聯(lián)兩個變壓器，用于高電流和高節(jié)拍焊接；增大了次級回路元件截面積；優(yōu)化了冷卻水系統(tǒng)，提高了焊鉗的冷卻散熱能力；高強度鋁合金結構增加了焊鉗的剛性，獨立平衡補償、伺服電動機驅動和壓力傳感器保證焊接質(zhì)量，再配合HWH/NIMAK組合控制柜，讓其更完美地達到了焊接過程的控制。

在求解方程組的過程中，采用Sherman-Morrison公式[19]進行解析表達式推導，濾波系數(shù)估計的表達式為

(6)

新的濾波器系數(shù)通過加上一個按一定尺度縮放的數(shù)據(jù)而不斷更新，實現(xiàn)自適應變化。這個尺度與前一個濾波器系數(shù)和殘差存在比例關系(殘差由前一個濾波器系數(shù)和數(shù)據(jù)點積(dTa)求得)，公式(6)得到的更新濾波器系數(shù)只進行代數(shù)運算(向量的點積)而沒有迭代的需求，此時預測濾波器的非平穩(wěn)數(shù)據(jù)表征問題得到解決。但是在數(shù)據(jù)重建過程中，公式(2)中d所包含的缺失數(shù)據(jù)會造成預測濾波器系數(shù)的較大偏差，進而導致插值精度的降低，直接利用缺失數(shù)據(jù)的濾波系數(shù)估計可以轉換為利用近似數(shù)據(jù)的濾波估計，只要近似數(shù)據(jù)具有與原始數(shù)據(jù)相似的預測特征即可。

1.3 基于虛擬一次波的預測濾波估計

多次波可以通過地震數(shù)據(jù)本身的褶積預測出來，將一次波“升階”為多次波。反之，可以利用互相關代替褶積，將多次波“降階”，利用地震數(shù)據(jù)本身的多次波提取出有效的一次波信息，稱為虛擬一次波。構建虛擬一次波的具體實現(xiàn)算法是，對同一個炮集的原始記錄和多次波記錄進行互相關，一次波的接收點則成為虛擬一次波的震源點，對同一震源進行疊加，可以提高虛擬一次波的信噪比，繼而得到完整的道集記錄。圖1給出了構建“虛擬一次波”的示意圖。虛擬一次波具有與原始一次波相似的動力學特征，由于其利用觀測系統(tǒng)的坐標關系進行疊加計算，因此不受缺失數(shù)據(jù)的影響，可以代替缺失數(shù)據(jù)進行預測濾波器的系數(shù)估算。

圖1 虛擬一次波射線軌跡示意圖Fig.1 Raypaths of the pseudoprimaries

在二維觀測系統(tǒng)中(圖1)，利用SR1的一次波數(shù)據(jù)與SR2的多次波數(shù)據(jù)進行互相關運算，可以得到R1R2的虛擬一次數(shù)據(jù)，其與原始數(shù)據(jù)中以R1為震源點在R2接收的一次波有著相似的動力學特征，表達式為

(7)

虛擬一次波雖然不能完全與原始數(shù)據(jù)相匹配，在振幅、相位、子波等方面存在誤差，但不影響預測濾波器的估計。將虛擬一次波作為初始數(shù)據(jù)，利用公式(6)估計濾波系數(shù)，并將其代入公式(4)求解插值表達式

(8)

(9)

2 理論模型測試

首先選取Abma等[20]提出的平面波模型數(shù)據(jù)進行測試，如圖2所示。該模型提供了兩個數(shù)據(jù)體，分別為標準數(shù)據(jù)和偏差數(shù)據(jù)(即振幅、相位與標準數(shù)據(jù)不匹配)。這里利用該模型驗證本文方法的有效性。圖2a為標準數(shù)據(jù)，時間長度為1 s，共計120道。圖2b為缺失數(shù)據(jù)，在第20道的位置出現(xiàn)較嚴重的缺失(15道)，在第60道位置出現(xiàn)較小的缺失(5道)。圖2c為直接使用圖2b進行流預測濾波器系數(shù)估計、再對缺失位置進行數(shù)據(jù)重建的結果，可見在缺失較嚴重的位置并不能得到理想的重建結果。圖2d為利用偏差數(shù)據(jù)進行濾波系數(shù)估計、再對缺失數(shù)據(jù)進行重建的結果，圖中同相軸的連續(xù)性和能量得到了比較準確的恢復。

a.標準數(shù)據(jù)；b.缺失數(shù)據(jù)；c.使用缺失數(shù)據(jù)濾波系數(shù)的重建結果；d.使用偏差數(shù)據(jù)濾波系數(shù)的重建結果。圖2 Abma模型測試Fig.2 Abma model test

為了驗證本文方法對復雜地震數(shù)據(jù)的有效性，接下來測試Sigsbee 2B模型，利用有限差分正演疊前地震數(shù)據(jù)。模型中包含一個不規(guī)則的鹽丘體反射層，使得正演數(shù)據(jù)體現(xiàn)出復雜的地震波場特征。圖3為Sigsbee 2B的速度模型，正演數(shù)據(jù)時間采樣間隔為8 ms，共計1 000個采樣點；由于空氣、水和鹽丘體存在較大的波阻抗差，所以多次波發(fā)育明顯，為虛擬一次波的構建提供了數(shù)據(jù)保證。圖4a為去除20%地震道的正演記錄，圖4b為利用圖4a構建的虛擬一次波數(shù)據(jù)，其與原始數(shù)據(jù)(圖4a)具有相似的動力學特征。

圖3 Sigsbee 2B速度模型Fig.3 Velocity of Sigsbee2B model

選取測線坐標為14 km的完整單炮數(shù)據(jù)(圖5a)測試插值效果，缺失數(shù)據(jù)中有3個較大的數(shù)據(jù)缺口。利用流預測濾波器對虛擬一次波數(shù)據(jù)進行濾波估計，該方法只需要兩個向量的褶積而不需迭代，大大降低了運算成本，根據(jù)公式(9)可以高效地完成缺失數(shù)據(jù)的重建。濾波器的尺寸為20(時間)×5(空間)，近似系數(shù)為1.22。圖5b為插值結果，結果表明本文的方法在處理復雜地震數(shù)據(jù)時，可以快速和準確地對缺失地震道完成重建工作。

3 實際數(shù)據(jù)測試

選取墨西哥灣某地區(qū)的三維地震數(shù)據(jù)進一步測試本文方法的穩(wěn)定性。圖6a為隨機缺失40%的炮集數(shù)據(jù)體，上部為3.8 s的時間切片，左下部為距離位置在1.7 km的單炮記錄，右下部為0.5 km的共炮檢距剖面。炮間距為0.05 km，共計80炮。實際地震資料中多次波和散射波都有明顯的體現(xiàn)，在數(shù)據(jù)缺失較嚴重的位置很難判斷同相軸的走向。

在實際資料的處理中，利用Radon變換[21]或者在逆數(shù)據(jù)域下[22]有效地分離一次波和多次波，再通過多次波與一次波的互相關(公式(7))構建虛擬一次波(圖6b)。結果雖然出現(xiàn)了一定的隨機噪聲， 但主要的同相軸信息得到了恢復，可以為本文的插值方法提供合理的濾波估計。

利用本文方法對三維地震缺失道進行數(shù)據(jù)重建。應用流預測濾波器對構建的虛擬一次波進行濾波估計，濾波器尺寸參數(shù)為25(時間)×5(空間)×10(空間)，通過計算公式(9)對缺失數(shù)據(jù)進行重建，結果如圖7所示。淺層的海底反射以及非平穩(wěn)的同相軸信息都得到了合理恢復，隨機噪聲并沒有對重建結果產(chǎn)生明顯的影響，在圖中難以區(qū)分插值數(shù)據(jù)與原始數(shù)據(jù)的位置，說明插值結果具有較好的合理性。

圖4 原始缺失數(shù)據(jù)(a)和虛擬一次波數(shù)據(jù)(b)Fig.4 The missing data (a) and the pseudoprimaries data of Sigsbee2B model(b)

a.缺失數(shù)據(jù)單炮記錄；b.本文方法數(shù)據(jù)重建結果。圖5 Sigsbee2B模型數(shù)據(jù)重建結果Fig.5 Result of the reconstruction of Sigsbee2B model

圖6 隨機缺失40%的地震數(shù)據(jù)(a)和構建的虛擬一次波(b)Fig.6 Data with 40%randomly missing traces (a) and the pseudoprimaries data (b)

圖7 本文方法數(shù)據(jù)重建結果Fig.7 Result of the data reconstruction

4 結論

1)本文提出基于流預測濾波器結合虛擬一次波的技術方案對缺失地震數(shù)據(jù)進行重建。在應用流預測濾波器估計濾波系數(shù)的過程中，將相鄰濾波器系數(shù)具有比例相似性作為約束條件可快速有效地完成濾波估計，并利用數(shù)據(jù)本身多次波所蘊含的動力學信息預測缺失的地震數(shù)據(jù)，在數(shù)據(jù)插值過程中更合理地為濾波估計提供數(shù)據(jù)分析基礎。

2)理論模型測試結果表明，在缺失較嚴重的數(shù)據(jù)中，改進的流預測濾波插值方法可以獲得更加理想的數(shù)據(jù)重建效果；實際地震數(shù)據(jù)處理結果表明，該方法可以有效地針對復雜非平穩(wěn)地震波場的缺失問題進行求解。