條件技術(shù)下靜態(tài)內(nèi)?？刂瓶癸柡涂蚣芊€(wěn)定性分析

李海霞

(忻州師范學院 電子系，山西 忻州 034000)

0 引言

飽和非線性問題在工程學控制系統(tǒng)中無處不在[1]，是控制系統(tǒng)中最常見的一種非線性.飽和現(xiàn)象的本質(zhì)是控制器的輸出與被控對象的輸入信號不相等了[2]，系統(tǒng)完全處于“失控”狀態(tài).根本原因是執(zhí)行器的物理裝置無法做到控制器輸出信號要求的動作.因此，飽和問題不可輕視，否則可能會引發(fā)災難性的后果.回避飽和、不適當?shù)亟档涂刂破髟鲆?，將導致系統(tǒng)性能下降[3].因此，采用適當?shù)姆椒ㄟM行抗飽和設(shè)計可以解決控制系統(tǒng)出現(xiàn)的飽和現(xiàn)象，進而確保系統(tǒng)的安全穩(wěn)定運行.現(xiàn)存的抗飽和控制方法大體可以分為兩種[4]：一種是在控制器設(shè)計初期就將飽和因素考慮進去，這種方法計算復雜繁瑣；另外一種方法是將控制器的輸入信號和輸出信號的偏差作為反饋信號，采用一定的補償算法予以消除，條件作用技術(shù)[5]屬于后者，本文將進一步分析基于條件技術(shù)的內(nèi)?？刂瓶癸柡涂蚣艿姆€(wěn)定性問題.

1 控制系統(tǒng)中的飽和現(xiàn)象

飽和的本質(zhì)是執(zhí)行器的輸入信號不等于輸出信號.典型的飽和非線性如圖1所示.

圖1 飽和非線性

飽和現(xiàn)象可以用數(shù)學函數(shù)描述為：

通過仿真下面的這個實例可以說明飽和現(xiàn)象是如何造成系統(tǒng)性能惡化的.被控對象為：

(1)

受限的閉環(huán)PID控制系統(tǒng)框如圖2所示.

圖2 輸入受限的閉環(huán)PID控制系統(tǒng)框圖

K=20，Ti=30 s，Td=0.95 s，Tf=0.095 s

輸入上限為：Umax=2，輸入下限為：Umin=0，圖3為閉環(huán)系統(tǒng)階躍輸出響應，其中實線為沒有輸入限制時的輸出響應曲線，點線為輸入出現(xiàn)限制，輸出飽和時的響應曲線.圖4為被控對象輸入信號的曲線.其中加粗的實線是未加輸入限制的被控對象輸入信號曲線，點線是加了輸入限制后，被控對象的輸入信號曲線.

從圖3中，可以很明顯地看出，當系統(tǒng)輸入受限時將會在原來沒有受限系統(tǒng)的基礎(chǔ)上出現(xiàn)很大的超調(diào)量和調(diào)節(jié)時間.這種由于輸入受限而導致的閉環(huán)響應性能急劇惡化現(xiàn)象就是飽和現(xiàn)象.

圖3 閉環(huán)系統(tǒng)輸出階躍響應圖4 被控對象輸入信號曲線

2 基于條件技術(shù)的內(nèi)?？刂瓶癸柡涂刂破髟O(shè)計

圖5 靜態(tài)內(nèi)模控制抗飽和框架

在過去的20年里，內(nèi)?？刂圃谶^程和系統(tǒng)控制中變得越來越流行了，原因是內(nèi)?？刂平Y(jié)構(gòu)對于干擾和不確定性有很強的魯棒性.同時內(nèi)模控制還為線性和非線性系統(tǒng)分析全局穩(wěn)定性提供了依據(jù).在使用內(nèi)?？刂平Y(jié)構(gòu)時，唯一受限的是需要保證被控對象開環(huán)穩(wěn)定和最小相位.內(nèi)?？刂圃谔幚磔斎腼柡同F(xiàn)象方面，相比較內(nèi)模控制在魯棒控制中的應用，是相對稀少和罕見的.在早期的文獻[2]和[6]中指出，人們從來沒有試著用內(nèi)?？刂平Y(jié)構(gòu)來作為抗飽和控制的框架，然而在文獻[7]和[8]中，首次提出內(nèi)模控制能夠用來解決抗飽和的問題.同時，文獻[8]還給出了一個實例，證明了內(nèi)?？刂凭哂袃?nèi)在的抗飽和特性.文獻[10]用改進的內(nèi)?？刂瓶癸柡头椒▽σ粋€不穩(wěn)定的被控對象進行了分析和設(shè)計.文獻[11]針對一個化學反應容器的單輸入單輸出系統(tǒng)，提出了內(nèi)?？刂铺幚矸蔷€性系統(tǒng)的一些規(guī)律.值得一提的是Chung Seng Ling等人在2004年提出的一種靜態(tài)抗飽和方法，避免了當時非常流行的抗飽和補償控制框架的復雜性，同時還能確保所有的輸入輸出受限系統(tǒng)的全局穩(wěn)定性.他們的內(nèi)?？刂瓶癸柡涂蚣苋鐖D5所示[2].

圖5所示的框架中，KGm(z1)為內(nèi)?？刂破?，飽和非線性環(huán)節(jié)與Gp(z-1)一起作為了內(nèi)?？刂破鞯谋豢貙ο?，內(nèi)模控制的最終效果是控制器的模型逐漸逼近被控對象，設(shè)計的初期，一般都設(shè)計成Gm(z-1)=Gp(z-1)，通過不斷調(diào)整K值大小，使得控制器輸出和被控對象的輸出差值逐漸減小，最終實現(xiàn)了抗飽和的目的.

濾波器設(shè)計如下[6]：

(2)

其中，0≤c<1，是待選擇的.添加濾波器的目的還為了使被控對象模型的逆存在且可實現(xiàn).增益K的選擇決定了系統(tǒng)在飽和影響下系統(tǒng)的性能.調(diào)整K的大小的規(guī)則是首先選擇一個足夠大的K，使得執(zhí)行器處于極限位置，然后再逐步調(diào)小K，提高系統(tǒng)的響應速度直到系統(tǒng)出現(xiàn)超調(diào).

圖6 條件技術(shù)下靜態(tài)內(nèi)模控制抗飽和框架

條件技術(shù)本質(zhì)是通過重新計算參考輸入信號來消除u-ur的偏差[5]，將飽和非線性環(huán)節(jié)轉(zhuǎn)移到了參考輸入信號中，從而實現(xiàn)抗飽和.通過重新計算參考輸入，使得控制器在不進入飽和區(qū)的同時跟隨新的參考輸入量，這就保證始終有u=ur，從而消除了飽和現(xiàn)象.重新計算的參考輸入信號可以表示為“可行的參考輸入”(wr)：當它代替實際的參考輸入信號w輸入控制器時，控制器的輸出信號u和被控對象的輸入信號ur會立刻相等.文獻[1]利用條件技術(shù)和內(nèi)模控制設(shè)計了條件技術(shù)下靜態(tài)內(nèi)?？刂瓶癸柡涂蚣?，并給出了框架中內(nèi)?？刂破骱涂癸柡涂刂破鞯脑O(shè)計，如圖6所示.

其中，Q3(s)的設(shè)計利用條件技術(shù)思想，Q2(s)用來消除內(nèi)模控制中理論模型G0(s)與實際模型G(s)的偏差.Q1(s)屬于前饋控制器，用來跟蹤參考輸入信號.文獻[6]同時給出了三個控制器的計算公式：

Q3(s)=1-K*Q1(s)

文獻[1]用兩個串聯(lián)的巴特沃斯濾波器作為被控對象，本文擬采用被控對象數(shù)學模型為：

圖7 輸入受限系統(tǒng)的閉環(huán)輸出響應

被控對象輸入限制在±1，圖7為t=0加參考輸入r=1，t=500加輸入干擾di=1，t=800加輸出干擾d0=0.2時的輸出響應曲線.實線為三自由度內(nèi)?？癸柡涂刂葡到y(tǒng)的閉環(huán)輸出響應.

3 靜態(tài)內(nèi)?？刂瓶癸柡涂蚣艿姆€(wěn)定性分析

圖8 結(jié)構(gòu)變換-線性函數(shù)和非線性子系統(tǒng)反饋連接

對于傳統(tǒng)的內(nèi)?？刂葡到y(tǒng)，只要模型和對象完全匹配，閉環(huán)系統(tǒng)就能保持全局穩(wěn)定[7].圖5所示的系統(tǒng)可以等價轉(zhuǎn)換為只有兩個子系統(tǒng)通過反饋連接的系統(tǒng).其中一個子系統(tǒng)是動態(tài)線性傳遞函數(shù)，另外一個子系統(tǒng)是靜態(tài)飽和非線性，如圖8所示.動態(tài)線性傳遞函數(shù)可以用不飽和信號vt和飽和信號ut的比值來確定：

(3)

從圖5中，可以得到以下這些方程：

yp=Gput.

(4)

ym=KGmvt.

(5)

由于參考輸入信號r不影響閉環(huán)增益，所以未發(fā)生飽和的信號vt的推導如下：

(6)

將等式(4)和(5)帶入等式(6)可得：

(7)

假設(shè)模型和對象完全匹配，即Gp=Gm，Gm-1Gp=1，那么等式(7)可以重新寫為：

vt=-FIMCK-1ut+FIMCvt.

(8)

所以，

(9)

考慮一個反饋支路上帶有非線性的單輸入和單輸出非線性系統(tǒng)，如圖5所示.

Ψ(.)處在反饋支路，為一個一維時不變，無記憶非線性，G(z-1)是一個嚴格滿足Hurwitz穩(wěn)定的傳遞函數(shù).Popov穩(wěn)定性判據(jù)給出了一個判斷系統(tǒng)漸進穩(wěn)定的充分條件.若Ψ(.)∈(0,1],且滿足以下不等式：

Re[(1+jw)G(jw)]>-1,?w≥0.

(10)

方程(10)可以被重新寫為：

Re(M(jw))+wIm(M(jw))>-1,?w≥0.

(11)

定義N，

(12)

從Popov穩(wěn)定性判據(jù)中可以推導出以下新的穩(wěn)定性判據(jù)：

對于圖5所示的內(nèi)模控制抗飽和框架，對于任意選取的K和c，當出現(xiàn)飽和時，只要能滿足Re(N(e-jwt))>0，且對于任取的w≥0，都有Im(N(e-jwt))=0，則內(nèi)?？刂瓶癸柡拖到y(tǒng)是全局漸近穩(wěn)定的.

(13)

(14)

所以可以得到：

?w≥0.

(15)

從式(15)可以得出圖5所示的內(nèi)?？刂瓶癸柡拖到y(tǒng)在所有的大于零的頻率下都是魯棒穩(wěn)定的.在K>0,0

4 結(jié)論

本文在詳細分析飽和現(xiàn)象發(fā)生的本質(zhì)原因的基礎(chǔ)上，通過仿真說明飽和現(xiàn)象給控制系統(tǒng)帶來的災難性后果.利用靜態(tài)內(nèi)模控制抗飽和框架和條件技術(shù)設(shè)計了條件技術(shù)下靜態(tài)內(nèi)?？刂瓶癸柡涂蚣?，通過仿真進一步驗證了條件技術(shù)下的靜態(tài)內(nèi)模控制框架的抗飽和效果優(yōu)于單獨采用靜態(tài)內(nèi)?？刂瓶癸柡涂蚣?同時利用Popov穩(wěn)定性判據(jù)對靜態(tài)內(nèi)模控制抗飽和框架的穩(wěn)定性進行分析，最終證明靜態(tài)內(nèi)?？刂瓶癸柡涂蚣艿娜譂u進穩(wěn)定性.