八次軟物質(zhì)準(zhǔn)晶圓柱繞流的動(dòng)力學(xué)分析

王 芳,范天佑，成 惠,3

(1.朔州師范高等?？茖W(xué)校 自然科學(xué)系，山西 朔州 036002；2.北京理工大學(xué) 物理學(xué)院，北京 100081；3.河北工程大學(xué) 物理系，河北 邯鄲 056038)

0 引言

本文建議的軟物質(zhì)準(zhǔn)晶的動(dòng)力學(xué)數(shù)學(xué)模型，解決了關(guān)于軟物質(zhì)準(zhǔn)晶圓柱繞流的動(dòng)力學(xué)問(wèn)題.對(duì)于復(fù)雜的邊界問(wèn)題，只有為數(shù)很少的情況可以通過(guò)解析法[1]求得近似的解.盡管僅僅是近似，但對(duì)于理解軟物質(zhì)準(zhǔn)晶的動(dòng)力學(xué)特性仍有一定的意義.然而，這里討論的是八次軟物質(zhì)準(zhǔn)晶的圓柱繞流，由于方程組與初邊值條件的復(fù)雜性，此問(wèn)題只能用數(shù)值法求解，而且計(jì)算結(jié)果較解析法更為精確.與12次軟物質(zhì)準(zhǔn)晶的圓柱繞流[2]不同，8次軟物質(zhì)準(zhǔn)晶的聲子-相位子耦合，計(jì)算結(jié)果展示了其更豐富的流動(dòng)特性，其中，相位子發(fā)揮了很重要的作用.

1 極坐標(biāo)系下的Oseen修正的動(dòng)力學(xué)方程組

根據(jù)8次軟物質(zhì)準(zhǔn)晶的動(dòng)力學(xué)方程組[3]，推導(dǎo)出極坐標(biāo)系下8次軟物質(zhì)準(zhǔn)晶的Oseen修正[4]后的動(dòng)力學(xué)方程組的一般形式.

因此，8次軟物質(zhì)準(zhǔn)晶[3]的終態(tài)控制方程在極坐標(biāo)下轉(zhuǎn)化為

(1)

其中，方程組(1)的最后一式是狀態(tài)方程，只有加入此方程，方程組(1)才滿足封閉性.

2 圓柱繞流模型

此部分將軟物質(zhì)準(zhǔn)晶的動(dòng)力學(xué)數(shù)學(xué)模型推廣應(yīng)用到圓柱繞流的問(wèn)題.如圖1所示，從無(wú)限遠(yuǎn)處有一速度為U的來(lái)流沿x軸流動(dòng).

圖1 軟物質(zhì)準(zhǔn)晶以半徑為a的圓柱繞流

無(wú)限遠(yuǎn)處壓強(qiáng)p忽略不計(jì)，在無(wú)限大的軟物質(zhì)準(zhǔn)晶中有一橫截面半徑為a的圓柱.在柱坐標(biāo)(r,θ,z)下，邊界條件有，

Vr=Ucosθ,Vθ=-Usinθ,σrr=σθθ=0,Hrr=Hθθ=0,

r=a:

Vr=Vθ=0,σrr=σrθ=0,Hrr=Hrθ=0.

(2)

初始條件為

t=0:

Vr=0,Vθ=0,ρ=ρ0,ur=uθ=0,wr=wθ=0.

(3)

3 有限差分法求解

由于方程組(1)很復(fù)雜，加之初邊值條件(2)和(3)比較特殊，目前無(wú)法得到其解析解，通過(guò)數(shù)值法求解，考慮用極坐標(biāo)下的有限差分法[4]，差分網(wǎng)格如圖2所示.

圖2 極坐標(biāo)系下的差分網(wǎng)格

4 數(shù)值結(jié)果及分析

在數(shù)值計(jì)算中，用到的材料常數(shù)和幾何參量[4]為，U=0.01 m/s,ρ0=1.5 g/cm3,η=1Poise,l=7～8 nm,r/a=1.55,a=1 cm,kB=1.38×10-23J/K,T=293K,L=10 MPa,M=4 MPa,K1=0.5 L,K2=-0.1 L,B～0.2 MPaK3=0.05 L,Γu=4.8×10-17m3·s/kg,Γw=4.8×10-19m3·s/kg,A～0.2 MPa,聲子-相位子耦合彈性常數(shù)為R=0.04 M.

圖3～圖6給出了速度和聲子應(yīng)力，相位子應(yīng)力、流體黏性力的角分布，圖形規(guī)則，物理規(guī)律較明顯.其中，圖3(a)，3(b)分別是圓柱外一定距離r/a=1.55處流體的徑向速度vr與軸向速度vθ的角分布.因?yàn)檐浳镔|(zhì)準(zhǔn)晶有多個(gè)元激發(fā)，受聲子場(chǎng)、相位子場(chǎng)及流體聲子場(chǎng)相互作用的影響，速度要小于以普通流體為介質(zhì)的速度.

圖4分別給出了聲子應(yīng)力σrr,σθθ,σrθ的角分布，這些結(jié)果只有軟物質(zhì)準(zhǔn)晶有，對(duì)于普通流體并沒(méi)有聲子場(chǎng)元激發(fā)，因此也沒(méi)有聲子彈性應(yīng)力.

圖3 r=1.55a處速度的角分布

圖4 r=1.55a處，聲子應(yīng)力的角分布

圖5 在r=1.55a處，相位子應(yīng)力的角分布

圖6 r=3.55a處，在不同雷諾數(shù)下流體聲子黏性力的角分布

特別注意的是，與12次[2]相比較8次軟物質(zhì)準(zhǔn)晶的圓柱繞流的計(jì)算結(jié)果里增加了相位子應(yīng)力，如圖5所示，Hrr,Hθθ,Hrθ,Hθr分別是相位子應(yīng)力的徑向，周向及兩個(gè)剪應(yīng)力分量(相位子應(yīng)力場(chǎng)Hrθ≠Hθr).這是因?yàn)榕c12次軟物質(zhì)準(zhǔn)晶不同，8次軟物質(zhì)準(zhǔn)晶存在聲子-相位子耦合，這也是8次軟物質(zhì)準(zhǔn)晶與12次軟物質(zhì)準(zhǔn)晶最大的區(qū)別，其更深層次的物理機(jī)制有待進(jìn)一步探索.

圖6顯示了流體應(yīng)力在不同雷諾數(shù)、不同來(lái)流速度和不同柱半徑下的角分布，從圖6(a),6(b),6(c)看出，雷諾數(shù)Re，來(lái)流速度U，柱半徑a都會(huì)顯著影響流體應(yīng)力的大小，因此，雷諾數(shù)在流體動(dòng)力學(xué)中起到了舉足輕重的作用.關(guān)于聲子應(yīng)力、相位子應(yīng)力、流體聲子速度對(duì)Re，U和a的響應(yīng)這里就不一一列舉了，以此類(lèi)推，不難驗(yàn)證結(jié)果是相似的.

5 結(jié)束語(yǔ)

12次軟物質(zhì)準(zhǔn)晶陸續(xù)在不同的軟物質(zhì)中，如液晶、膠體、合金、表面活性體等物質(zhì)[7-11]中發(fā)現(xiàn)，雖然目前還未發(fā)現(xiàn)8次對(duì)稱軟物質(zhì)準(zhǔn)晶，但相信不久的將來(lái)會(huì)發(fā)現(xiàn)，所以研究8次軟物質(zhì)準(zhǔn)晶的繞流具有深遠(yuǎn)意義.

本文將筆者計(jì)算傳統(tǒng)晶體及固體準(zhǔn)晶[12,13]和軟物質(zhì)準(zhǔn)晶[3]的矩形試樣模型的有限差分法推廣應(yīng)用到軟物質(zhì)準(zhǔn)晶圓柱繞流問(wèn)題的計(jì)算，表明極坐標(biāo)下的有限差分法是一種有效且精確的方法，破解了用解析法所不能直接精確計(jì)算一些特殊邊界問(wèn)題的難題，將來(lái)可以將此方法推廣到三維球形繞流的問(wèn)題乃至更為復(fù)雜的邊界問(wèn)題.