數(shù)學(xué)廣角

李國品

[摘 要]教學(xué)有法，而無定法，“雞兔同籠”問題的教學(xué)，確實(shí)讓教師們絞盡腦汁。只是因?yàn)樗容^抽象，學(xué)生難以接受，因此培養(yǎng)學(xué)生的思維能力、實(shí)踐能力迫在眉睫。

[關(guān)鍵詞]教學(xué)；數(shù)學(xué)；學(xué)習(xí)；小學(xué)生；興趣；方法

一、數(shù)學(xué)廣角——“雞兔同籠”問題的意義

“雞兔同籠”問題集趣味性、解題策略的多樣性、應(yīng)用的廣泛性于一體，具有訓(xùn)練智能的教育功能和價值，是實(shí)施開放式教學(xué)的好題材。教材呈現(xiàn)兩種基本的解題思路：列表法和假設(shè)法。列表法能直觀反映數(shù)據(jù)的變化，學(xué)生比較容易接受，但數(shù)據(jù)較大時比較繁瑣，適用性有限；假設(shè)法是一種算術(shù)方法，計算比較簡便，是解決此類問題的一種策略，但算理抽象，理解有一定難度。對于“雞兔同籠”問題，一部分學(xué)生在此以前接觸過，比如參加過“奧數(shù)”的，但多數(shù)學(xué)生還缺少獨(dú)立解決問題的策略，沒有體會到解決問題策略的多樣性。所以，教學(xué)中，主要采用教師適當(dāng)講解與學(xué)生自主探究相結(jié)合的教學(xué)方式，讓學(xué)生在嘗試探索交流比較中，弄清“雞兔同籠”問題的結(jié)構(gòu)特征和解題策略，經(jīng)歷多樣化解題的過程，初步形成解決此類問題的一般性策略。在掌握解決問題的方法后，引導(dǎo)學(xué)生反思提升，通過雞兔同籠問題與生活中類似問題的比較，幫助學(xué)生建立“雞兔同籠”結(jié)構(gòu)特點(diǎn)和解決模型。

二、“雞兔同籠”問題的教學(xué)方法

1.創(chuàng)設(shè)情境，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。數(shù)學(xué)教學(xué)活動必須激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，調(diào)動學(xué)生積極性，引發(fā)學(xué)生的思考。上課伊始，教師出示主題情景圖，利用《孫子算經(jīng)》中的“雞兔同籠”這一著名的數(shù)學(xué)趣題作為故事引入，生動地呈現(xiàn)出“雞兔同籠”問題，對學(xué)生進(jìn)行我國古代數(shù)學(xué)文化的熏陶和感染。隨后，教師提出：“雞兔同籠”問題為什么會流傳至今呢？這既能讓學(xué)生領(lǐng)略到這些問題的數(shù)學(xué)魅力，又能引發(fā)學(xué)生對學(xué)習(xí)和研究這類問題的數(shù)學(xué)價值產(chǎn)生更深入的思考，激起了他們探究這一數(shù)學(xué)問題的興趣和欲望。

2.尊重學(xué)生差異，讓學(xué)生體會解決問題的不同思路和方法。在教育教學(xué)中，教師要學(xué)生體會解決問題的不同思路和方法是很關(guān)鍵的。注意滲透化繁為簡的思路。針對“雞兔同籠”問題原題中的數(shù)據(jù)較大，不利于首次接觸該類問題的學(xué)生進(jìn)行問題的探究，因此采用教材的資源進(jìn)行教學(xué)。意圖是從比較簡單的問題入手，讓有個體差異的學(xué)生嘗試解決，并結(jié)合討論，著力引導(dǎo)學(xué)生從體驗(yàn)“雞兔同籠”中雞兔的頭數(shù)和腳的只數(shù)關(guān)系到用猜測法、列表法、假設(shè)法和列方程解答的方法，經(jīng)歷逐步解決問題的過程。給予他們充足的空間多角度地思考，運(yùn)用不同的方法探索問題的解決，進(jìn)而達(dá)到方法的優(yōu)化，實(shí)現(xiàn)了轉(zhuǎn)化學(xué)生的學(xué)習(xí)方式，培養(yǎng)他們實(shí)踐能力的目的。在問題的解決過程中，教師根據(jù)學(xué)生的不同解題思路和方法，適時地加以總結(jié)和歸納，注意引導(dǎo)學(xué)生理解解決這類問題的三種方法：

第一種方法是列表法。這種方法實(shí)質(zhì)是枚舉法，適合于問題中的數(shù)據(jù)比較的情況。因?yàn)榱斜矸ㄖ庇^，所以學(xué)生也容易接受和理解。教師先出示表格，讓學(xué)生試著把表格補(bǔ)充完整，最后根據(jù)腳的總只數(shù)去判斷哪一組數(shù)據(jù)是正確的。如人教版數(shù)學(xué)第八冊第104頁例1，籠子里有若干只雞和兔。從上面數(shù)，有8個頭，從下面數(shù)，有26只腳。雞和兔各有幾只？

列表法：

雞 8 7 6 5 4 3 2 1 0

兔 0 1 2 3 4 5 6 7 8

腳的只數(shù) 16 18 20 22 24 26 28 30 32

從表中數(shù)據(jù)可知雞是3只，兔是5只。

第二種方法是假設(shè)法。這種方法有利于培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理能力。假設(shè)籠子里都是雞，那么兔就共有8×2﹦16只腳，這樣就比問題中多26-16﹦10只腳。因?yàn)閯偛攀前淹米赢?dāng)成雞，一只兔子少算了兩只腳，那么多出的10只腳就是兔子的只數(shù)：10÷2﹦5只兔子。所以，雞就有8-5﹦3只。反之，可以假設(shè)籠子里都是兔子，那么就總共有8×4﹦32只腳，這樣就比問題中少32-26﹦6只腳。因?yàn)閯偛攀前央u當(dāng)成兔子。一只雞多算了兩只腳，那么多出的6只腳就是雞的只數(shù)：6÷2﹦3只。所以兔子就有8-3﹦5只。

第三種方法是列方程解。這種方法有助于學(xué)生體會代數(shù)方法的一般性。列方程解是一種順向思維，也便于學(xué)生的理解。雖然列方程解決問題是學(xué)生比較熟悉的，但是教師要著重注意引導(dǎo)學(xué)生找準(zhǔn)問題中的等量關(guān)系，即，雞的只數(shù)+兔的只數(shù)﹦總頭數(shù)，雞腳的只數(shù)+兔腳的只數(shù)﹦腳的總只數(shù)。這樣，學(xué)生不難理解，1.如果設(shè)雞有x只，那么根據(jù)總頭數(shù)，兔就有（8-X）只，再根據(jù)每只雞兩只腳，每只兔四只腳的事實(shí)，結(jié)合題中的等量關(guān)系就能列出方程：2X+4（8-X）﹦26。2.如果設(shè)兔有X只，那么雞就有（8-X）只，根據(jù)題中的等量關(guān)系就可以得出方程：4X+2（8-X）﹦26。學(xué)生只要列出方程，解方程就會是一件輕而易舉的事情了。

三、拓寬視野運(yùn)用知識模型解決問題

在日常的生活實(shí)際中，“雞兔同籠”問題有很多的變式，通過讓學(xué)生運(yùn)用解決“雞兔同籠”問題的方法來解決現(xiàn)實(shí)生活中的相關(guān)問題，這對學(xué)生的學(xué)習(xí)有很大的幫助。教學(xué)中，充分利用教材“做一做”中的“龜鶴問題”。有龜和鶴共40只，龜?shù)耐群旺Q的腿共有112條。龜、鶴各有幾只？假設(shè)籠子里都是鶴，那么就共有40×2﹦80條，這樣就比問題中少112-80﹦32條。因?yàn)閯偛攀前妖敭?dāng)成鶴，一只龜少算了兩條腿，那么少出的32條就是鶴的只數(shù)：32÷2﹦16只。所以，龜?shù)闹粩?shù)就有40-16﹦24只。反之，可以假設(shè)籠子里都是龜，那么就共有40×4﹦160條，這樣就比問題中多160-112﹦48條。因?yàn)閯偛攀前漾Q當(dāng)成龜，一只鶴多算了兩條腿，那么多出的48條腿就是鶴的條數(shù)：48÷2﹦24只。所以龜?shù)闹粩?shù)就有40-24﹦16只。這是個流傳于日本的民間數(shù)學(xué)趣題，租船、植樹等三個問題資源來進(jìn)行轉(zhuǎn)化，讓學(xué)生用解決“雞兔同籠”問題的知識模型解決這些變式題，收到了良好的效果，這一方面起到了鞏固知識的作用，學(xué)生感受到了數(shù)學(xué)方法之間的內(nèi)在聯(lián)系，另一方面拓寬了學(xué)生的視野，體會到“雞兔同籠”問題在生活中的廣泛應(yīng)用，從而激起學(xué)生熱愛生活及學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，進(jìn)而感受到數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的價值。

在練習(xí)設(shè)計中，我們要求學(xué)生自主探索、充分合作、互相啟發(fā)，讓他們嘗試解決生活中的相關(guān)問題。通過練習(xí)，不僅促進(jìn)學(xué)生進(jìn)一步領(lǐng)略了數(shù)學(xué)文化的特有魅力，更是培養(yǎng)了他們的思維能力、邏輯推理能力、轉(zhuǎn)化能力、實(shí)踐能力等。

參考文獻(xiàn)：

[1]九年制義務(wù)教育《數(shù)學(xué)新課程標(biāo)準(zhǔn)》.

[2]斯苗兒，《“解決問題”教學(xué)的堅守與突圍》《小學(xué)數(shù)學(xué)教育》.2008（7）.