“分式”中的典型易錯題

周明君　陳燕燕

初學(xué)分式方程，同學(xué)們常常因?qū)Ω拍钅：?、考慮不周、思維定式，在解題時犯各式各樣的錯誤.現(xiàn)就幾類比較常見的例子進(jìn)行剖析，望同學(xué)們能引以為戒，防患于未然.

一、分式方程

典型錯例1：對分式方程的定義不熟悉.

【例1】 下列各式中：（1）x2-x+[1x]，（2）[1x]-3=x+4，（3）[x-12x-1]=1，（4）[20x+y]-[10x-y]=1，分式方程有（ ）個.

A.1 B.2 C.3 D.以上都不對

【錯解】選B.

【分析】判斷一個方程是否為分式方程，主要依據(jù)是分式方程的定義“分母里含有未知數(shù)的方程叫作分式方程”.選B的同學(xué)認(rèn)為（3）不是分式方程，因為（3）的分子、分母約分后有：x-1=1，是整式方程.而實際上判斷一個方程是不是分式方程，我們是從形式上根據(jù)分式方程的定義直接判斷的.

【正解】（1）x2-x+[1x]不是等式，故不是分式方程；（2）[1x]-3=x+4是分式方程；（3）[x-12x-1]=1是分式方程；（4）[20x+y]-[10x-y]=1是分式方程.故選C.

典型錯例2：忽視對根的檢驗.

【例2】解方程[xx-2-3=2x-2].

【錯解】去分母，得x-3（x-2）=2.

去括號、移項、合并同類項，得-2x=-4，解得：x=2 .所以原方程的解為x=2.

【分析】分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程時，由于去分母使未知數(shù)的取值范圍發(fā)生了變化，有可能產(chǎn)生增根，因此，大家在解分式方程時一定要檢驗根.

【正解】去分母，得x-3（x-2）=2.去括號、移項、合并同類項，得-2x=-4，解得：x=2.檢驗，將x=2代入原方程，分母x-2的值為0.所以x=2是原方程的增根，原方程無解.

典型錯例3：去分母時漏乘不含分母的項.

【例3】解方程[2x+1x-3-23-x=1].

【錯解】原方程可化為[2x+1x-3+2x-3=1]，去分母，得2x+1+2=1，解得x=-1.

【分析】去分母，將分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程時，各項都應(yīng)乘最簡公分母，而錯解漏乘了不含分母的項.

【正解】原方程可化為[2x+1x-3+2x-3=1]，去分母，得2x+1+2=x-3，解得x=-6，經(jīng)檢驗，x=-6是原方程的根.

典型錯例4：忽視分?jǐn)?shù)線的括號作用.

【例4】解方程[3x-5-x+2x-5=3].

【錯解】去分母，得：3-x+2=3（x-5），解得：x=5，經(jīng)檢驗，x=5是增根，原方程無解.

【分析】分?jǐn)?shù)線除了表示除號外，當(dāng)分子為多項式時，還起著括號的作用.因此在去分母時，當(dāng)分子是多項式時，必須先用括號將整個分子括起來，再按去括號法則求解.

【正解】去分母，得：3-（x+2）=3（x-5），去括號、移項、合并同類項，得：4x=16，解得：x=4，經(jīng)檢驗，x=4是原方程的根.

二、分式運(yùn)算

典型錯例5：運(yùn)算符號出錯.

【例5】化簡[4m2-4+12-m].

【錯解】原式=[4m+2m-2+1m-2=][4+m+2m+2m-2]=[m+6m2-4].

【分析】2-m=-（m-2），錯解把2-m變形為m-2時沒有改變分式的符號.

【正解】原式=[4m+2m-2-1m-2=]

[4-（m+2）m+2m-2]=[-（m-2）m+2m-2]=-[1m+2].

典型錯例6：通分時誤去分母.

【例6】計算：[x2x+1-x+1].

【錯解】原式=[x2x+1-x-1]=x2-（x-1）（x+1）=x2-（x2-1）=1.

【分析】錯把分式的化簡與解方程中的去分母混為一談.分式化簡的依據(jù)是分式的基本性質(zhì)，解方程中去分母的依據(jù)是等式的性質(zhì)，因此分式通分要保留分母，而不是去分母.

【正解】原式=[x2-x2-1x+1]=[1x+1].

典型錯例7：法則模糊.

【例7】計算[xx2-y2÷xx-y-xx+y].

【錯解】[xx2-y2÷xx-y-xx+y]= [xx2-y2][÷][xx-y]-[xx2-y2][÷][xx+y]=[1x+y-1x-y=2yx-y].

【分析】錯解錯在對乘法分配律的模糊認(rèn)識，將乘法分配律應(yīng)用到除法運(yùn)算上來了.

【正解】[xx2-y2÷xx-y-xx+y]= [xx2-y2][÷][2xyx2-y2]=[12y].

（作者單位：江蘇省東臺市實驗中學(xué)）