一類離散非線性時滯人口模型的解的有界性與漸近性

安存斌，陳慧琴，王麗霞

（山西大同大學(xué)數(shù)學(xué)與計算機科學(xué)學(xué)院，山西大同037009）

大多數(shù)社會領(lǐng)域的研究中，常微分方程已不能完全模擬客觀事物了，許多客觀事物的現(xiàn)象都用差分方程構(gòu)造數(shù)學(xué)模型來描述客觀事物，而差分方程的解的一些性質(zhì)是重要的研究領(lǐng)域，近年來，許多學(xué)者對線性、連續(xù)、時滯、差分方程的解的有界性、漸近性等性質(zhì)做了深入的研究[1-5]。文獻(xiàn)[1]中研究了方程的平衡解與解的漸近性，由于分析到文獻(xiàn)[1]人口模型的無時滯的情況下，下面在文獻(xiàn)[1]的研究的前提下，結(jié)合文獻(xiàn)[2]結(jié)論來研究一類離散非線性時滯人口模型方程

相對應(yīng)的初始條件為

x(-τ),x(-τ+1),x(-τ+2),…,x(1)∈[0,∞),x(0)＞0(2)的解的有界性與漸近性。這里設(shè)方程（1）滿足下列條件：1）n=0,1,…；2）p,q,r∈(0,∞)；3）0≤k＜m。方程（1）中，x(n)是人口數(shù)量，p是死亡率，設(shè)函數(shù)，τ是函數(shù) x(n)的周期，ω是f(x)在(0,∞)內(nèi)的唯一穩(wěn)定點。

因為方程（1）中的 p,q為常數(shù)，所以方程（1）滿足條件（2）的平衡解類同與文獻(xiàn)[1]的方程（1）的平衡解，因此著重討論方程（1）解的有界性與漸近性。

1 方程解的有界性

定理1若方程（1）滿足條件（2）的所有解為正的有界。

所以，方程（1）滿足條件（2）的所有解為正的有界。

2 方程解的漸近性

定理2若方程（1）滿足初始條件（2）則其總存在解,使得

證明方程（1）取初始條件 x(i)=x(0),(i=-τ,-τ+1,…,-1),其中當(dāng) x(0)充分小時，可使得-p+qf(x(0))＜0,則有

所以數(shù)列x(n)單調(diào)遞減，又由數(shù)列x(n)有界，則根據(jù)單調(diào)有界原理可得x(n)存在極限。對方程（1）兩邊取極限得。即若方程（1）滿足初始條件（2）則其總存在解x(n)，使得。定理證畢。

定義設(shè) x(n)和是方程（1）在 (0,∞)內(nèi)的兩個正解且是方程（1）的平衡解，如果 x(n)-的零點沒有界，那么稱方程（1）的解x(n)關(guān)于平衡解振動，否則稱方程（1）的解 x(n)關(guān)于平衡解非振動。當(dāng)=0時，方程（1）的解 x(n)關(guān)于平衡解零點振動。

推論1若=f(ω),則方程（1）滿足條件（2）存在解x(n)關(guān)于唯一正平衡解非振動。

推論2若=f(ω),則方程（1）滿足條件（2）存在解 x(n)滿足 x(n)＜。

注：特別地，k=1時，是文獻(xiàn)[2]中方程。因此，本章的方程更具有一般性，適用范圍更廣。