“平面向量基本定理”教學(xué)設(shè)計(jì)

張榮延 王冬晴

一、教材分析

1.地位和作用

“平面向量基本定理”是人教 A版必修 4第二章第三節(jié)的第1課時(shí)，屬于概念性知識(shí)，在向量知識(shí)體系中占有核心地位。在本節(jié)課之前，學(xué)生學(xué)習(xí)了向量的線性運(yùn)算及“向量共線定理”，可以利用它與“平面向量基本定理”的升維類比關(guān)系引入課題。因此平面向量基本定理的研究綜合了前面學(xué)習(xí)過(guò)的向量知識(shí) ，同時(shí)又為后繼的內(nèi)容作了奠基，起到了承前啟后的作用。

2.重點(diǎn)和難點(diǎn)

重點(diǎn)：平面向量基本定理的發(fā)現(xiàn)理解和初步應(yīng)用。難點(diǎn)：平面向量基本定理中的任意性、存在性和唯一性。

3.目標(biāo)分析

知識(shí)與技能目標(biāo)：掌握平面向量的基本定理及其簡(jiǎn)單應(yīng)用。

過(guò)程與方法目標(biāo)：以學(xué)生為主體，分層探究平面向量基本定理中的任意性、存在性和唯一性，讓學(xué)生經(jīng)歷平面向量基本定理的發(fā)現(xiàn)和形成過(guò)程，充分領(lǐng)悟類比轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法。情感態(tài)度與價(jià)值觀目標(biāo)：培養(yǎng)學(xué)生觀察、歸納、猜想能力，發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、探求問(wèn)題的能力，邏輯推理能力以及科學(xué)的思維方式。

二、設(shè)計(jì)理念

本節(jié)課從情景問(wèn)題出發(fā)，引出兩個(gè)具體的問(wèn)題，通過(guò)師生互動(dòng)、討論和分析得到猜想，進(jìn)而通過(guò)作圖分解、論證、多媒體演示等方式驗(yàn)證猜想中的任意性、存在性，得到定理的雛形，然后從數(shù)形兩個(gè)角度說(shuō)明基底的不唯一性，完善定理的內(nèi)容，最后揭示定理的意義和應(yīng)用價(jià)值，提高學(xué)生對(duì)知識(shí)體系的整體認(rèn)識(shí)。

三、教學(xué)過(guò)程

1.設(shè)置情景，引入新課

師：大家小時(shí)候都玩過(guò)滑梯嗎？那你們有沒(méi)有想過(guò)為什么我們能從高處沿著滑梯滑到地面呢？

生：因?yàn)榈厍蛞Α⑷说闹亓Α?/p>

師：可以用學(xué)過(guò)的物理知識(shí)去解釋，是因?yàn)橹亓Φ姆纸狻Ｈ绻麑⑦@個(gè)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題，就是：一個(gè)向量分解成兩個(gè)方向上的向量，那反過(guò)來(lái)說(shuō)就是兩個(gè)方向上的向量可以表示同一平面內(nèi)的某一個(gè)向量。兩個(gè)方向上的向量是否可以表示平面內(nèi)的任意向量呢？

[設(shè)計(jì)意圖] 從學(xué)生熟悉的力的分解和合成等物理背景出發(fā)，引導(dǎo)學(xué)生思考：對(duì)于給定平面內(nèi)任一向量，是否可以類似地進(jìn)行分解和合成？ 從而將目標(biāo)引向教學(xué)主題。

2.問(wèn)題探究，構(gòu)建規(guī)律

問(wèn)題1：兩個(gè)方向上的向量可以表示平面內(nèi)任意向量嗎？

根據(jù)問(wèn)題1引導(dǎo)學(xué)生動(dòng)手做圖（如圖1），

同時(shí)利用多媒體進(jìn)行演示（如圖2）：

（1）定起點(diǎn)——在平面內(nèi)任取一點(diǎn)O；

（2）平移——將三個(gè)向量平移到同一起點(diǎn)O；

（3）構(gòu)造——平行四邊形；

（4）共線——向量共線定理。

探究結(jié)論：兩個(gè)方向上的向量可以表示平面內(nèi)的任意向量，并且有唯一的實(shí)數(shù)λ1，λ2使得它們之間的表達(dá)式為。

[設(shè)計(jì)意圖] 建構(gòu)主義的學(xué)習(xí)觀認(rèn)為 ：“學(xué)生的學(xué)習(xí)不是被動(dòng)接受的過(guò)程，而是在已有知識(shí)經(jīng)驗(yàn)的基礎(chǔ)上對(duì)新知識(shí)的同化、順應(yīng)、重建，進(jìn)而形成新的知識(shí)結(jié)構(gòu)的過(guò)程”，在這一環(huán)節(jié)中通過(guò)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，讓學(xué)生動(dòng)手做圖，自主探索，積極思考，大膽概括，主動(dòng)構(gòu)建，并向?qū)W生滲透了數(shù)形結(jié)合的思想。

引領(lǐng)反思，類比再探

問(wèn)題2：在問(wèn)題1中我們給定的是兩個(gè)不共線的向量，那么兩個(gè)共線向量可以表示任意向量嗎？

生：好像可以表示。

師：若兩個(gè)共線的向量可以表示，那么只能是與共線的那些向量，而不是任意的向量。

探究結(jié)論：平面內(nèi)兩個(gè)共線向量不能表示任意向量。

[設(shè)計(jì)意圖] 新課程標(biāo)準(zhǔn)中對(duì)平面向量基本定理的要求是了解，而本節(jié)課使用了兩個(gè)問(wèn)題去發(fā)現(xiàn)、驗(yàn)證和理解，一方面，希望學(xué)生能夠認(rèn)識(shí)到這個(gè)定理的價(jià)值；另一方面，希望學(xué)生通過(guò)這節(jié)課的探究，經(jīng)歷一個(gè)數(shù)學(xué)概念形成的過(guò)程，體會(huì)其中蘊(yùn)含的合理的思維方式。

3.總結(jié)規(guī)律，得出結(jié)論

師：根據(jù)以上探究請(qǐng)同學(xué)們歸納猜想平面向量基本定理？

生：（學(xué)生交流討論，教師啟發(fā)引導(dǎo)）若是同一平面內(nèi)兩個(gè)不共線向量，那么對(duì)于這一平面內(nèi)的任一向量，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)λ1，λ2，使?！矫嫦蛄炕径ɡ?/p>

師：在這個(gè)定理中我們需要注意的有哪些？

生：①是同一平面內(nèi)兩個(gè)不共線的向量；②實(shí)數(shù)λ1，λ2是唯一的；③等式。

師：向量叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底，這組基底又是否唯一呢？

（學(xué)生討論并回答）此時(shí)教師利用幾何畫板在圖2的基礎(chǔ)上再次作圖（如圖3）：過(guò)點(diǎn)O任意作出另外兩個(gè)向量，再構(gòu)建一個(gè)平行四邊形，會(huì)發(fā)現(xiàn)這組向量也可以表示任意的向量，即也是表示這一平面內(nèi)任意向量的一組基底。

探究結(jié)論：基底是不唯一的。

[設(shè)計(jì)意圖] 首先通過(guò)師生的共同探究，由學(xué)生根據(jù)探究口述定理，然后教師進(jìn)行完善并歸納平面向量的基本定理，而且在探究的整個(gè)過(guò)程中學(xué)生都處于思維活躍的狀態(tài)，定理中需要教師“一個(gè)定理，三項(xiàng)注意”的提醒。

4.簡(jiǎn)單應(yīng)用，鞏固新知

例 已知向量，求作向量。

[設(shè)計(jì)意圖] 以課本中熟悉而簡(jiǎn)單的問(wèn)題，使學(xué)生初步掌握在具體問(wèn)題中用基底來(lái)表示相關(guān)向量，體會(huì)向量的應(yīng)用，加深對(duì)平面向量基本定理的認(rèn)識(shí)。

5.變式訓(xùn)練，熟練技能

變式 設(shè)，點(diǎn)P在線段BN上，若，求實(shí)數(shù)m的值。

[設(shè)計(jì)意圖] 定理的認(rèn)識(shí)和理解是一個(gè)循序漸進(jìn)、逐步深化的過(guò)程，通過(guò)本題的訓(xùn)練，能使學(xué)生鞏固知識(shí)、拓展能力、理解和深化對(duì)定理的認(rèn)識(shí)與延伸，建構(gòu)全面、良好的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)。

6.交流心得，提高認(rèn)識(shí)

師：這節(jié)課學(xué)習(xí)了什么內(nèi)容？有哪些關(guān)鍵詞？要注意哪些問(wèn)題？

生：這節(jié)課我們主要學(xué)習(xí)了平面向量基本定理，關(guān)鍵詞：在平面內(nèi)；兩個(gè)；不共線的向量；有且只有，要注意的問(wèn)題是實(shí)數(shù)的唯一性和基底的不唯一性。

7.任務(wù)后延，拓展探究

[設(shè)計(jì)意圖] 必做題是對(duì)課內(nèi)知識(shí)的鞏固，選做題是為了讓學(xué)有余力的學(xué)生能夠有充分的發(fā)展空間。

四、教學(xué)反思

本節(jié)課的設(shè)計(jì)有三個(gè)指導(dǎo)思想，分別是：發(fā)現(xiàn)和認(rèn)識(shí)平面向量基本定理的形成過(guò)程；探究平面向量基本定理中的“三項(xiàng)注意”；處理好數(shù)學(xué)抽象與直觀圖像的關(guān)系。其中最有效的方法就是引導(dǎo)學(xué)生“再創(chuàng)造”。使學(xué)生深入認(rèn)識(shí)新概念新思想。

參考文獻(xiàn)：

[1]方均斌.數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計(jì)與案例分析[M].杭州：浙江大學(xué)出版社，2012.

[2]張奠宙.數(shù)學(xué)教育概論[M].北京：高等教育出版社，2016.

[3]劉紹學(xué)普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)教科書A版·數(shù)學(xué)3（必修）教師教學(xué)用書[M].北京：人民出版社，2007.