一抽象函數(shù)性質(zhì)的探究

山東省單縣教研室(274300)周啟杰

一、問題提出

題目(2010年高考福建省理科第15題)已知定義域為(0,+∞)的函數(shù)f(x)滿足：

(1)對任意x∈(0,+∞),恒有f(2x)=2f(x)成立;

(2)當(dāng)x∈(1,2]時,f(x)=2-x.給出如下結(jié)論：

①對任意m∈Z,有f(2m)=0;

②函數(shù)f(x)的值域為[0,+∞);

③存在n∈Z,使得f(2n+1)=9;

④“函數(shù)f(x)在區(qū)間(a,b)上單調(diào)遞減”的充要條件是“存在k∈Z,使得(a,b)?(2k,2k+1).”

其中所有正確結(jié)論的序號是____.

(正確答案為：①,②,④.解析從略.)

該題考查了一個抽象函數(shù)：f(2x)=2f(x),利用x∈(1,2]時f(x)=2-x將函數(shù)f(x)定義為具體的分段函數(shù).從圖象變換的角度,我們可以直觀得到函數(shù)圖象,避免賦值迭代技巧.設(shè)P(x0,y0)是函數(shù)f(x)圖象上任意一點,那么由f(2x)=2f(x),得f(2x0)=2f(x0)=2y0,即點(2x0,2y0)也在函數(shù)f(x)的圖象上.也就是說,f(x)圖象上任意一點的橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)都變?yōu)樵瓉淼?倍后,對應(yīng)的點仍在函數(shù)的圖象上.反過來,f(x)圖象上任意一點的橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)都變?yōu)樵瓉淼谋逗?對應(yīng)的點也在函數(shù)的圖象上.因此,按照這種伸縮變換,可以畫出函數(shù)的圖象(如圖1).

圖1

可以看出,性質(zhì)f(2x)=2f(x)的本質(zhì)是圖象的伸縮變換.為什么在(1,2]上定義函數(shù)呢?由(1,2]上的圖象,可以向右無限擴展,但向左擴展,似乎有個“界限”,那么這個“界”是誰呢?函數(shù)的定義域為什么是(0,+∞)呢?

二、問題解決

如果在區(qū)間(a,b](a＜b)上定義函數(shù),那么利用f(2x)=2f(x)一次次作用,對應(yīng)區(qū)間分別為

其中m∈N+.當(dāng)b=2a時,由a＜b知a＞0,上述區(qū)間沿x軸正方向依次排列,此時相鄰區(qū)間彼此剛好相連.

其中m∈N+,這些區(qū)間沿x軸負方向依次排列,相鄰區(qū)間彼此剛好相連.由于可知函數(shù)圖象向左擴展時的“界限”就是x=0,函數(shù)的定義域就是(0,+∞).

也就是說,若函數(shù)f(x)滿足f(2x)=2f(x),如果在區(qū)間(a,2a](a＞0)上定義f(x),那么f(x)在區(qū)間(2ma,2m+1a](m∈Z)上也有定義,函數(shù)定義域為(0,+∞).

同樣,如果在區(qū)間[2a,a)(a＜0)上定義f(x),那么f(x)在區(qū)間[2m+1a,2ma)(m∈Z)上也有定義,函數(shù)定義域為(-∞,0).

除個別情形外,滿足f(2x)=2f(x)的函數(shù)f(x)一般是分段函數(shù),上述結(jié)論給出了將函數(shù)f(x)定義為分段函數(shù)的方法.這種定義方法保證了函數(shù)的定義域是(0,+∞)或(-∞,0),定義域達到了“最大化”,我們說這樣的定義是完美的.

至此,可得到更一般地情形：

如果函數(shù)f(x)滿足f(mx)=nf(x)(m＞1),若在(a,ma](a＞0)上定義函數(shù),則函數(shù)在(mka,mk+1a](k∈Z)上也有定義,其定義域為(0,+∞);若在區(qū)間[ma,a)(a＜0)上定義函數(shù),則函數(shù)在區(qū)間[mk+1a,mka)(k∈Z)上也有定義,其定義域為(-∞,0).

若函數(shù)滿足f(x)滿足f(mx)=nf(x)(0＜m＜1),由于就轉(zhuǎn)化為上一種情形了.

三、深度探究

下文我們約定：對于已知解析表達式或者已知某種性質(zhì)的函數(shù),在沒有明確指出其定義域時,總假定其定義域是滿足給定條件或者已知條件成立的最大的實數(shù)集.

我們知道,滿足f(x+t)=f(x)(t/=0)的函數(shù)f(x)為周期函數(shù);滿足f(t-x)=f(x)的函數(shù)f(x)為軸對稱函數(shù);滿足f(t-x)=-f(x)的函數(shù)f(x)為中心對稱函數(shù).

如果函數(shù)f(x)對任意x滿足f(x+t)=kf(x)(kt/=0),我們可以稱f(x)為類周期函數(shù),|t|為它的一個“周期”.例如,若函數(shù)f(x)滿足f(x+1)=2f(x),選擇長度為1的一個區(qū)間定義之：x∈[0,1)時,f(x)=x,則f(x)的圖象如圖2所示;若函數(shù)f(x)滿足f(x+1)=-2f(x),可定義之：x∈[0,1)時,f(x)=x,則f(x)的圖象如圖3所示.

圖2

圖3

如果函數(shù)f(x)對任意x滿足f(t-x)=kf(x)(k/=0),我們可以稱f(x)為類對稱函數(shù),k＞0時,直線為它的“對稱軸”;k＜0時,點為它的“對稱中心”.

例如,如果函數(shù)f(x)滿足f(1-x)=2f(x).若定義：

f(x)的圖象如圖4所示.

如果函數(shù)f(x)滿足f(1-x)=-2f(x).若定義：

圖4

圖5

考慮更一般情況：若函數(shù)f(x)滿足f(ωx+t)=kf(x)(ω/=0,ω/=1,ω/=-1,k/=0),f(x)一般是分段函數(shù),那么如何選擇一個恰當(dāng)?shù)膮^(qū)間,將它定義為完美的分段函數(shù)呢?

下面從具體問題入手,來說明如何將f(x)定義為分段函數(shù)的方法,并揭示其圖象特征.

問題1如果函數(shù)f(x)滿足f(2x+1)=f(x),如何選擇一個區(qū)間將函數(shù)f(x)定義為分段函數(shù)?函數(shù)圖象有何特征呢?

如果在區(qū)間(m,n](m＜n)定義函數(shù),利用f(2x+1)=f(x)作用一次,與(m,n]對應(yīng)的區(qū)間為(2m+1,2n+1];在(2m+1,2n+1]上作用一次,對應(yīng)區(qū)間(2(2m+1)+1,2(2n+1)+1],即

作用k次后,得區(qū)間

即

作用k+1次后,得區(qū)間(2k+1(m+1)-1,2k+1(n+1)-1].令2m+1=n,由m＜n,得m＞-1.則m＞-1且n=2m+1時,

這說明m＞-1且n=2m+1時通過f(2x+1)=f(x)的一次次作用,對應(yīng)的區(qū)間依次沿x軸正方向排列,且相鄰的區(qū)間剛好連接.同時,

通過f(x)=作用一次,與(m,n]對應(yīng)的區(qū)間為

由m＞-1且n=2m+1,易知即m＞-1且n=2m+1時通過f(x)=一次次作用,對應(yīng)的區(qū)間依次沿x軸負方向排列,且相鄰的區(qū)間剛好連接.由m+1＞0知

故函數(shù)的定義域就是(-1,+∞).

從函數(shù)圖象變換的角度看,在函數(shù)f(x)圖象上任取一點P(x0,y0),通過f(2x+1)=f(x)作用,f(2x0+1)=f(x0)=y0,故函數(shù)在各段上的函數(shù)值的集合相等.函數(shù)的“界”,即函數(shù)的定義域(-1,+∞)的左端點值-1,可由2x+1=x解得.

例如,如果函數(shù)f(x)滿足f(2x+1)=f(x),令m=1,則n=2×1+1=3,不妨定義：x∈(1,3]時,f(x)=x,則f(x)的圖象如圖6所示.

圖6

那么,滿足f(2x+1)=f(x)的函數(shù)定義域能否為(-∞,-1)呢?事實上,在區(qū)間[m,n)(m＜n)定義函數(shù),當(dāng)n＜-1且m=2n+1時,函數(shù)定義域就是(-∞,-1)(驗證略).

同樣,如果函數(shù)f(x)滿足f(2x-1)=f(x),若在(m,n](m＜n)上定義函數(shù),其中m＞1且n=2m-1,這樣就把f(x)定義為分段函數(shù)了,其定義域為(1,+∞)(驗證略).

問題1及下面的問題2都有一般性的結(jié)論,不再贅述.

問題2如果函數(shù)滿足f(1-2x)=f(x),如何選擇一個區(qū)間將函數(shù)f(x)定義為分段函數(shù)?

若在(m,n](m＜n)上定義函數(shù),利用f(1-2x)=f(x)一次次作用,依次得對應(yīng)區(qū)間：[1-2n,1-2m);(1-2(1-2m),1-2(1-2n)],即(22m-2+1,22n-2+1];[1-2(22n-2+1),1-2(22m-2+1)),即[-23n+22-2+1,-23m+22-2+1);(1-2(-23m+22-2+1),1-2(-23n+22-2+1)],即(24m-23+22-2+1,24m-23+22-2+1],···,作用2k-1次得

作用2k+1次得

令22m-2+1=n,即4m-1=n,由m＜n,得且4m-1=n時,

即作用奇數(shù)次時,對應(yīng)的區(qū)間沿x軸負方向排列,相鄰的兩個區(qū)間剛好連接.作用2k次得

即作用偶數(shù)次時,對應(yīng)區(qū)間依次沿x軸正方向排列,相鄰的兩個區(qū)間剛好連接.故且4m-1=n時,利用f(1-2x)=f(x)一次次作用,函數(shù)向左右兩邊跳躍擴展,相鄰的兩個區(qū)間剛好連接.

同時,

而

即作用2k-1次后,對應(yīng)區(qū)間為

作用2k+1次后,對應(yīng)區(qū)間為

f(x)作用奇數(shù)次時,對應(yīng)區(qū)間依次沿x軸正方向排列,相鄰區(qū)間剛好連接,函數(shù)依次從左邊向直線靠攏.

作用2k次后,對應(yīng)區(qū)間為

從函數(shù)圖象變換的角度看,在函數(shù)f(x)圖象上任取一點P(x0,y0),通過f(1-2x)=f(x)作用,f(1-2x0)=f(x0)=y0,故函數(shù)在各段上的函數(shù)值的集合相等.

例如,如果函數(shù)f(x)滿足f(1-2x)=f(x),令m=1,則n=4m-1=3,

若定義x∈(1,3]時,則f(x)的圖象如圖7所示.

圖7

同樣,如果函數(shù)f(x)滿足f(1-2x)=f(x),也可以選擇區(qū)間[m,n)來定義函數(shù),其中m=4n-1(驗證略).

問題3若函數(shù)f(x)滿足f(2x+1)=3f(x),試選擇一個區(qū)間,將f(x)定義為分段函數(shù),并作出其圖象.

分析該問題與問題1一樣,只不過函數(shù)在各段上的函數(shù)值的集合不等罷了.

由問題1知,令m=1,則n=2m+1=3,可定義：x∈(1,3]時,則f(x)的圖象如圖8所示.

圖8

問題4如果函數(shù)f(x)滿足f(1-2x)=2f(x),試選擇一個區(qū)間,將f(x)定義為分段函數(shù),并作出其圖象.

分析該問題與問題2一樣,只不過函數(shù)在各段上的函數(shù)值的集合不等罷了.

由問題2知,令m=1,則n=4m-1=3,不妨定義：x∈(1,3]時,則f(x)的圖象如圖9所示.

圖9