弗賴登塔爾數(shù)學(xué)教育思想下的教學(xué)設(shè)想

張榮延

一、弗賴登塔爾的數(shù)學(xué)教育思想

我國的基礎(chǔ)教育正逐步由應(yīng)試教育向素質(zhì)教育全面推進(jìn)，由此帶來了教育觀念、教育思想等方面的轉(zhuǎn)變。荷蘭數(shù)學(xué)家弗萊登塔爾認(rèn)為數(shù)學(xué)教育的主要特征是：“現(xiàn)實(shí)、數(shù)學(xué)化、再創(chuàng)造”，并指出：數(shù)學(xué)教育應(yīng)是現(xiàn)實(shí)數(shù)學(xué)的教育；數(shù)學(xué)教育的目標(biāo)應(yīng)是學(xué)會(huì)“數(shù)學(xué)化”；“再創(chuàng)造”的核心是數(shù)學(xué)過程的再現(xiàn)。他的這些數(shù)學(xué)教育思想對(duì)我國數(shù)學(xué)素質(zhì)教育有一定的啟示。

二、基于數(shù)學(xué)教育思想對(duì)“平面向量基本定理”的認(rèn)識(shí)

（一）對(duì)情境的認(rèn)識(shí)。弗賴登塔爾的數(shù)學(xué)化理論告訴我們，學(xué)生數(shù)學(xué)概念的習(xí)得應(yīng)架構(gòu)在他們已知的周圍世界里，數(shù)學(xué)教育就是要聯(lián)系生活的現(xiàn)實(shí)，學(xué)生的現(xiàn)實(shí)，教師的現(xiàn)實(shí)，要引導(dǎo)學(xué)生從現(xiàn)實(shí)世界的問題著手。因此，教材上的實(shí)例對(duì)于學(xué)生而言，不容易直觀地體驗(yàn)與感受到定理的意義，基于此，在教學(xué)設(shè)計(jì)中從情景問題、與實(shí)際生活相聯(lián)系的問題出發(fā)，重新優(yōu)化整合，構(gòu)造與學(xué)生生活密切相關(guān)的數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)，從而發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)。

（二）對(duì)平面向量基本定理的認(rèn)識(shí)。教材首先引導(dǎo)學(xué)生作圖研究同一平面內(nèi)兩個(gè)不共線的向量與任意向量的關(guān)系，通過向量線性運(yùn)算的性質(zhì)得出結(jié)論，最后呈現(xiàn)出平面向量基本定理的概念。從學(xué)生來看，平面向量基本定理的學(xué)習(xí)已經(jīng)超過學(xué)生關(guān)于平面向量的認(rèn)知水平和接受能力，成為學(xué)生學(xué)習(xí)過程中難以理解和掌握的內(nèi)容。從教學(xué)來看，定理中的一些邏輯詞匯，如“任意”“有且只有”“不唯一”等，難以傳授，這就使其教學(xué)常采用定理的表述—解釋—證明—應(yīng)用模式，這樣的講義方式似乎與概念學(xué)習(xí)的“數(shù)學(xué)化”過程不相符，不利于學(xué)生概念的形成，還有可能會(huì)造成理解的偏離。本節(jié)課從情景問題出發(fā)，從現(xiàn)實(shí)數(shù)學(xué)的視角引入新課，引導(dǎo)學(xué)生在力的分解與向量的分解之間建立聯(lián)系，引出兩個(gè)具體的問題，通過師生互動(dòng)、討論和分析得到猜想，進(jìn)而通過作圖分解、論證、多媒體演示等方式驗(yàn)證猜想中的任意性、存在性，得到定理的雛形。在這一過程中，可以培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)邏輯推理能力。然后從數(shù)形兩個(gè)角度說明基底的不唯一性，完善定理的內(nèi)容。最后揭示定理的意義和應(yīng)用價(jià)值，提高學(xué)生對(duì)知識(shí)體系的整體認(rèn)識(shí)，采用引導(dǎo)啟發(fā)的教學(xué)方式，使學(xué)生經(jīng)歷提出問題、觀察猜想、驗(yàn)證推理、概括總結(jié)、理解定理、鞏固應(yīng)用的數(shù)學(xué)研究過程。

三、“平面向量基本定理”的教學(xué)過程設(shè)計(jì)

教學(xué)基本流程：情景導(dǎo)入→問題探究→類比再探→得出結(jié)論并探究“不共線”、“任意性”、“唯一性”→鞏固應(yīng)用→交流心得→布置作業(yè)。

（一）設(shè)置情景，導(dǎo)入新課。問題1：大家小時(shí)候都玩過滑梯嗎？那你們有沒有想過為什么我們能從高處沿著滑梯滑到地面呢？

預(yù)設(shè)：學(xué)生可能會(huì)用學(xué)過的物理知識(shí)去解釋，是因?yàn)橹亓Φ姆纸狻＝處熞龑?dǎo)學(xué)生再將這個(gè)問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題：一個(gè)向量分解成兩個(gè)方向上的向量，那反過來說就是兩個(gè)方向上的向量可以表示同一平面內(nèi)的某一個(gè)向量。

問題2：不共線的兩個(gè)向量是否可以表示平面內(nèi)的任意向量？

[設(shè)計(jì)意圖]根據(jù)學(xué)生認(rèn)知特點(diǎn)、已有的生活經(jīng)驗(yàn)和數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)，從學(xué)生熟悉的力的分解和合成等物理背景出發(fā)，幫助他們構(gòu)造認(rèn)知引導(dǎo)學(xué)生思考：對(duì)于給定平面內(nèi)任一向量，是否可以類似地進(jìn)行分解和合成？從而將目標(biāo)引向教學(xué)主題。

（二）問題探究，得出結(jié)論。根據(jù)問題2引導(dǎo)學(xué)生動(dòng)手做圖，并利用多媒體進(jìn)行演示（如圖2）：

1.定起點(diǎn)——在平面內(nèi)任取一點(diǎn)O；

2.平移——將三個(gè)向量平移到同一起點(diǎn)O；

3.構(gòu)造——平行四邊形；

4.共線——向量共線定理。

探究結(jié)論：不共線的兩個(gè)向量可以表示平面內(nèi)的任意向量，并且向量之間的關(guān)系表達(dá)式為。

[設(shè)計(jì)意圖]在這一環(huán)節(jié)中通過數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，讓學(xué)生動(dòng)手做圖，自主探索，積極思考，大膽概括，向?qū)W生滲透了數(shù)形結(jié)合的思想，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)化思想。

（三）引領(lǐng)反思，類比再探。問題3：在問題2中我們給定的是兩個(gè)不共線的向量，那么兩個(gè)共線向量可以表示任意向量嗎？

預(yù)設(shè)：學(xué)生對(duì)該問題可能會(huì)判斷不清，教師要給予及時(shí)的指導(dǎo)解釋：若兩個(gè)共線的向量可以表示，那么只能是與共線的那些向量，而不是任意的向量。得出結(jié)論：平面內(nèi)兩個(gè)共線向量不能表示任意向量。

[設(shè)計(jì)意圖]新課程標(biāo)準(zhǔn)中對(duì)平面向量基本定理的要求是了解，而本節(jié)課使用了兩個(gè)問題去發(fā)現(xiàn)、驗(yàn)證和理解，一方面，希望學(xué)生能夠認(rèn)識(shí)到這個(gè)定理的價(jià)值；另一方面，希望學(xué)生通過這節(jié)課的探究，經(jīng)歷一個(gè)數(shù)學(xué)概念形成的過程，體會(huì)其中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)化思維方式。

（四）總結(jié)規(guī)律，得出結(jié)論。問題4：根據(jù)以上探究請(qǐng)同學(xué)們歸納猜想平面向量基本定理。預(yù)設(shè)：（學(xué)生交流討論，教師啟發(fā)引導(dǎo)）若是同一平面內(nèi)兩個(gè)不共線向量，那么對(duì)于這一平面內(nèi)的任一向量，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)，使。

問題5：向量叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底，這組基底是否唯一？

預(yù)設(shè)：（學(xué)生討論并回答）此時(shí)教師利用幾何畫板在圖2的基礎(chǔ)上再次作圖（如圖3）過點(diǎn)O再任意作出兩個(gè)向量，再構(gòu)建一個(gè)平行四邊形，會(huì)發(fā)現(xiàn)這組向量也可以表示任意的向量，即也是表示任意向量的一組基底。探究結(jié)論：基底不唯一。

[設(shè)計(jì)意圖]首先通過師生的共同探究，由學(xué)生根據(jù)探究口述定理，然后教師進(jìn)行完善并歸納平面向量的基本定理，而且在探究的整個(gè)過程中學(xué)生都處于思維活躍的狀態(tài)，定理中需要教師“一個(gè)定理，三項(xiàng)注意”的提醒，如：“不共線”、“唯一”、“不唯一”，這些在前面的探究中都已經(jīng)很好的展示并解決，學(xué)生已經(jīng)主動(dòng)構(gòu)建了知識(shí)，這樣的教學(xué)是非常有效的。

（五）鞏固應(yīng)用，交流心得。例 已知向量，求作向量。

問題6：這節(jié)課學(xué)習(xí)了什么內(nèi)容？有哪些關(guān)鍵詞？要注意哪些問題？

（六）任務(wù)后延，拓展探究。作業(yè)：①必做題：第23頁，第2題，②選做題：第23頁，第3題。

[設(shè)計(jì)意圖]必做題是對(duì)課內(nèi)知識(shí)的鞏固，選做題是為了讓學(xué)有余力的學(xué)生能夠有充分的發(fā)展空間。

（七）教學(xué)反思。本節(jié)課的設(shè)計(jì)有三個(gè)指導(dǎo)思想，分別是：發(fā)現(xiàn)和認(rèn)識(shí)平面向量基本定理的形成過程；探究平面向量基本定理中的“三項(xiàng)注意”；處理好數(shù)學(xué)抽象與直觀圖像的關(guān)系。結(jié)合弗賴登塔爾的現(xiàn)實(shí)數(shù)學(xué)教育觀：數(shù)學(xué)教學(xué)就是要通過“數(shù)學(xué)化”的方式來完成，其中最有效的方法就是引導(dǎo)學(xué)生“再創(chuàng)造”。只有這樣教學(xué)才能有好的效果，學(xué)生才能深入認(rèn)識(shí)新概念新思想。

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