引導(dǎo)學(xué)生數(shù)學(xué)思維生長的問題設(shè)計(jì)*
——以“確定圓的條件”教學(xué)為例

/黃秀旺 謝蓓蓓

諾貝爾獎(jiǎng)獲得者德國物理學(xué)家勞厄曾說過：“重要的不是獲得知識，而是發(fā)展思維能力。”教育就是要以具體知識為載體，發(fā)展人的思維能力和科學(xué)研究能力。學(xué)生數(shù)學(xué)思維的發(fā)展需要教師順著其發(fā)展方向，不斷用貼近學(xué)生認(rèn)知水平的問題引導(dǎo)學(xué)生思考、探究，將學(xué)生以往的經(jīng)驗(yàn)和積累變?yōu)樗季S生長的養(yǎng)分?！皢栴}是數(shù)學(xué)的心臟”，思維又是從問題開始的，因而在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中如何以問題引導(dǎo)學(xué)生數(shù)學(xué)思維的發(fā)展是一個(gè)值得研究的課題，筆者的經(jīng)驗(yàn)如下。

一、“萌芽問題”：找準(zhǔn)思維生長的起點(diǎn)

要想找準(zhǔn)促進(jìn)學(xué)生思維生長的起點(diǎn)問題，教師首先要認(rèn)真研讀《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》（以下簡稱“課標(biāo)”）和教材，使得教學(xué)目標(biāo)“合法”“合理”，同時(shí)又不能拘泥于課標(biāo)和教材，要努力思考并尋找與教學(xué)中有關(guān)系的知識或者生活經(jīng)驗(yàn)，作為學(xué)生思維的生長起點(diǎn)。

在教學(xué)蘇科版數(shù)學(xué)九年級上冊第二章《圓》的第三節(jié)“確定圓的條件”時(shí)，筆者首先學(xué)習(xí)課標(biāo)和教材，充分理解教學(xué)目標(biāo)——會(huì)利用基本作圖完成過不在同一直線上的三點(diǎn)作圓，進(jìn)而思考學(xué)生對這個(gè)問題最簡單的認(rèn)知現(xiàn)狀。在此基礎(chǔ)上，筆者提出了以下問題：

問題1：已知平面上一個(gè)點(diǎn)，你可以作一個(gè)圓，使它經(jīng)過這個(gè)點(diǎn)嗎？請你試一試。學(xué)生作完后，繼續(xù)追問：你發(fā)現(xiàn)了什么？為什么經(jīng)過此點(diǎn)的圓有無數(shù)個(gè)？

問題2：你覺得接下來，我們要研究什么內(nèi)容？你的提議合理嗎？

通過第一個(gè)問題設(shè)定的思維場景，學(xué)生的思維有了一個(gè)自然的呈現(xiàn)狀態(tài)，而這種自然的思維狀態(tài)就是弄明白課堂“要干什么”——作一個(gè)圓，使這個(gè)圓經(jīng)過已知的點(diǎn)。在此基礎(chǔ)上，讓學(xué)生進(jìn)行大膽設(shè)想，接下來我們將研究什么內(nèi)容——研究作一個(gè)圓經(jīng)過兩個(gè)點(diǎn)、三個(gè)點(diǎn)甚至多個(gè)點(diǎn)的問題。學(xué)生在教師設(shè)置的問題下，會(huì)產(chǎn)生好奇的想法，這是十分寶貴的，一是可以不斷激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，二是激發(fā)本節(jié)課學(xué)生探究的熱情，三是對此問題的思考也是進(jìn)一步深入思考的入口?？墒?，我們平時(shí)聽到的許多課，教師總以為這樣的問題過于簡單，而直接給出結(jié)論（作一個(gè)圓使得經(jīng)過已知一點(diǎn)，這樣的圓可以作無數(shù)個(gè)），甚至跳過去，顯然，這也不符合人的認(rèn)知規(guī)律的。因此，我們提倡在學(xué)生進(jìn)行探究的起始階段，教師要設(shè)置“萌芽問題”，讓學(xué)生通過“萌芽問題”引發(fā)思考，激活思維。

二、“主枝問題”：找準(zhǔn)思維力生長的刺激點(diǎn)

美國心理學(xué)家桑代克認(rèn)為：“學(xué)習(xí)的本質(zhì)是在刺激和反應(yīng)之間形成聯(lián)結(jié)。”的確，學(xué)生的數(shù)學(xué)思維要想快速生長，就需要一些外來的刺激。而教師引導(dǎo)學(xué)生自主發(fā)現(xiàn)問題、解決問題，就是對學(xué)生數(shù)學(xué)思維的很好刺激，這樣的刺激會(huì)慢慢拓展學(xué)生數(shù)學(xué)思維的“最近發(fā)展區(qū)”，從而使得學(xué)生的思維快速生長。這就需要教師提出的問題必須要指向?qū)W生數(shù)學(xué)思維發(fā)展的節(jié)點(diǎn)，讓學(xué)生通過思考自然地架出一座思維的橋。

比如：在這個(gè)課例中，怎樣能讓學(xué)生感知出線段垂直平分線對確定圓心的作用呢，于是筆者提出了以下問題：

問題3：觀察作出的過一個(gè)點(diǎn)和過兩個(gè)點(diǎn)的圓，你發(fā)現(xiàn)了什么？

學(xué)生通過比較不難發(fā)現(xiàn)，過一個(gè)點(diǎn)所作的圓在排列上并沒有太多規(guī)律，而通過兩個(gè)點(diǎn)所作的圓在排列上比較整齊。順從思維發(fā)展的方向，筆者隨即提出“為什么會(huì)比較整齊”，而這個(gè)問題的探究和解決是學(xué)生數(shù)學(xué)思維得以生長的重要刺激點(diǎn)，學(xué)生通過探究，發(fā)現(xiàn)“這些圓的圓心在兩點(diǎn)連線的垂直平分線上”，從而為后面研究過三個(gè)點(diǎn)的圓的作法奠定基礎(chǔ)。

問題4：作過平面上三個(gè)點(diǎn)的圓，你會(huì)怎么研究？

在問題3的基礎(chǔ)上，由“兩個(gè)點(diǎn)到三個(gè)點(diǎn)”繼續(xù)深化研究。三個(gè)點(diǎn)需要分為三點(diǎn)在同一條直線上和不在同一條直線上兩種情況來討論，而通過問題3的思維方向，學(xué)生對解決“如何過不在同一條直線的三個(gè)點(diǎn)作一個(gè)圓”的尺規(guī)作圖顯得得心應(yīng)手，并在實(shí)踐中自己能夠總結(jié)得出“過不在同一條直線的三點(diǎn)確定一個(gè)圓”的結(jié)論。

三、“旁枝問題”：找準(zhǔn)思維生長的發(fā)散點(diǎn)

哲學(xué)家黑格爾說過：“創(chuàng)造性思維需要有豐富的想象。”創(chuàng)新思維的技巧性方法中，有許多都是與發(fā)散思維有密切關(guān)系的。這就要求教學(xué)過程不僅要有舊知識向新知識的縱向探究，也要有新知識和所學(xué)知識變化結(jié)合的橫向發(fā)展，學(xué)生的數(shù)學(xué)思維才足夠有深度，對知識的理解也會(huì)更加深刻，對問題解決的方法也能更加多樣。

例如，這個(gè)課例的另一個(gè)教學(xué)目標(biāo)是“了解三角形的外接圓、三角形的外心、圓的內(nèi)接三角形的概念”，而由“三個(gè)點(diǎn)自然聯(lián)想到三角形”是對上個(gè)問題的橫向拓展。于是，筆者提出如下問題：

問題5：我們知道，不在同一條直線的三個(gè)點(diǎn)首尾順次連接可以構(gòu)成一個(gè)三角形，那么，可以作一個(gè)圓，使得它經(jīng)過三角形的三個(gè)頂點(diǎn)嗎？

如果直接告訴學(xué)生新概念，學(xué)生很容易對新概念產(chǎn)生誤解和混淆。筆者順著學(xué)生思維發(fā)展的方向，先逐步探究圓心的由來，再由三個(gè)點(diǎn)聯(lián)想到三角形，在此基礎(chǔ)上自然定義三角形的外接圓、三角形的外心等概念。引導(dǎo)學(xué)生在舊知識的基礎(chǔ)上自然生長出新概念，不僅加深對新概念的理解，也讓學(xué)生從實(shí)踐中體會(huì)數(shù)學(xué)的樂趣和價(jià)值。

問題6：對于一個(gè)三角形和它的外心，你想研究它的哪些方面？

學(xué)生結(jié)合以往的經(jīng)驗(yàn)，一般能提出兩個(gè)問題：（1）一個(gè)三角形有幾個(gè)外心？（2）一個(gè)三角形的外心在三角形的什么位置？而學(xué)生提出的兩個(gè)問題，在小組的討論、操作與質(zhì)疑中很快就被解決。

四、“主干問題”：找準(zhǔn)思維力生長的路徑

在問題導(dǎo)學(xué)過程中，教學(xué)目標(biāo)提出后，常常把學(xué)生要思考的內(nèi)容連成串，精心設(shè)計(jì)問題生長的路徑，引導(dǎo)學(xué)生思維合理生長。從這個(gè)課例看，從問題1到問題4是研究過平面內(nèi)的點(diǎn)作圓的問題，由問題4發(fā)散出的問題5、問題6則是種子萌芽后的自然生長。在學(xué)生認(rèn)知能力的基礎(chǔ)上，筆者繼續(xù)提出了問題7，使得學(xué)生的思維在探究中繼續(xù)生長。（圖1）

圖1

問題7：你覺得過不在同一條直線上的四個(gè)點(diǎn)是不是一定可以作出一個(gè)圓呢？

從問題1起，學(xué)生經(jīng)歷了探究作一個(gè)圓過一個(gè)點(diǎn)、作一個(gè)圓過兩個(gè)點(diǎn)、作一個(gè)圓過三個(gè)點(diǎn)的過程，自然會(huì)提出作一個(gè)圓過四個(gè)點(diǎn)的問題，而這個(gè)問題較為復(fù)雜，其挑戰(zhàn)在于“不在同一直線的三個(gè)點(diǎn)可以確定一個(gè)圓”，但“不在同一直線的四個(gè)點(diǎn)不一定能確定一個(gè)圓”，學(xué)生畫一畫，即可獲知。那問題的探究是不是到此結(jié)束呢？依學(xué)情而定，“如果四個(gè)點(diǎn)可以確定一個(gè)圓，應(yīng)具備什么條件”，這個(gè)問題讓學(xué)有余力的學(xué)生興奮不已。雖然探究四點(diǎn)共圓不是《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》的要求，但教師不應(yīng)喪失讓部分學(xué)生進(jìn)一步探究以發(fā)展數(shù)學(xué)思維的機(jī)會(huì)。更何況，思維需要在一個(gè)較好的情境中才能自然生長。

縱觀整節(jié)課，以問題驅(qū)動(dòng)方式開展教學(xué)，學(xué)生得到的不僅僅是一個(gè)結(jié)果，更重要的是在探究過程中思維不斷生長，從簡單到復(fù)雜、從易到難、從封閉到開發(fā)，從課標(biāo)要求到適度拓展，并且不同層次的學(xué)生都能得到發(fā)展。

恩格斯說，“思維是地球上最美麗的花朵?！睌?shù)學(xué)教學(xué)過程是學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)不斷提升的過程，這就需要教師在學(xué)生思維發(fā)展的過程中，設(shè)計(jì)具有挑戰(zhàn)性、引導(dǎo)性、延伸性的問題，不斷促進(jìn)學(xué)生思維向更深更遠(yuǎn)的地方生長。這樣的數(shù)學(xué)教學(xué)過程，才是學(xué)生數(shù)學(xué)思維不斷生長的過程。