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    單頂點多折痕折紙形式啟發(fā)的空間折展機構(gòu)

    2018-08-10 00:36:20廣晨漢
    宇航學(xué)報 2018年7期
    關(guān)鍵詞:錐度折痕折紙

    廣晨漢,劉 迎,楊 洋

    (北京航空航天大學(xué)機械設(shè)計及自動化系,北京 100191)

    0 引 言

    受運載火箭整流罩尺寸的限制,衛(wèi)星的一些功能部件(如:天線等)需在衛(wèi)星發(fā)射時折疊收納待衛(wèi)星入軌后展開。折疊收納及展開的動作主要依靠折展機構(gòu)實現(xiàn)?,F(xiàn)階段對折展機構(gòu)的研究主要集中在大口徑空間構(gòu)架式可展天線機構(gòu)上[1-5],其主要思路是通過對已有的平面或空間機構(gòu)單元進行組合而構(gòu)成大型可展機構(gòu),展開金屬網(wǎng)面天線。而近年來,適用于小衛(wèi)星的固體反射面天線機構(gòu)的研究則較少[5-6]。

    折紙是一種將二維平面折成三維結(jié)構(gòu)的藝術(shù)形式,折紙的變形特征對折展機構(gòu)的研究提供了一種新的思路。已有的基于折紙的空間折展機構(gòu)的研究主要集中在空間可展天線及空間可展太陽能電池板上。文獻[7-8]介紹了一種基于flasher折紙形式的可展太陽能陣列。文獻[9]介紹了一種將flasher折紙形式剪切后衍生出的,可用作可展太陽能電池板的可展陣列。文獻[10]展示了一種通過去除flasher折紙形式中的一組或兩組中心對稱單元,使其在處于展開狀態(tài)時形成近似拋物面的可展拋物面天線。基于flasher折紙形式,文獻[11]展示了一種利用折疊時儲存的材料變形能進行展開的薄殼可展天線。

    上述文獻介紹的折展機構(gòu)幾乎都需要借助額外的單自由度機構(gòu)輔助展開,這對于較大的空間設(shè)備是可以接受的。但是對于結(jié)構(gòu)需要精簡的小衛(wèi)星,需要避免添加額外機構(gòu)。

    文獻[12-13]介紹了一種由Flasher折紙形式啟發(fā)的多瓣式可展固體反射面天線。其不需要額外的驅(qū)動機構(gòu),但所需的驅(qū)動器數(shù)量較多,且結(jié)構(gòu)較為復(fù)雜,故不適用于小衛(wèi)星。文獻[14]展示了一種單頂點多折痕折紙形式啟發(fā)的可將平面結(jié)構(gòu)折疊的空間折展機構(gòu),可用于可展太陽能電池板。此機構(gòu)結(jié)構(gòu)及構(gòu)型簡單,只需一個驅(qū)動器就可完成自身展開,因此非常適用于小衛(wèi)星。

    進一步研究發(fā)現(xiàn),文獻[14]中論述的機構(gòu),不僅能將平面結(jié)構(gòu)折疊,還能將可包絡(luò)回轉(zhuǎn)曲面的錐形結(jié)構(gòu)折疊。但是,文獻[14]中僅介紹了可將平面結(jié)構(gòu)折疊的可展機構(gòu)扇頁部分在折疊與展開狀態(tài)下的幾何設(shè)計模型,并未提出可將錐形結(jié)構(gòu)進行折疊的可展機構(gòu)扇頁部分在折疊與展開狀態(tài)下的幾何設(shè)計模型。

    針對上述問題,對受單頂點多折痕折紙形式啟發(fā)的空間折展機構(gòu)的構(gòu)型進行介紹,并展示了此類機構(gòu)也可將包絡(luò)回轉(zhuǎn)曲面的錐形結(jié)構(gòu)進行折展。然后,本文提出了可將錐形結(jié)構(gòu)進行折疊的可展機構(gòu)扇頁部分在折疊與展開狀態(tài)下的幾何設(shè)計模型。最后,對此幾何設(shè)計模型及平面折疊幾何設(shè)計模型進行了近似簡化,使其可以便捷地驗證機構(gòu)的幾何設(shè)計是否滿足約束條件,并通過算例計算進行了驗證。

    1 機構(gòu)構(gòu)型

    單頂點多折痕折紙形式是一種常見的折紙形式,如圖1所示。圖1中實線折痕為峰折痕,虛線折痕代表谷折痕,兩種折痕代表著不同(相反)的折疊方向。

    若將圖1中的每相鄰兩條折痕所夾的紙認為剛體,將折痕認為轉(zhuǎn)動副,則圖中的機構(gòu)本質(zhì)上為球面機構(gòu),自由度并不為1。同時,圖1中紙的厚度被認為是0,但在實際中,并不存在厚度為0的物體。

    因此,對紙增添厚度并對機構(gòu)進行調(diào)整,得到了如圖2的折展機構(gòu)。此機構(gòu)的自由度為1。文獻[14]運用旋量的方法[15-16]對此機構(gòu)的單自由度特性進行了證明。

    每個機構(gòu)單元由5個構(gòu)件組成,如圖2所示。構(gòu)件1及構(gòu)件2為圓心角(圓心角α=π/n)相等的兩片扇頁,這兩個構(gòu)件鉸接。構(gòu)件1與構(gòu)件3之間通過圓柱副連接,構(gòu)件2與構(gòu)件4之間亦通過圓柱副連接。每個扇頁上的鉸鏈軸線與圓柱副軸線間的關(guān)系為空間互異。構(gòu)件3與構(gòu)件4都鉸接在構(gòu)件5(基座)上。此機構(gòu)單元的自由度為1,因此此機構(gòu)單元圓周陣列構(gòu)成的整個機構(gòu)(共有2n片扇頁)的自由度亦為1。

    如圖3所示,若保證一份扇頁上的圓柱副的軸線與鉸鏈的軸線成異面直線的關(guān)系,將平面扇頁(完整圓平板的1/2n等份)替換為圓錐扇頁(完整圓錐板的1/2n等份),甚至將圓錐板的上表面加工為回轉(zhuǎn)曲面(例如可展天線中常用的拋物面),都能按照此機構(gòu)的方式展開,如圖4所示。圖4中,機構(gòu)扇頁的上表面都被處理為拋物面,展開后可用作小衛(wèi)星的折展天線。

    2 幾何模型

    機構(gòu)處于折疊狀態(tài)與展開狀態(tài)的幾何模型是判斷機構(gòu)能否滿足設(shè)計要求的依據(jù),同時也是計算折展比的基礎(chǔ)。為此對機構(gòu)處于折疊狀態(tài)與展開狀態(tài)的幾何模型進行建模。為快速、便捷地判斷設(shè)計是否滿足約束條件,將幾何模型進行近似簡化。

    本文中只考慮扇頁部分在折疊時與未折疊時的幾何模型。其他構(gòu)件的幾何設(shè)計可在扇頁部分幾何模型確定后進行。

    2.1 無錐度模型

    折展機構(gòu)展開狀態(tài)的折展機構(gòu)的大徑為2R,小徑為2r,展開狀態(tài)的高度與扇頁的厚度相等,即Hunfold=h。以n=10為例,如圖5。

    折疊后,內(nèi)孔為截面為正n邊形的棱柱,如圖6。正n邊形的邊長為l=2h。

    折疊后的機構(gòu)的中心孔內(nèi)切圓半徑為:

    (1)

    機構(gòu)外接圓半徑為:

    (2)

    機構(gòu)的整體高度為:

    Hfold=R-cosα

    (3)

    將式(2)對n求導(dǎo)數(shù),可得:

    (4)

    式(4)的形式較為復(fù)雜,故對其進行近似簡化。在實際設(shè)計時,一般R>>h,即:

    rout=rin+Rsinα

    (5)

    將式(5)對n求導(dǎo)數(shù),可得:

    (6)

    2.2 有錐度模型

    展開狀態(tài)的折展機構(gòu)的大徑為2R,小徑為2r,展開狀態(tài)的高度為Hunfold,板的厚度為h,錐角為π-2β。以此為例,各塊之間鉸接,組成一個封閉環(huán),如圖7。

    如圖8所示γ為機構(gòu)展開時其中一份的面ABCD(面2)與側(cè)面CDFE(面3)所夾的二面角。

    可求得:

    (7)

    其中,面ABCD(面2)與機構(gòu)俯視平面xOz(面1)所夾的二面角為θ,即:

    (8)

    折疊后,內(nèi)孔截面為2n邊形的棱柱,如圖9。2n邊形的邊長為h。

    折疊后的機構(gòu)的中心孔內(nèi)切圓半徑為:

    (9)

    所以,折疊后的機構(gòu)的中心孔內(nèi)切圓半徑可近似為:

    (10)

    機構(gòu)外接圓直徑為:

    (11)

    (12)

    機構(gòu)的整體高度為:

    (13)

    實際設(shè)計中,一般R>>h、τ≈α且γ≈90°,則有:

    (14)

    (15)

    Hfold=secβ(R-rcosα)

    (16)

    將式(15)對n求導(dǎo)數(shù),可得:

    (17)

    2.3 近似幾何模型

    比較式(17)與式(6),發(fā)現(xiàn)只相差secβ。當(dāng)β=0°時,secβ=1,可將式(6)與式(17)統(tǒng)一為:

    (18)

    (19)

    可求得在一定條件下使rout最小的n。而n為不小于3的整數(shù),故需求得n(在實際設(shè)計時,機構(gòu)的扇頁數(shù)盡量少)。這樣使機構(gòu)外接圓直徑rout最小的nmin為:

    nmin=n

    (20)

    同時發(fā)現(xiàn),式(16)與式(3),式(15)與(5)也只相差secβ,這樣無錐度與有錐度的折展機構(gòu)的設(shè)計方法可統(tǒng)一,結(jié)果見表1。

    表1 近似幾何模型Table 1 Approximate geometry model

    3 算例與誤差校驗

    本章中列出一組設(shè)計尺寸,如表2所示,以展示rout、rin及Hout的隨n的變化趨勢,以及近似模型與解析模型的誤差。

    表2 設(shè)計尺寸Table 2 Designing dimensions

    3.1 無錐度模型的尺寸變化趨勢及誤差

    將表2中的數(shù)據(jù)帶入式(1)、式(5)及式(3)中,并通過式(18)求得nmin,結(jié)果如圖10及圖11。

    將式(2)與式(5)作差,并取絕對值,繪制出近似后的折疊狀態(tài)外接圓半徑rout與理論的折疊狀態(tài)外接圓半徑rout的誤差變化曲線,如圖12??梢园l(fā)現(xiàn),在近似條件下,誤差很小,可以忽略。

    從圖10可以看出rout的變化曲線實際上是內(nèi)凹的,存在使rout最小的點。同時,在接近最小值點的曲線段上的斜率值較小且變化平緩,在實際設(shè)計時,在rout滿足要求的情況下,可以盡量選更小的n值,使扇頁數(shù)盡量少。

    圖11展示出與直觀理解不同的現(xiàn)象,rin不是固定的,會隨著n的增大而增大。這意味著折疊后的機構(gòu)的中心孔可以被利用,容納某些功能結(jié)構(gòu),如:空間可展天線的次鏡等。

    在Rh(約R>10h)時,如圖12所示,近似模型對rout引入的誤差相對于rout非常小,可以忽略不計。所以在實際設(shè)計時,可以直接采用近似模型來進行設(shè)計。

    3.2 有錐度模型的尺寸變化趨勢及誤差

    將表2中的數(shù)據(jù)代入式(10)、式(12)及式(13)中,并通過式(18)求得nmin,結(jié)果如圖13及圖14。

    如圖13所示,有錐度模型的rout的變化趨勢一致,存在使rout最小的點。在實際設(shè)計時,選取n的思路與無錐度模型的一致。

    如圖14所示有錐度模型的rin的變化趨勢與無錐度模型的一致。

    將式(10)與式(14)作差,式(12)與式(15)作差,式(13)與式(16)作差并取絕對值,繪制出近似后的rout與理論rout的誤差變化曲線,近似后的rin與理論的rin的誤差變化曲線,近似后的Hfold與理論的Hfold的誤差變化曲線,如圖15??梢园l(fā)現(xiàn),在近似條件下,rout誤差及的rin誤差很小,可以忽略。而rout的誤差在n=18時大約為6.7%,并且近似值大于非近似模型值。意味著在Rh(約R>10h)時,近似幾何模型可以快速判斷機構(gòu)的幾何尺寸是否滿足設(shè)計要求。

    3.3 折展比

    折展比是反映機構(gòu)折展能力的重要參數(shù)。折展比又分為徑向折展比和軸向折展比。徑向折展比定義為:

    (21)

    軸向折展比定義為

    (22)

    對無錐度展開模型的算例,如圖10所示,其nmin=17。此時,rout=887 mm,Hfold=2107 mm,將其帶入式(21)及式(22)分別計算出徑向折展比λr=0.355及軸向折展比λa=0.421。

    對有無錐度展開模型的算例,如圖13所示,其nmin=18。此時,rout=955 mm,Hfold=2432 mm,將其代入式(21)及式(22)分別計算出徑向折展比λr=0.382及軸向折展比λa=0.486。

    文獻[5]中介紹的可展固體反射面天線的徑向折展比在0.36~0.44之間,軸向折展比在0.37~0.54之間。本文所介紹的折展機構(gòu)的折展比在算例幾何尺寸條件下持平于現(xiàn)有的可展天線的折展比,當(dāng)h/R更小時,機構(gòu)的折展比會優(yōu)于現(xiàn)有可展天線的折展比,說明此機構(gòu)在可展天線方面有一定的應(yīng)用潛力。

    4 結(jié) 論

    單頂點多折痕折紙形式啟發(fā)的空間折展機構(gòu)構(gòu)型不僅可將平面結(jié)構(gòu)進行折展,也能將可包絡(luò)回轉(zhuǎn)曲面的錐形結(jié)構(gòu)進行折展。

    介紹了此類機構(gòu)處于展開狀態(tài)及折疊狀態(tài)的幾何設(shè)計模型,并在工程應(yīng)用所允許的范圍內(nèi)對其進行了近似簡化,可以快速判斷設(shè)計是否滿足尺寸約束條件。

    通過算例發(fā)現(xiàn)有錐度的模型與無錐度模型都具有使折疊狀態(tài)下機構(gòu)外接圓半徑值最小的最小值點(nmin)。同時,機構(gòu)的折展比與現(xiàn)有的空間可展固體反射面天線的折展比相當(dāng),甚至更優(yōu)。

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