基于定常海森矩陣的配電網(wǎng)三相最優(yōu)潮流模型

趙婷婷, 趙鳳展, 巨云濤, 杜松懷, 張 宇, 周獻飛

(1. 中國農(nóng)業(yè)大學信息與電氣工程學院, 北京市100083; 2. 國網(wǎng)北京市電力公司, 北京市 100031)

0 引言

含有高比例分布式電源(distributed generator,DG)和多種離散可調(diào)設(shè)備的主動配電網(wǎng)最優(yōu)潮流問題需綜合考慮高比例DG對配電網(wǎng)潮流分布的影響,通過優(yōu)化電網(wǎng)中可調(diào)設(shè)備的運行策略,實現(xiàn)運行成本最低或網(wǎng)損最小的目的,其實質(zhì)上是一個離散變量和連續(xù)變量共存的非凸、非線性規(guī)劃問題。實際電網(wǎng)中含有的離散可調(diào)設(shè)備包括補償電容器、有載調(diào)壓變壓器等,其在電力系統(tǒng)最優(yōu)潮流、改善系統(tǒng)節(jié)點電壓、減小網(wǎng)絡(luò)損耗等方面起到重要作用。

隨著分布式光伏電源等DG的接入,配電網(wǎng)的節(jié)點電壓越限問題越來越嚴重。高比例DG的接入對電網(wǎng)的穩(wěn)態(tài)潮流分布及節(jié)點電壓產(chǎn)生重大影響[1-7],解決節(jié)點電壓越限問題需要高效率的最優(yōu)潮流算法。文獻[6]研究了風速的不確定性、不同風電場之間風速的相關(guān)性對最優(yōu)潮流的影響。文獻[7]建立了含有載調(diào)壓變壓器的主動配電網(wǎng)最優(yōu)潮流模型,提出了一種基于分段線性化的有載調(diào)壓變壓器的準確建模方法,并應(yīng)用二階錐松弛法求解所建立的最優(yōu)潮流模型。文獻[8]考慮DG非耦合模型下的主動配電網(wǎng)優(yōu)化運行,其得到的結(jié)果是近似結(jié)果而不是準確的結(jié)果。文獻[9]建立了DG三相穩(wěn)態(tài)模型,其詳細模型可應(yīng)用于主動配電網(wǎng)最優(yōu)潮流計算。

原對偶內(nèi)點法因具有計算速度快、收斂性好等優(yōu)點被普遍應(yīng)用于解決傳統(tǒng)電力網(wǎng)絡(luò)最優(yōu)潮流問題[10-20]。文獻[13]提出一種基于高斯罰函數(shù)的離散變量處理方法,但其并沒有深入對比說明該方法較其他罰函數(shù)(如文獻[20]中的二次罰函數(shù))在計算效率方面的優(yōu)勢。文獻[14]在有載調(diào)壓變壓器模型中引入虛擬節(jié)點,將優(yōu)化問題變?yōu)橹苯亲鴺讼迪碌亩文Ｐ?縮短了無功優(yōu)化問題的求解時間。

本文結(jié)合目前配電網(wǎng)最優(yōu)潮流研究現(xiàn)狀,建立三相變壓器的二次模型,使最優(yōu)潮流模型的海森矩陣為常數(shù)陣,從而降低求解時間。建立了分布式光伏電源三相功率耦合的不對稱注入模型,提高DG接入主動配電網(wǎng)分析的精確性。應(yīng)用內(nèi)嵌罰函數(shù)的內(nèi)點法求解含離散控制變量的配電網(wǎng)三相最優(yōu)潮流,同時,加入調(diào)壓器對系統(tǒng)節(jié)點電壓進行分相微調(diào),進一步優(yōu)化目標函數(shù)值。最后,通過算例驗證本文所提模型及算法的正確性與有效性。

1 三相配電網(wǎng)模型

1.1 三相變壓器模型

直角坐標系下的最優(yōu)潮流模型,變壓器變比通常表示為兩端節(jié)點電壓幅值的比,導(dǎo)致最優(yōu)潮流模型是高于二次的非線性優(yōu)化問題,應(yīng)用內(nèi)點法進行計算時,海森矩陣會隨著迭代而更新,影響了求解速率[14,21]。為了克服這個問題,本文建立了新的三相變壓器二次模型,使最優(yōu)潮流計算過程中海森矩陣變成常數(shù)。下面以星形—三角形變壓器對該模型進行說明,但模型的適用性不只限于星形—三角形變壓器。

附錄A圖A1所示為星形—三角形變壓器支路ij,在中間加入虛擬節(jié)點m,使變壓器支路變成由理想變壓器(變比為k)支路im與變壓器阻抗(阻抗為R+jX)支路mj這兩條支路的組合。圖中標有各節(jié)點的電壓向量和支路電流向量。

根據(jù)理想變比線圈定義,有

(1)

根據(jù)能量守恒定理,有

(2)

可以得到:

(3)

三相系統(tǒng)中,在標幺值轉(zhuǎn)換時,電壓參考值是節(jié)點電壓,線電壓的基值為節(jié)點電壓,對于星形—三角形變壓器,標準變比為1∶1.732。

變壓器阻抗支路mj可作為一條普通阻抗支路進行處理,有式(4)成立:

(4)

在如上變壓器模型中,以各節(jié)點(如附錄A圖A1中的節(jié)點i,m,j)三相電壓和三相支路電流為狀態(tài)變量(相對于傳統(tǒng)模型,增加了三相支路電流為狀態(tài)變量),變壓器變比k為控制變量,約束條件為各支路三相的KCL和KVL方程,由此形成了不高于二階的三相變壓器二次模型,其二階導(dǎo)數(shù)為常數(shù),從而構(gòu)成了最優(yōu)潮流模型的定常海森矩陣的一部分。

1.2 分布式光伏電源三相模型

三相的DG通常建立序分量電路建模。不同類型的DG包括以電壓型逆變器為接口的DG、雙饋異步風力發(fā)電機、同步發(fā)電機等。本文以廣泛應(yīng)用的光伏DG為研究對象,提出其三相二次模型。無特殊說明,下文所提DG均指光伏DG。

圖1 DG序分量模型Fig.1 Sequence component model of DG

DG的序分量模型被連接到三相電路,通過相序轉(zhuǎn)化成各相分量。本文通過改進文獻[22]中DG的相—序耦合模型,提出DG相—序耦合的二次模型,選取DG總的注入電流和端口電壓的相分量為未知量,根據(jù)相序轉(zhuǎn)換公式,可以得到DG各序的節(jié)點電壓和支路電流,即Ip,re+jIp,im,In,re+jIn,im,I0,re+jI0,im,Up,re+jUp,im,Un,re+jUn,im,U0,re+jU0,im。

DG的序分量約束如下:

(5)

(6)

(7)

式(5)—式(7)所示DG等式約束考慮了三相功率耦合的特點,這與文獻[22]的穩(wěn)態(tài)模型不同,文獻[22]的序分量控制沒有考慮不對稱情況。該DG方程是線性二次方程式,因此可以保證含DG的最優(yōu)潮流計算過程中的海森矩陣是恒定的。

而在三相配電網(wǎng)最優(yōu)潮流中,常見使用DG的三相非耦合模型[8]如下:

(8)

式中:P和Q分別表示DG輸出的有功功率和無功功率;U和I分別表示DG節(jié)點電壓和注入電流;上標φ表示A,B,C相中的一相。

因此,本文考慮三相功率耦合特性的DG模型是精確的模型,而如式(8)所示的DG三相非耦合模型是近似的模型,在最優(yōu)潮流計算中,其得到的結(jié)果沒有三相耦合模型的結(jié)果精確。

1.3 三相調(diào)壓器模型

調(diào)壓器串聯(lián)接入電網(wǎng),用于配電網(wǎng)電壓的分相微調(diào)。三相星形調(diào)壓器由三個單相調(diào)壓器星形連接構(gòu)成,3個調(diào)壓器各自改變分接頭位置,其接線方式見附錄A圖A2。

該模型滿足以下等式約束關(guān)系:

(9)

(10)

(11)

式中:負號用于降壓,正號用于升壓;Ttap表示調(diào)壓器分接頭的位置(通常有32級調(diào)節(jié),其調(diào)節(jié)范圍為-10%～10%),是由線路壓降補償器依據(jù)負荷中心的電壓來控制的,補償器通過電壓互感器(變比NPT∶1)和電流互感器(變比CP∶CS)連接在配電線路上,接線圖見附錄A圖A3。補償器阻抗的設(shè)定值表示從調(diào)壓器到負荷中心的等效阻抗,公式如式(12)所示。

(12)

負荷中心的電壓為(以a相為例)為:

(13)

如果負荷中心的電壓水平為120 V,帶寬為2 V,則調(diào)壓器分接頭擋位每變化一擋,電壓將變化0.75 V,升壓、降壓時分接頭改變的次數(shù)近似為(以a相為例):

(14)

2 三相最優(yōu)潮流模型及算法

2.1 定常海森矩陣最優(yōu)潮流模型

以各節(jié)點的三相電壓和支路三相電流為狀態(tài)變量,建立三相配電網(wǎng)的最優(yōu)潮流模型,其簡化模型如下:

(15)

其中,目標函數(shù)為網(wǎng)絡(luò)總損耗最小,如式(16)所示。

(16)

等式約束條件包括以下幾項。

1)變壓器支路約束,見式(1)、式(3)和式(4)。

2)DG支路約束,見式(5)—式(7)。

3)調(diào)壓器支路約束,見式(9)和式(10)。

4)各阻抗支路三相的KVL和KCL方程：

(17)

式中:Ur,re和Ur,im分別為支路電壓實部和虛部矩陣；Ui,re和Ui,im分別為節(jié)點電壓實部和虛部矩陣；Ir,re和Ir,im分別為支路電流實部和虛部矩陣；A為節(jié)點支路關(guān)聯(lián)矩陣,AT為其轉(zhuǎn)置。對于三相四線制配電網(wǎng),將中性線處理成接地支路;對于缺相運行的配電網(wǎng),只列出已有相的支路方程即可。

不等式約束條件包括如下狀態(tài)變量約束和控制變量約束。

1)狀態(tài)變量約束,含各發(fā)電機有功及無功出力約束、節(jié)點電壓幅值約束,如式(18)所示。

(18)

式中：SG和SB分別為發(fā)電機和電網(wǎng)節(jié)點集合。

2)控制變量約束,包括變壓器分接頭擋位KT、調(diào)壓器分接頭擋位KV、無功補償電容器投切容量QC,如式(19)所示。

(19)

式中：ST,SV,SC分別為變壓器、調(diào)壓器和無功補償電容器集合。

由此可見,該模型中各公式的最高階數(shù)不超過二階。因此,應(yīng)用內(nèi)點法對該模型進行求解時,其海森矩陣為常數(shù)陣。本文應(yīng)用具有收斂速度快、穩(wěn)定性能好等優(yōu)點的預(yù)估—校正原對偶內(nèi)點法[10]對優(yōu)化模型進行求解。

2.2 離散變量連續(xù)化處理

主動配電網(wǎng)最優(yōu)潮流問題中具有離散控制變量(如變壓器分接頭位置、無功補償電容器容量等),在原目標函數(shù)中引入罰函數(shù)可將離散變量進行歸整,即使得原目標函數(shù)中附加了一項由離散變量引起的虛擬損耗,可將連續(xù)值就近靠攏取得離散值。目前比較有效的有二次罰函數(shù)[20]和高斯罰函數(shù)[13],二者的表達式分別如式(20)和式(21)所示。

(20)

(21)

式中:N為離散變量數(shù)量;v為懲罰因子;x=(xi)為離散控制變量;b=(bi)為各離散控制變量的一組離散值；c=(ci)為鄰域大小因子，為常數(shù)。懲罰函數(shù)值隨著向量x=[x1,x2,…,xN]T中xi與bi的距離的減小而下降為零。

將罰函數(shù)擴展到目標函數(shù)式(16)中,得:

(22)

當懲罰因子足夠大的時候,為使目標函數(shù)達到最小值,離散控制變量將被優(yōu)化到相應(yīng)的離散值,從而使懲罰函數(shù)值變?yōu)榱恪?/p>

高斯罰函數(shù)與二次罰函數(shù)相比,有更快的下降速度,對離散變量的變化更敏感;但二次罰函數(shù)是二階函數(shù),其二階導(dǎo)數(shù)為常數(shù),而高斯罰函數(shù)為高階函數(shù),其二階導(dǎo)數(shù)會隨著自變量的變化而改變。二者計算效果和速度的比較將在后面的算例分析中給出。

2.3 最優(yōu)潮流二級迭代優(yōu)化策略

為了實現(xiàn)系統(tǒng)節(jié)點電壓優(yōu)化和最小化網(wǎng)損的目的,利用發(fā)電機、變壓器、無功補償電容器和DG的可控性及調(diào)壓器分相微調(diào)電壓的功能,本文設(shè)計了基于二級迭代的最優(yōu)潮流控制策略。其中,一級迭代優(yōu)化是指固定調(diào)壓器分接頭變比,通過調(diào)節(jié)發(fā)電機無功出力、變壓器分接頭、投切無功補償電容器、控制DG出力,對系統(tǒng)進行最優(yōu)潮流計算,使系統(tǒng)的有功損耗達到最小;二級迭代優(yōu)化是指根據(jù)一級迭代優(yōu)化結(jié)果更新調(diào)壓器分接頭變比,對系統(tǒng)電壓進行分相微調(diào)。

具體步驟如下。

步驟1:設(shè)調(diào)壓器的分接頭位置為1。

步驟2:進行最優(yōu)潮流計算(此時,調(diào)壓器的分接頭位置不參與優(yōu)化),得出發(fā)電機無功出力、可調(diào)變壓器分接頭位置、分布式電容器投切位置及容量、DG的有功、無功出力。

步驟3:根據(jù)步驟2的最優(yōu)潮流計算結(jié)果,并根據(jù)負荷中心節(jié)點電壓理想值范圍目標,由式(11)至式(14)計算調(diào)壓器變比。

之后,根據(jù)新的調(diào)壓器分接頭位置,再返回步驟2重新計算最優(yōu)潮流,后步驟3計算調(diào)壓器分接頭新的位置。如此反復(fù)計算,直到負荷中心的電壓在期望的理想值范圍內(nèi),迭代結(jié)束。

3 算例分析

應(yīng)用MATLAB符號運算工具箱對本文所提的基于定常海森矩陣的配電網(wǎng)三相最優(yōu)潮流模型進行仿真分析。針對圖2所示的修正配電網(wǎng)IEEE 13節(jié)點測試系統(tǒng)進行分析。

圖2 IEEE 13節(jié)點修正系統(tǒng)接線圖Fig.2 Wiring diagram of modified IEEE 13-bus system

圖2中標出了變壓器的參數(shù)(變比、額定容量、阻抗參數(shù))、線路的相數(shù)(省略了線路的阻抗和導(dǎo)納參數(shù))、負荷參數(shù)、無功補償配置容量等。算例中的控制變量為發(fā)電機無功出力、DG出力、變壓器變比的調(diào)整和無功補償電容器(節(jié)點8和節(jié)點12的分相電容器)的投切,其中變壓器變比和電容器是離散控制變量。設(shè)變壓器變比范圍為0.90～1.10,共分為8擋,分級步長為0.025。電容器的最大無功出力為0.02(標幺值),分級步長為0.01(標幺值)。所有節(jié)點的電壓范圍為0.9～1.1(標幺值)。調(diào)壓器分接頭有32級調(diào)節(jié),調(diào)節(jié)范圍為-10%～10%,負荷中心設(shè)在節(jié)點3,其電壓水平為120 V,帶寬為2 V。

3.1 三相配電變壓器二次模型的驗證分析

針對修正IEEE 13節(jié)點三相配電系統(tǒng),為了驗證本文提出的用于主動配電網(wǎng)最優(yōu)潮流問題的三相變壓器模型的合理性,針對三相配電網(wǎng)的傳統(tǒng)三相變壓器非二次模型[21]與本文提出的三相變壓器二次模型,應(yīng)用基于二次罰函數(shù)的預(yù)估—校正原對偶內(nèi)點法進行最優(yōu)潮流計算,結(jié)果如表1所示。

表1 不同變壓器模型優(yōu)化結(jié)果Table 1 Optimization results of different transformer models

由表1可知,應(yīng)用兩種模型的網(wǎng)絡(luò)損耗相同,但是本文所提三相變壓器二次模型較非二次模型大大提高了計算速度。其原因是,在最優(yōu)潮流計算過程中,本文提出的三相變壓器的二次模型及其他設(shè)備的不高于二次模型的海森矩陣為常數(shù),在迭代過程中只需要計算一次,每次迭代不需要重新計算,從而大大減少了計算時間;而傳統(tǒng)的三相變壓器的非二次模型的海森矩陣不為常數(shù),每次迭代都要重新計算,如表1所示,算例需要計算17次,這使得計算時間顯著增加。

另外,兩種模型的計算時間都比較長,這是因為優(yōu)化過程中的海森矩陣是基于MATLAB符號運算自動微分生成的,計算海森矩陣的速度較慢,但這對算例得到的結(jié)論沒有影響。算例中優(yōu)化迭代次數(shù)是17次,在計算機上,單純計算一次海森矩陣需要6.696 465 s,所以非定常海森矩陣模型中海森矩陣的計算時間保守估計是一次計算的17倍,即113.84 s。由此,表1中的計算時間是合理的。

3.2 最優(yōu)潮流算法及其離散變量連續(xù)化處理算法的比較分析

為了比較二次罰函數(shù)與高斯罰函數(shù)的收斂特性及對優(yōu)化算法的計算時間的影響,設(shè)計了嵌入二次罰函數(shù)的預(yù)估—校正原對偶內(nèi)點法(方法A)和嵌入高斯罰函數(shù)的預(yù)估—校正原對偶內(nèi)點法(方法B)的最優(yōu)潮流對比試驗。分別用這兩種算法對修正IEEE 13節(jié)點三相配電系統(tǒng)進行最優(yōu)潮流計算,通過比較各算法的優(yōu)化結(jié)果(網(wǎng)絡(luò)損耗)、迭代次數(shù)、收斂精度為e-10、計算時間等,證明各方法的優(yōu)劣之處。

表2是應(yīng)用如上兩種方法進行最優(yōu)潮流計算的結(jié)果。由表2可知,在優(yōu)化結(jié)果方面,高斯罰函數(shù)略優(yōu)于二次罰函數(shù)。在優(yōu)化求解過程中,嵌入高斯罰函數(shù)與嵌入二次罰函數(shù)的迭代次數(shù)幾乎相同,但嵌入高斯罰函數(shù)計算時間更長,這是由于高斯罰函數(shù)是高階函數(shù),海森矩陣是非定常矩陣,每次迭代都要重新計算,從而增加了計算時間。

表2 優(yōu)化結(jié)果對比Table 2 Comparison of optimization results

附錄A圖A4為預(yù)估—校正原對偶內(nèi)點法中嵌入二次罰函數(shù)和高斯罰函數(shù)的對比,由圖可知,隨著迭代次數(shù)的增加,對偶間隙逐漸減小,當兩種罰函數(shù)的收斂效果都達到期望值時,方法A計算時間約是方法B的1/5。

3.3 加入調(diào)壓器的最優(yōu)潮流二次迭代優(yōu)化控制

為驗證調(diào)壓器對配電網(wǎng)節(jié)點電壓分相微調(diào),可在最優(yōu)潮流計算中進一步優(yōu)化目標函數(shù)值的作用,應(yīng)用含有調(diào)壓器的IEEE 13節(jié)點三相配電系統(tǒng)進行最優(yōu)潮流二級迭代優(yōu)化計算,計算結(jié)果見表3。

表3 含調(diào)壓器的最優(yōu)潮流Table 3 Optimal power flow with voltage regulator

每次迭代代表進行一次最優(yōu)潮流計算和一次調(diào)壓器分接頭擋位計算。如表3所示,進行3次迭代后,負荷中心的電壓變?yōu)橐?guī)定范圍內(nèi),目標函數(shù)值較沒有加入調(diào)壓器時減少0.32%。加入調(diào)壓器后,網(wǎng)損減小值比較微小,這是因為調(diào)壓器主要起到分相微調(diào)電壓的作用。迭代前后各節(jié)點A相電壓分布見附錄A圖A5,圖中畫出了節(jié)點0,1,2,3,4,5,6,7,8,11,13共11個節(jié)點的A相電壓。由此可見,調(diào)壓器對各節(jié)點電壓有微調(diào)作用。綜上可知,在最優(yōu)潮流計算中,調(diào)壓器可對節(jié)點電壓進行分相微調(diào)并進一步優(yōu)化目標函數(shù)值。

4 結(jié)論

本文的主要結(jié)論如下。

1)本文提出了一種三相電路有載調(diào)壓變壓器的二次模型,在最優(yōu)潮流求解中,該模型的海森矩陣為常數(shù),不需要隨迭代而更新,從而大大降低了求解速度。

2)設(shè)計了基于內(nèi)點法的主動配電網(wǎng)三相最優(yōu)潮流模型,該模型中考慮了三相變壓器的二次模型、DG的三相耦合不對稱模型,并用仿真算例驗證了模型的合理性。

3)通過算例比較了內(nèi)點法中嵌入二次罰函數(shù)、高斯罰函數(shù)的離散變量連續(xù)化處理方法的優(yōu)劣。

4)提出了含調(diào)壓器的系統(tǒng)二級優(yōu)化潮流控制算法,由加入調(diào)壓器最優(yōu)潮流算例可知,調(diào)壓器對系統(tǒng)電壓進行分相微調(diào),可進一步優(yōu)化目標函數(shù)值。

本文使用MATLAB符號運算自動微分生成海森矩陣,這使編程相對簡單,但整體計算速度較慢。 當考慮較大的系統(tǒng)時,計算時間要長得多。因此,使用其他軟件來實現(xiàn)所提的方法并測試實際較大系統(tǒng)是下一步研究計劃。

附錄見本刊網(wǎng)絡(luò)版(http://www.aeps-info.com/aeps/ch/index.aspx)。