配電網(wǎng)區(qū)間線性三相潮流的非迭代仿射求逆計(jì)算方法

敖 鑫, 王 淳

(南昌大學(xué)電氣與自動(dòng)化系， 江西省南昌市 330031)

0 引言

隨著可再生能源大規(guī)模并網(wǎng)，新能源出力的間歇性和用電側(cè)負(fù)荷的不確定性對電網(wǎng)的影響日趨顯著，加劇了潮流分析的復(fù)雜程度?；趩我粩嗝娴某绷饔?jì)算方法缺乏對系統(tǒng)不確定因素的考慮，無法為電力系統(tǒng)的靜態(tài)安全分析提供充分的依據(jù)，需要開展計(jì)及不確定性的潮流計(jì)算。區(qū)間潮流計(jì)算利用區(qū)間數(shù)描述不確定信息，根據(jù)變量的邊界信息計(jì)算潮流的可能分布范圍，具有建模簡單、所需信息少的優(yōu)點(diǎn)[1-2]。

為處理系統(tǒng)中存在的區(qū)間不確定性，文獻(xiàn)[3]將區(qū)間分析法用于直流潮流計(jì)算中，將區(qū)間潮流計(jì)算問題轉(zhuǎn)化為求解常系數(shù)的區(qū)間線性方程組問題，并采用區(qū)間高斯消元法對其進(jìn)行求解。文獻(xiàn)[4-5]建立了配電網(wǎng)元件的區(qū)間模型，將區(qū)間分析法應(yīng)用到前推回代算法中。但區(qū)間數(shù)存在不能描述變量間相關(guān)性的固有缺陷[6]，直接采用區(qū)間四則運(yùn)算進(jìn)行高斯消元或者前推回代易使計(jì)算結(jié)果過于保守。為降低區(qū)間潮流計(jì)算的保守性，文獻(xiàn)[7]研究了更改區(qū)間數(shù)表示方式對解集保守性的影響；文獻(xiàn)[8]和文獻(xiàn)[9]分別采用Krawczky算法和帶預(yù)處理的區(qū)間Hull算法求解區(qū)間直流潮流方程，提升了區(qū)間直流潮流的計(jì)算精度；文獻(xiàn)[10]在極坐標(biāo)牛頓法的基礎(chǔ)上，采用Krawczyk-Moore算子進(jìn)行區(qū)間迭代并求解區(qū)間潮流，在算子的計(jì)算中引入了仿射運(yùn)算，有效降低了潮流解的保守性；文獻(xiàn)[11]將含二次約束的二次規(guī)劃模型進(jìn)行線性松弛后，再應(yīng)用于求解輸電網(wǎng)區(qū)間潮流問題，通過最優(yōu)邊界緊縮方法收縮解集外殼，提高了計(jì)算精度，但與仿射方法相比需要消耗更多的計(jì)算時(shí)間；文獻(xiàn)[12-15]采用仿射數(shù)描述區(qū)間變量間的相關(guān)性，利用仿射四則運(yùn)算進(jìn)行不動(dòng)點(diǎn)潮流迭代，有效降低了配電網(wǎng)區(qū)間潮流計(jì)算的保守性，但需要進(jìn)行反復(fù)的迭代以獲取收斂的潮流解，當(dāng)系統(tǒng)負(fù)荷較重或者負(fù)荷的區(qū)間變動(dòng)范圍較大時(shí)，會導(dǎo)致計(jì)算量增加甚至不收斂。文獻(xiàn)[16]在仿射快速分解法潮流的每步迭代中引入線性優(yōu)化方法，抑制了區(qū)間的增長，但不適用于高電阻/電抗(R/X)比值的配電網(wǎng)。文獻(xiàn)[17]利用變量的仿射展開，將區(qū)間潮流計(jì)算問題轉(zhuǎn)換成了求解線性規(guī)劃、非線性規(guī)劃和二次規(guī)劃等3個(gè)優(yōu)化問題，提出了適用于輸電網(wǎng)的非迭代區(qū)間潮流算法，但構(gòu)造優(yōu)化模型時(shí)利用了直流潮流模型，無法直接拓展應(yīng)用到配電網(wǎng)計(jì)算中。

基于上述原因，本文以線性三相潮流方程為基礎(chǔ)，采用仿射數(shù)描述區(qū)間變量，將配電網(wǎng)區(qū)間潮流計(jì)算轉(zhuǎn)換為求解仿射線性潮流方程組，并嘗試引入一種非迭代的仿射矩陣求逆方法對其進(jìn)行求解，通過仿射求逆運(yùn)算以及對仿射方程的保守估計(jì)推導(dǎo)出仿射節(jié)點(diǎn)電壓的顯式計(jì)算公式，從而避免了區(qū)間潮流計(jì)算的迭代過程。最后采用多個(gè)三相不平衡系統(tǒng)作為算例，對所提方法的計(jì)算性能進(jìn)行了驗(yàn)證與比較。

1 仿射矩陣及其求逆方法

區(qū)間數(shù)學(xué)將不確定變量采用區(qū)間數(shù)表示，但區(qū)間數(shù)無法描述變量間的關(guān)聯(lián)關(guān)系，在計(jì)算過程中易導(dǎo)致區(qū)間擴(kuò)張。仿射數(shù)學(xué)將不確定變量用一組仿射線性多項(xiàng)式表示，可以描述區(qū)間變量之間的聯(lián)系，從而可以有效降低區(qū)間運(yùn)算的擴(kuò)張性。區(qū)間數(shù)和實(shí)仿射數(shù)的定義以及四則運(yùn)算公式[18]詳見附錄A。

1.1 仿射矩陣

(1)

(2)

1.2 仿射矩陣的逆運(yùn)算

為減輕區(qū)間運(yùn)算帶來的保守性問題，在2010年D.Degrauwe提出了一種求解仿射系統(tǒng)的線性方程組的解法[19]，并以3個(gè)結(jié)構(gòu)分析中的實(shí)際問題為例，驗(yàn)證了方法的有效性。求解仿射線性方程組的核心就是對仿射矩陣進(jìn)行求逆，以下介紹仿射矩陣求逆的主要原理。

根據(jù)Neumann級數(shù)，矩陣的逆可展開為：

(E+X)-1=E-X+X2-X3+…

(3)

式中：E為單位矩陣；X為任一方陣，其譜半徑ρ(X)小于1，這一條件在一般應(yīng)用領(lǐng)域內(nèi)均能滿足[19]。

(4)

(5)

(6)

若保留式(6)中噪聲元的一次部分，be°εem作為其余高次部分的保守估計(jì)值，則b0和bi的計(jì)算公式分別如式(7)和式(8)所示，be保守估計(jì)的計(jì)算公式如式(9)所示，對應(yīng)的方法稱為一次展開法。若保留式(6)中噪聲元的二次部分，be°εem作為二次以上噪聲元的保守估計(jì)值，則b0的計(jì)算公式變?yōu)槭?10)，be的計(jì)算公式變?yōu)槭?11)，bi的計(jì)算公式仍為式(8)，對應(yīng)的方法稱為二次展開法。一次展開法與二次展開法的詳細(xì)推導(dǎo)過程可參考附錄B。

b0=E

(7)

bi=-aii=1,2,…,m

(8)

be=Z2(E-Z)-1

(9)

(10)

Z3(E-Z)-1

(11)

2 基于仿射求逆的區(qū)間線性三相潮流計(jì)算方法

2.1 線性三相潮流算法

(12)

式中：IN為非平衡節(jié)點(diǎn)的注入電流構(gòu)成的向量，可根據(jù)電阻/電流/功率(ZIP)負(fù)荷模型計(jì)算得到；YNN為其余節(jié)點(diǎn)的導(dǎo)納矩陣；YNS為平衡節(jié)點(diǎn)與其余節(jié)點(diǎn)之間的互導(dǎo)納矩陣。

在IEEE標(biāo)準(zhǔn)算例[20]中，ZIP負(fù)荷模型的恒電流分量和恒阻抗分量均為折算到標(biāo)稱電壓Vnom=1.0(標(biāo)幺值)下的復(fù)功率，其負(fù)荷的單相ZIP組合模型如式(13)所示。

(13)

負(fù)荷模型中，恒注入功率部分是非線性的，要得到最終的節(jié)點(diǎn)電壓需要進(jìn)行高斯迭代，這種迭代方法就是隱式Zbus高斯法[21]。在配電網(wǎng)中，其余節(jié)點(diǎn)與平衡節(jié)點(diǎn)之間的相角差實(shí)際上很少超過±10°[22]。根據(jù)配電網(wǎng)的這一特點(diǎn)，可對負(fù)荷模型中的非線性部分作線性近似，推廣到三相模型后如式(14)所示。

(14)

根據(jù)線性簡化方法，最終的配電網(wǎng)潮流方程簡化為式(15)所示的一組復(fù)線性方程組,整理成實(shí)線性方程組如式(16)所示，式(15)和式(16)出現(xiàn)的新矩陣計(jì)算公式詳見附錄C的式(C1)至式(C4)，潮流方程線性化的詳細(xì)推導(dǎo)過程可參考文獻(xiàn)[23]。

(15)

DVr-m=-Ar-m

(16)

式中：A,B,C為系數(shù)矩陣；D為實(shí)系數(shù)矩陣；Vr-m和Ar-m分別為由VN和A矩陣元素的實(shí)部和虛部構(gòu)成的實(shí)矩陣。

2.2 區(qū)間線性三相潮流的仿射求逆計(jì)算原理

(17)

為便于區(qū)分，記三相模型中同一處不同相的多個(gè)節(jié)點(diǎn)為一個(gè)端點(diǎn)。線路阻抗參數(shù)的不確定性很小，可視為確定值，各個(gè)節(jié)點(diǎn)的負(fù)荷均視為區(qū)間值，其中恒功率負(fù)荷的有功分量和無功分量采用仿射數(shù)表示后分別如式(18)和式(19)所示，恒電流和恒阻抗負(fù)荷的仿射表示類似，不再贅述。

(18)

(19)

式中：SP,re,i和SP,im,i分別為節(jié)點(diǎn)i的恒功率分量中有功功率和無功功率的中值；ΔSP,re,i和ΔSP,im,i分別為節(jié)點(diǎn)i恒功率分量中的有功功率和無功功率的不確定分量。

(20)

各項(xiàng)噪聲系數(shù)矩陣的計(jì)算式詳見附錄C式(C8)至式(C13)。仿射矩陣的求逆要求中心值為單位矩陣，因此須對式(17)進(jìn)行單位化處理，如式(21)所示。

(21)

將式(21)簡寫為式(22)，從而得到仿射節(jié)點(diǎn)電壓的計(jì)算式(23)。

(22)

(23)

(24)

(25)

(Le°εem)A0?(|Le||A0|)°εev2

(26)

(27)

式(25)至式(27)右側(cè)保守估計(jì)的噪聲元對應(yīng)的系數(shù)矩陣均為正，故滿足式(28)，從而得到仿射逆陣與仿射向量的乘積可用式(29)表示。根據(jù)式(29)可直接計(jì)算得到仿射節(jié)點(diǎn)電壓。

(28)

式中：εev為n維噪聲元向量。

(29)

3 算例分析

3.1 計(jì)算精度比較

以IEEE 37節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)[25]作為算例，移除調(diào)壓器，并假定節(jié)點(diǎn)的各相負(fù)荷具有恒定功率因數(shù)，負(fù)荷大小均在確定數(shù)值的±10%范圍內(nèi)波動(dòng)。采用以下4種區(qū)間潮流計(jì)算方法對算例進(jìn)行計(jì)算與比較。

方法1：基于蒙特卡洛模擬的隱式Zbus高斯法，對負(fù)荷數(shù)據(jù)在不確定范圍內(nèi)進(jìn)行隨機(jī)抽樣，利用隱式Zbus高斯法進(jìn)行潮流計(jì)算并統(tǒng)計(jì)得到潮流上、下界，隨機(jī)抽樣次數(shù)設(shè)置為104。該計(jì)算方法未經(jīng)過線性化處理，得出的是精確潮流解，在后續(xù)比較中將以該方法計(jì)算得到的區(qū)間作為參考標(biāo)準(zhǔn)。

方法2：基于區(qū)間迭代的Krawczyk算法，采用區(qū)間算法進(jìn)行區(qū)間迭代并求解式(16)構(gòu)成的區(qū)間線性潮流方程組。

方法3： 在方法2的基礎(chǔ)上，采用仿射方法[10]計(jì)算Krawczyk算子，并迭代求解區(qū)間線性潮流方程組。

方法4：基于仿射求逆的區(qū)間線性三相潮流算法，利用本文所述仿射矩陣求逆方法中的一次展開法求解仿射線性潮流方程組。

方法1至方法3的收斂精度均設(shè)為10-5。系統(tǒng)中A相節(jié)點(diǎn)電壓的實(shí)部和虛部區(qū)間分別如圖1和圖2所示。在圖1和圖2中，方法2的區(qū)間范圍很大，存在嚴(yán)重的保守性問題，原因是區(qū)間數(shù)不能描述區(qū)間變量的相關(guān)性，采用Krawczyk算法進(jìn)行區(qū)間迭代易使結(jié)果產(chǎn)生較大誤差。方法3在計(jì)算Krawczyk算子中采用了仿射運(yùn)算，得到的解集外殼區(qū)間要比方法2窄，但在每次迭代中，計(jì)算得到的仿射數(shù)需要轉(zhuǎn)換為區(qū)間數(shù)后與前一次迭代的結(jié)果進(jìn)行區(qū)間交集運(yùn)算才能得到新的迭代算子，仿射數(shù)轉(zhuǎn)區(qū)間數(shù)的過程中會使仿射信息出現(xiàn)無法避免的丟失，從而無法充分利用仿射運(yùn)算的優(yōu)勢。方法4通過直接求解仿射線性方程組，能夠充分利用所有的仿射信息，與方法2和3相比，其區(qū)間外殼最為貼近方法1，且完全包含了方法1的計(jì)算結(jié)果，說明方法4兼具完備性和低保守性。

圖1 A相節(jié)點(diǎn)電壓實(shí)部區(qū)間Fig.1 Real part of nodal voltage bounds of phase A

圖2 A相節(jié)點(diǎn)電壓虛部區(qū)間Fig.2 Imaginary part of nodal voltage bounds of phase A

3.2 一次展開法與二次展開法的比較

(30)

(31)

當(dāng)計(jì)算值具有保守性時(shí)，μ+/μ-均大于0，且它們的值越小表示離標(biāo)準(zhǔn)結(jié)果越近?；谝淮握归_法和二次展開法計(jì)算得到的部分端點(diǎn)的電壓A相實(shí)部的偏差如表1所示。表1中，二次展開法的各端點(diǎn)的上、下偏差均不超過一次展開法，表明二次展開法的結(jié)果更逼近標(biāo)準(zhǔn)結(jié)果，但它與一次展開法計(jì)算結(jié)果的偏差率不足0.1%，在工程上可以認(rèn)為是等同的，考慮到一次展開法計(jì)算量更小，因此在配電網(wǎng)計(jì)算中，一次展開法完全可以滿足需要。

表1 一次展開法與二次展開法的偏差Table 1 Errors of firsts order expansion method and second order expansion method

3.3 不確定度下的性能測試

為測試算法在不同不確定度下的計(jì)算性能，將不確定范圍從±10%增加到±50%，分析方法2至方法4的計(jì)算性能。附錄D圖D1為3種方法在多個(gè)不確定度下的偏差分布，其中圖D1(a)各相的最小偏差和圖D1(b)最大偏差分別指的是在所有端點(diǎn)中，該相的上、下偏差的最小值和最大值，它們分別表示區(qū)間外殼的最窄部分和最寬部分，可以體現(xiàn)算法的保守性和完備性。圖D1(a)中，采用3種方法得到的各相最小偏差均大于0，說明3種方法在多個(gè)不確定度下得到的結(jié)果均是完備的；隨著不確定度的增加，最大偏差和最小偏差都呈現(xiàn)近似線性增加的趨勢，偏差曲線的斜率為方法2>方法3>方法4，說明隨著不確定度的增加，方法3的誤差增速要小于方法2，方法4的誤差增速最小，更適用于具有較高不確定性的場合。

附錄D圖D2給出了多個(gè)不確定度下3種方法的迭代次數(shù)分布。方法4無須多次迭代，因此迭代次數(shù)恒定為1。方法2和方法3在多個(gè)不確定度下都能得到收斂解，隨著不確定度增加，方法2和方法3的迭代次數(shù)呈現(xiàn)不變或增加的趨勢，其中方法3的迭代次數(shù)增長速度明顯比方法2慢，表明仿射運(yùn)算的引入能夠有效改善區(qū)間潮流算法的收斂性能。

3.4 計(jì)算速度的比較

采用IEEE 13節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)[25]、IEEE 33節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)[26]、IEEE 37節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)[25]和IEEE 123節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)[25]4個(gè)三相不平衡系統(tǒng)作為算例，比較4種區(qū)間潮流算法的計(jì)算時(shí)間，如表2所示。在小型系統(tǒng)計(jì)算中，方法3的迭代次數(shù)大多比方法2少，在計(jì)算速度上具有微弱的優(yōu)勢，在大型系統(tǒng)中(IEEE 123節(jié)點(diǎn)系統(tǒng))，雖然方法3的迭代次數(shù)更少，但總體計(jì)算時(shí)間仍更多，這與仿射法的噪聲元數(shù)量增多有關(guān)；在所有算例中，方法4均具有最高的計(jì)算效率，這是因?yàn)榉椒?只須進(jìn)行一次仿射計(jì)算即可得到最終解，避免了迭代過程中花費(fèi)的時(shí)間，即使在大型系統(tǒng)的計(jì)算中，仍具有很高的計(jì)算效率。類似地，當(dāng)系統(tǒng)狀態(tài)變差時(shí)，方法4能夠有效避免效率下降的問題，以IEEE 37節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)為例，將負(fù)荷大小從初始負(fù)荷的1倍增加至7倍，負(fù)荷的不確定度恒定為±10%，定義計(jì)算時(shí)間比為算法在當(dāng)前負(fù)荷水平下的計(jì)算時(shí)間和初始負(fù)荷水平下的計(jì)算時(shí)間的比值，四種區(qū)間潮流計(jì)算方法在不同負(fù)荷比重下的計(jì)算時(shí)間比如附錄D圖D3所示。附錄D圖D3中，方法1至方法3的計(jì)算時(shí)間比隨著負(fù)荷比重的增加呈現(xiàn)上升趨勢，而方法4的計(jì)算時(shí)間比基本保持恒定，計(jì)算效率最為穩(wěn)定。

表2 計(jì)算時(shí)間比較 Table 2 Comparison of computing time

4 結(jié)語

將仿射矩陣求逆方法和線性三相潮流算法相結(jié)合，提出了配電網(wǎng)區(qū)間線性三相潮流的非迭代仿射求逆計(jì)算方法。采用仿射數(shù)描述區(qū)間變量間的關(guān)聯(lián)關(guān)系，將潮流方程組轉(zhuǎn)化為仿射線性方程組，降低了區(qū)間運(yùn)算的保守性,利用仿射矩陣的求逆方法求解仿射線性方程組。算例分析采用基于蒙特卡洛模擬的隱式Zbus高斯法作為參考標(biāo)準(zhǔn)，對比研究了本文算法的計(jì)算性能，結(jié)果表明：①仿射矩陣求逆方法適用于求解配電網(wǎng)的區(qū)間潮流計(jì)算問題，其中二次展開法比一次展開法能獲得更為緊湊的區(qū)間外殼，但兩者相差極小，在潮流計(jì)算中，一次展開法即可滿足工程需要；②基于仿射求逆的配電網(wǎng)區(qū)間線性三相潮流算法無須迭代，不存在收斂性問題，具有較快的計(jì)算速度和穩(wěn)定的計(jì)算效率。

本文研究未涉及討論如何處理配電系統(tǒng)中的其余非ZIP負(fù)荷類型的元件。當(dāng)系統(tǒng)中存在多種節(jié)點(diǎn)類型的分布式電源或考慮調(diào)壓器的調(diào)壓作用時(shí)，區(qū)間潮流計(jì)算都將變得更加復(fù)雜，這些都是未來需要進(jìn)一步考慮和完善的地方。

附錄見本刊網(wǎng)絡(luò)版(http://www.aeps-info.com/aeps/ch/index.aspx)。