Hilbert 空間等價類的萬有右穩(wěn)定性

衛(wèi) 倩, 夏紅川

(信陽師范學院 數(shù)學與統(tǒng)計學院，河南 信陽 464000)

0 引言

有關(guān)Banach空間中等距和ε-等距性質(zhì)的研究已有80多年歷史.1932年,波蘭數(shù)學家MAZUR和ULAM[1]首先研究了滿等距映射,并給出一個優(yōu)美的結(jié)果:若f:X→Y是滿等距且f(0)=0,則f是線性的.這說明Banach空間的度量結(jié)構(gòu)完全決定了空間的線性結(jié)構(gòu).MAZUR和ULAM對滿等距問題的證明使得數(shù)學家們開始關(guān)注ε-等距性質(zhì)的研究.1945年,HYERS和ULAM[2]研究了滿ε-等距,并提出問題:設(shè)X和Y是Banach空間,對于任意的標準滿ε-等距f:X→Y,是否存在γ>0及線性等距U:X→Y,使得f-U在X上有一致上界γε.經(jīng)過數(shù)學家們半個世紀的努力,OMLADI和EMRL[3]在1995年給出了Hyers-Ulam問題具有最優(yōu)估計值的肯定回答.1968年,FIGIEl[4]研究了非滿等距,并證明了對于任一標準等距f:X→Y,存在模為1的線性左逆算子.關(guān)于Hyers-Ulam問題和著名的Figiel定理,QIAN[5]于1995年首次提出下面的問題:是否對于每一對Banach空間(X,Y),均存在α>0和γ>0,使得任意的標準ε-等距f:X→Y是(α,γ)穩(wěn)定的?

對于非滿ε-等距穩(wěn)定性的研究是困難和復(fù)雜的.當Banach空間X和Y是Lp空間時,QIAN[5]、EMRL和VISL[6]給出了上述問題的肯定回答.但在一般情形下,QIAN[5]的反例表明此結(jié)論不成立.2013年，CHENG等[7]給出了Banach空間中非滿ε-等距的弱穩(wěn)定性描述.隨后,他們[8]又給出了弱穩(wěn)定性公式中的最優(yōu)估計值.

Banach空間上ε-等距的穩(wěn)定性得到了學者們的進一步研究[9-13],下列問題在文獻[9,10]中曾被提出:

問題1 是否存在一類Banach空間X滿足任意給定X∈X和任意Banach空間Y,(X,Y)是穩(wěn)定的?其中X中的任一Banach空間X稱為萬有左穩(wěn)定的.

問題2 是否存在一類Banach空間Y滿足任意給定Y∈Y和任意Banach空間X,(X,Y)是穩(wěn)定的?其中Y中的任一Banach空間Y稱為萬有右穩(wěn)定的.

近年來,CHENG等[9,10]系統(tǒng)地研究了Banach空間的萬有左穩(wěn)定性和萬有右穩(wěn)定性,證明了:每一個λ單空間是萬有左穩(wěn)定的;線性同構(gòu)于l的一個無限維子空間的Banach空間X是萬有左穩(wěn)定的當且僅當X同構(gòu)于l;可分Banach空間X滿足對于任意可分Banach空間Y,(X,Y)是穩(wěn)定的當且僅當X同構(gòu)于c0;Banach空間X是萬有左穩(wěn)定的當且僅當X是勢單空間;若Banach空間Y是萬有右穩(wěn)定的,則Y同構(gòu)于Hilbert空間.

本文將進一步研究同構(gòu)于Hilbert空間的Banach空間Y是萬有右穩(wěn)定時所具有的性質(zhì).結(jié)果表明:當Banach空間Y同構(gòu)于一Hilbert空間時,Y是萬有右穩(wěn)定的當且僅當對任一可分Banach空間X,(X,Y)是穩(wěn)定的.

1 Hilbert空間等價類的萬有右穩(wěn)定性

定義1[5]設(shè)X和Y是Banach空間,ε≥0,f:X→Y是標準的ε-等距.稱f是(α,γ)穩(wěn)定的,如果存在α>0和γ>0,以及有界線性算子

且‖T‖≤α,使得

‖Tf(x)-x‖≤γε,?x∈X.

在不引起混淆的情況下,也簡單地說f是穩(wěn)定的.

定義2[5]稱一對Banach空間(X,Y)是穩(wěn)定的,如果對于任意標準的ε-等距f:X→Y,存在α>0和γ>0,使得f是穩(wěn)定的.

定義3[10]稱Banach空間X(Y)是萬有左(右)穩(wěn)定的,如果任給Banach空間Y(X),(X,Y)是穩(wěn)定的.

引理2[8]設(shè)X和Y是Banach空間,映射f:X→Y是標準的ε-等距，則對于任意的x*∈X*,存在φ∈Y*且

‖φ‖=‖x*‖=r,

使得

|〈φ,f(x)〉-〈x*,x〉|≤2rε,?x∈X.

(1)

引理3 設(shè)X和Y是Banach空間,Y同構(gòu)于一Hilbert空間,映射f:X→Y是標準的ε-等距.任意給定N上的自由超濾子U,則由

(2)

定義的映射Φ:X→Y滿足:

(1)Φ(0)=0,

(2)‖Φ(x)-Φ(y)‖=‖x-y‖,對任意的x,y∈X,Y賦予弱拓撲.

證明因為Banach空間Y同構(gòu)于一Hilbert空間,所以Y是自反的.任意給定x∈X,

(1)Φ(0)=0顯然成立.

(2)一方面,對任意的x,y∈X,有

‖Φ(x)-Φ(y)‖=

(3)

另一方面,任取x,y∈X,由Hahn-Banach定理知,存在x*∈SX*,使得

〈x*,x-y〉=‖x-y‖.

由引理2知,存在φ∈SY*,使得

|〈φ,f(x)〉-〈x*,x〉|≤2ε,

則

且

因此

‖x-y‖=〈x*,x-y〉=

〈φ,Φ(x)-Φ(y)〉≤

‖Φ(x)-Φ(y)‖.

(4)

由式(3)和式(4)即得

‖Φ(x)-Φ(y)‖=‖x-y‖,?x,y∈X.

證畢.

引理3說明了映射Φ:X→Y是標準等距.下面考慮Hilbert空間等價類的閉子空間的可補性以及可分子空間的穩(wěn)定性.

引理4 若Banach空間Y同構(gòu)于一Hilbert空間H,則Y的任一閉子空間是一致可補的.

證明記

β=dist(Y,H)=

inf{‖T-1‖‖T‖:T:Y→H是線性同構(gòu)},

則存在線性同構(gòu)T:Y→H,使得

任取閉子空間M?Y,則

T1=T|M:M→T(M)

是線性同構(gòu).因為閉子空間T(M)在H中是1-可補的,所以存在有界線性投影P1:H→T(M)且‖P1‖=1.

另一方面

因此P:Y→M是線性投影且

‖P‖≤β+1.

由閉子空間M的任意性知,Banach空間Y是一致可補的,即Y的任一閉子空間是β+1可補的.證畢.

引理5 設(shè)X和Y是Banach空間,f:X→Y是標準的ε-等距.若對于任一可分子空間Xα?X,f|Xα是穩(wěn)定的,則對于任意可分子空間,f是一致穩(wěn)定的,即存在M>0,對于任意的可分子空間Xα?X,存在有界線性算子

Tα:L(f|Xα)→Xα,

使得對于任意的x∈Xα,

‖Tαf(x)-x‖

證明任取可分子空間Xα?X.記Mα=inf{γα:存在有界線性算子

Tα:L(f|Xα)→Xα

及γα>0,使得對任意的x∈Xα都有

‖Tαf(x)-x‖<γαε}.

因為f|Xα是穩(wěn)定的,所以存在α0>0,γ0>0和有界線性算子Tα:L(f|Xα)→Xα且‖Tα‖≤α0,使得

‖Tαf(x)-x‖≤γ0ε,?x∈Xα.

因此Mα非空,且Mα<.令

則M<.否則,對任意n∈N，存在Mn,使得Mn>n.令

X

顯然X是可分的,因此存在α1>0,γ1>0和有界線性算子

T:L(f|X)→X,‖T‖≤α1,

使得

‖Tf(x)-x‖≤γ1ε,?x∈X.

特別地,

‖Tf(x)-x‖≤γ1ε,?x∈Xn,?n∈N.

因此對于任意的n∈N,Mn≤γ1,取n=[γ1]+1,則Mn>n>γ1.矛盾.

于是,對于任意可分子空間Xα?X,存在有界線性算子Tα:L(f|Xα)→Xα,使得

‖Tαf(x)-x‖

即對于任意可分子空間,f是一致穩(wěn)定的.證畢.

CHENG等利用不變平均值方法研究了非滿ε-等距的性質(zhì).有關(guān)半群中不變平均值的定義和相關(guān)結(jié)果,參照文獻[14].

定義4[14]設(shè)G是一個半群,稱l(G)上的線性泛函μ是G上的左不變平均值,如果μ滿足

(1)μ(1)=1,

(2)μ(f)≥0,對任意的f∈l(G)且f≥0,

(3)μ(fg)=μ(f),對任意的f∈l(G)和g∈G.其中fg是f對g的左變換,即fg(h)=f(gh),對任意的h∈G.

同樣地,可以定義G上的右不變平均值.稱μ是G上的不變平均值,如果μ既是左不變平均值又是右不變平均值.

引理6[14]每個Abel半群都有一個不變平均值.

現(xiàn)設(shè)X和Y是Banach空間,f:X→Y是標準的ε-等距.注意到X關(guān)于向量的加法是一個Abel半群,由引理6,存在l(X)上的不變平均值μ.因為f是標準的ε-等距,所以

gx(z)=f(x+z)-f(z),?z∈X.

定義了一個有界映射gx:X→Y,因此,

〈φ,gx〉∈l(X),?φ∈Y*.

記μz(·)是l(X)上的不變平均值,對x∈X定義映射R:Y*→RX為

〈Rφ,x〉=μz(〈φ,gx〉),?φ∈Y*.

記N=kerR.CHENG和ZHOU利用不變平均值的方法得到了下面的結(jié)論.

引理7[15]設(shè)X和Y是Banach空間,映射f:X→Y是標準的ε-等距(ε≥0),則存在

N(=kerR)?Y*,

使得U:X*→Y*/N和V:Y*/N→X*是線性滿等距且VU=IX*.

下面利用以上結(jié)論,給出Hilbert空間等價類是萬有右穩(wěn)定時所具有的性質(zhì).

定理1 設(shè)Banach空間Y同構(gòu)于一Hilbert空間,則Y是萬有右穩(wěn)定的當且僅當對于任意可分的Banach空間X,(X,Y)是穩(wěn)定的.

證明必要性顯然成立,下面證明充分性.任意給定Banach空間X,設(shè)f:X→Y是標準ε-等距.由引理3知,由式(1)定義的Φ:X→Y是標準等距.根據(jù)引理1,存在有界線性算子

且‖F(xiàn)‖=1,使得F°Φ=IX.

‖TαPαf(x)-x‖≤γαδ,?x∈Xα,

所以

TαPαΦ(x)=x,?x∈Xα,

進而

TαPα|L(Φ|Xα)=F|L(Φ|Xα).

令T=F°P:Y→X.顯然T是有界線性算子.對于任意的x∈Xα,有

‖Tf(x)-x‖=‖F(xiàn)Pf(x)-x‖=

‖TαPαPf(x)-x‖=

‖TαPαf(x)-x‖≤γαδ.

于是對任意的x∈X,存在可分子空間Xα?X,使得x∈Xα,且滿足

‖Tf(x)-x‖≤γαδ.

根據(jù)引理5,對于任意可分Banach空間,f是一致穩(wěn)定的.所以存在M>0,使得

‖Tf(x)-x‖≤Mδ.

因此,任意給定Banach空間X,(X,Y)是穩(wěn)定的,即Banach空間Y是萬有右穩(wěn)定的.證畢.

2 結(jié)語

通過構(gòu)造標準等距，驗證Hilbert空間等價類的閉子空間的一致可補性和可分子空間的一致穩(wěn)定性，利用已有結(jié)果，證明了同構(gòu)于Hilbert空間的Banach空間Y的萬有右穩(wěn)定性是由可分Banach空間X決定的.因此,接下來考慮Hilbert空間等價類的萬有右穩(wěn)定性時,只需考慮當Banach空間X可分時,(X,Y)的穩(wěn)定性.這對進一步研究Hilbert空間等價類是否是萬有右穩(wěn)定的有著重要作用.