一類具有Allee效應(yīng)的害蟲綜合治理捕食-食餌模型的動(dòng)力學(xué)分析

喻婷婷, 葉凱莉，宋新宇

(信陽師范學(xué)院 a. 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院; b. 旅游學(xué)院, 河南 信陽 464000)

0 引言

農(nóng)業(yè)害蟲是影響農(nóng)作物產(chǎn)量的一個(gè)重要因素. 通常情況下, 噴灑殺蟲劑是一種殺死害蟲的最直接、有效方式. 然而, 無限制地使用殺蟲劑不僅會(huì)造成環(huán)境污染, 而且會(huì)使化學(xué)藥劑成分在農(nóng)作物中殘留下來, 進(jìn)而威脅著人類的健康. 此外, 長(zhǎng)期使用殺蟲劑也會(huì)使害蟲產(chǎn)生抗藥性，同時(shí)減弱或降低天敵物種對(duì)害蟲的控制能力, 致使蟲害頻繁發(fā)生甚至于更加猖獗. 據(jù)美國(guó)農(nóng)業(yè)部調(diào)查報(bào)告顯示, 1940年到1978年的30 多年間, 用藥量和用藥濃度增加了10倍, 農(nóng)作物損失反而從7%上漲到17%, 蟲害不但沒有下降反而上升[1]. 大量事實(shí)表明, 化學(xué)殺蟲劑的副作用已經(jīng)對(duì)單一采用化學(xué)藥劑控制害蟲的方法提出了挑戰(zhàn), 綜合采用多種有效方法相結(jié)合的控制害蟲策略顯得十分必要.

綜合害蟲治理(Integrated Pest Management，IPM)作為綜合性的害蟲治理途徑, 不斷受到人們的關(guān)注. IPM是一個(gè)害蟲治理系統(tǒng), 可根據(jù)相應(yīng)環(huán)境和害蟲動(dòng)態(tài), 綜合利用所有適合的技術(shù)和方法, 將害蟲數(shù)量控制在經(jīng)濟(jì)損害水平之下. 換句話說, 就是只有當(dāng)害蟲數(shù)量達(dá)到一個(gè)臨界水平, 并對(duì)農(nóng)作物造成不能容忍的損害時(shí)才稱其為蟲害, 而這個(gè)所謂的臨界水平就是害蟲治理的經(jīng)濟(jì)閾值(Economic Threshold，ET). 經(jīng)過幾十年的研究及實(shí)驗(yàn)證明, IPM是一種非常有效的害蟲防治方法[2,3]. 在綜合害蟲治理中, 經(jīng)濟(jì)閾值(ET)是一個(gè)非常重要的概念, 它通常表示害蟲數(shù)量的一個(gè)上限水平, 即隨著時(shí)間的推移, 當(dāng)害蟲數(shù)量達(dá)到該水平時(shí), 必須采用相應(yīng)的控制措施降低或維持害蟲數(shù)量而不讓其超過這一極限水平. 而與經(jīng)濟(jì)閾值相對(duì)應(yīng)的則是經(jīng)濟(jì)損害水平(Economic Injury Level,EIL), 是指害蟲數(shù)量的一個(gè)高危水平，達(dá)到或超過這一水準(zhǔn)都將對(duì)農(nóng)作物及環(huán)境造成巨大的損失. 因此, 為了合理地進(jìn)行害蟲綜合治理, 一定要在害蟲數(shù)量還沒有達(dá)到經(jīng)濟(jì)損害水平之前采取有效的防治措施.

由于人為干擾的作用, IPM控制策略會(huì)導(dǎo)致生物物種數(shù)量瞬間產(chǎn)生較大變化, 這一現(xiàn)象可借助于脈沖微分方程來描述. 例如, 周期性投放天敵[4]、 周期性投放染病害蟲[5]、周期性投放天敵與染病害蟲[6]、周期性噴灑殺蟲劑并釋放染病害蟲[7]、周期性噴灑殺蟲劑并投放天敵[8]. 鑒于綜合害蟲治理的目的是在害蟲數(shù)量或密度達(dá)到經(jīng)濟(jì)閾值(ET)時(shí)實(shí)施控制策略, 因此基于狀態(tài)反饋的害蟲綜合防治模型被學(xué)者們提出并進(jìn)行了應(yīng)用[9-12]. 此外, 陳蘭蓀教授在文獻(xiàn)[13]中建立了一類害蟲治理模型, 提出了半連續(xù)動(dòng)力系統(tǒng)的幾何理論, 并應(yīng)用這一理論證明了該模型至少存在一個(gè)階1周期解. 本文借助于文獻(xiàn)[9,11]的思想, 引入生物控制閾值與化學(xué)控制閾值, 并在兩控制閾值之間選擇一害蟲水平進(jìn)行綜合控制, 其控制強(qiáng)度依賴于害蟲控制水平. 此外, 在模型中引入了Allee效應(yīng)[14]. 本文主要借助于文獻(xiàn)[13]中的半連續(xù)動(dòng)力系統(tǒng)的幾何理論研究一類具有Allee效應(yīng)的害蟲綜合治理捕食-食餌模型的動(dòng)力學(xué)行為.

1 模型構(gòu)建

記x(t)和y(t)分別是t時(shí)刻害蟲及其天敵的數(shù)量. 害蟲種群的內(nèi)稟增長(zhǎng)率與環(huán)境承載量分別記為r1和K. 天敵的內(nèi)稟增長(zhǎng)率記為r2, 考慮到天敵物種在其數(shù)量相對(duì)較少時(shí)存在配對(duì)難現(xiàn)象, 故此引入Allee效應(yīng)加以刻畫, 因此天敵的增長(zhǎng)率為r2y/(y+m),其中m為Allee效應(yīng)常數(shù). 由于天敵以害蟲為食, 因此天敵的環(huán)境容納量與害蟲的數(shù)量成正比依賴關(guān)系, 即Ky=x/θ. 假設(shè)天敵捕食害蟲的能力為b, 于是害蟲種群的被捕食量為bxy. 由此, 可建立如下具有Allee效應(yīng)的捕食模型：

(1)

考慮到害蟲對(duì)農(nóng)作物及環(huán)境的危害程度, 取xSHT為害蟲輕微損害閾值,xEIT為害蟲經(jīng)濟(jì)損失閾值. 為了實(shí)現(xiàn)控制效果, 假設(shè)在xSHT和xEIT處天敵的投放量分別為τmax和τmin(τmax>τmin≥0), 在xEIT處采用化學(xué)控制而對(duì)害蟲和天敵的殺傷力分別記為pmax和qmax. 為了確定一個(gè)最佳的控制閾值, 假設(shè)綜合控制閾值xET介于xSHT和xEIT之間, 即xSHT

(2)

基于以上控制策略，可建立如下脈沖微分方程模型:

(3)

下面來分析無控制系統(tǒng)(1)及控制系統(tǒng)(3)的動(dòng)力學(xué)性質(zhì).

2 無控制系統(tǒng)(1)的定性分析

對(duì)于無控制系統(tǒng)(1), 主要討論解的正性、有界性及平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性.

證明設(shè)(x(0),y(0))為系統(tǒng)(1)的非負(fù)初值, 由系統(tǒng)(1)的第一個(gè)方程可得

由系統(tǒng)(1)的第二個(gè)方程可得

因此, 對(duì)于具有非負(fù)初值(x(0),y(0))的系統(tǒng)(1)的解是正的.

令z=(x(t),y(t)) 是系統(tǒng) (1) 從點(diǎn) (x0,y0) 出發(fā)的解. 定義Γ1(x,y)=x-K，那么

這意味著系統(tǒng)(1)的解軌線從右向左穿過Γ1. 另外, 定義Γ2(x,y)=y-r2K/θ,那么

這意味著系統(tǒng)(1)的解軌線從上到下穿過Γ2. 于是存在一個(gè)區(qū)域Ω0={(x,y)|0

容易計(jì)算系統(tǒng)(1)恒有平衡點(diǎn)R(K,0). 此外, 當(dāng)θm/r2

f(x,y)=r1(1-x/K)-by,

g(x,y)=r2/(y+m)-θ/x.

J(E)=

其對(duì)應(yīng)的特征方程為

det(λI2-J(E))=λ2-pEλ+qE=0.

(4)

定理2 系統(tǒng)(1)的邊界平衡點(diǎn)R(K,0)是不穩(wěn)定的鞍點(diǎn); 當(dāng)θm/r2

證明對(duì)于邊界平衡點(diǎn)R(K,0), 經(jīng)計(jì)算得qR=0,pR≠0, 于是R(K,0)是非雙曲奇點(diǎn). 作變換

則系統(tǒng)(1)轉(zhuǎn)化為如下形式:

(5)

于是系統(tǒng)(1)的平衡點(diǎn)R(K,0)轉(zhuǎn)化為系統(tǒng)(5)的原點(diǎn)O(0,0). 令方程(5)第二式右邊為零, 可得到如下關(guān)系

(6)

將式(6)代入方程(5)第一式右邊得到分支函數(shù)為

因此,O(0,0)為系統(tǒng)(5)在平面R2上的鞍結(jié)點(diǎn), 即R(K,0)是系統(tǒng)(1)在平面R2上的鞍結(jié)點(diǎn), 在不變集Ω0內(nèi)是不穩(wěn)定的鞍點(diǎn).

令D=1/xy2, 則

由Bendixson-Dulac判別法可知,E*周圍不存在封閉軌線, 即平衡點(diǎn)E*是全局漸近穩(wěn)定的. 證畢.

3 控制系統(tǒng)(3)的動(dòng)力學(xué)分析

考慮到害蟲控制的實(shí)際情況, 害蟲的輕微損害閾值xSHT總是低于系統(tǒng)達(dá)到穩(wěn)態(tài)時(shí)害蟲的濃度x*. 本文假設(shè)害蟲的經(jīng)濟(jì)損害閾值也不高于x*, 也就是說系統(tǒng)達(dá)到穩(wěn)態(tài)時(shí)害蟲的濃度環(huán)境對(duì)農(nóng)作物是非常有害的. 記pET=p(xET),qET=q(xET),τET=τ(xET).pET描述殺蟲劑對(duì)害蟲的殺傷力,pET越大, 殺傷力也越大.

3.1 階1周期解的存在性

yA=r1(1-(1-pET)xET/K)/b,

yB=r1(1-xET/K)/b=yET.

從A,Q出發(fā)的軌線分別交直線x=xET于點(diǎn)A-(xET,yA-),Q-(xET,yQ-). 顯然,yQ-

情況I:xSHT≤xET≤mθ/r2

因?yàn)閺娜我庖稽c(diǎn)出發(fā)的軌線在有限時(shí)間內(nèi)都會(huì)到達(dá)脈沖集Mimp={(x,y)|x=xET,0≤y≤yET}, 然后經(jīng)脈沖作用x+(t)=x(t)-pETx(t),y+(t)=y(t)-qETy(t)+τET,跳到相集Npha={(x,y)|x=(1-pET)xET,τET≤y≤(1-qET)yET+τET}. 因此只需考慮從相集Npha出發(fā)的軌線的運(yùn)動(dòng)趨勢(shì).

定理3 當(dāng)xSHT≤xET≤mθ/r2時(shí), 控制系統(tǒng)(3)存在唯一的階1 周期解.

證明若要證明階1周期解的存在性, 只需找到一點(diǎn)L∈Npha使得點(diǎn)L的后繼函數(shù)fsor(L)=yL+-yL=0(其中點(diǎn)L+是點(diǎn)L的后繼點(diǎn),yL+,yL分別是點(diǎn)L+,L的縱坐標(biāo)). 從點(diǎn)A出發(fā)的軌線交脈沖線x=xET于點(diǎn)A-, 然后跳到點(diǎn)A+. 定義

圖1 當(dāng)xSHT≤xET≤mθ/r2時(shí), 系統(tǒng)(3)軌線示意圖:Fig. 1 The illustration of the trajectories of system (3) for

令

則

這意味著ρ(x)是[(1-pET)xET,xET]上的單調(diào)遞減函數(shù)且ρ(xET)<ρ((1-pET)xET). 于是有

yL1+ρ((1-pET)xET)-

這樣就推出了矛盾, 進(jìn)而證明系統(tǒng)(3)的階1周期解是唯一的.

fsor(M)=yM+-yM>

yA+-(1-q)fsor(A)-yM=

yA+qfsor(A)-yM>0.

情況II:mθ/r2

證明與定理3類似, 略. 證畢.

3.2 階1周期解的穩(wěn)定性

記x=(ξ(t),η(t))為系統(tǒng)(3)的階1周期解, 其周期為TL. 借助于文獻(xiàn)[7,8]中給出的階1周期解穩(wěn)定性判據(jù), 我們有如下結(jié)論:

定理5 若

則系統(tǒng)(3)的階1周期解是軌道漸近穩(wěn)定的.

證明對(duì)于系統(tǒng)(3), 令

χ(x,y)=x-xET,α(x,y)=-pETx,

β(x,y)=-qETy+τET,

則

αx=-pET,αy=0,βx=0,βy=-qET,

b(1-pET)xET((1-qET)yL-+τET).

另外,

那么

于是

當(dāng)定理?xiàng)l件成立時(shí)，ργL<1, 進(jìn)而系統(tǒng)(3)的階1周期解是軌道漸近穩(wěn)定的.證畢.

3.3 單位控制成本最小化

假設(shè)投放天敵的單位成本為c1, 使用殺蟲劑的單位成本為c2. 于是, 害蟲綜合防治的控制成本為Ycost=c1τ(xET)+c2p(xET)xET. 為了確定最佳的控制閾值, 考慮單位控制成本, 即Pcost=Ycost/T(xET), 于是構(gòu)造如下優(yōu)化問題 ：

xSHT≤xET≤xEIT,

(7)

4 數(shù)值模擬

為了進(jìn)一步驗(yàn)證理論結(jié)果的正確性, 模型參數(shù)選取如下:r1=0.8,K=100,b=0.08,r2=0.001,m=0.6,θ=0.1. 控制參數(shù)如下:xSHT=30%K=30,xEIT=80%K=80,τmax=7,τmin=10%τmax=0.7,pmax=5/8,qmax=40%pmax=1/4. 初始數(shù)量設(shè)為(x0,y0)=(20,3.6). 當(dāng)xET=48%K=48時(shí), 控制系統(tǒng)(3)的相圖如圖2所示, 從圖2中可以看出系統(tǒng)存在階1周期解, 其周期T≈30.

圖2 當(dāng)xSHT≤xET≤mθ/r2時(shí)系統(tǒng)(3)的相圖Fig. 2 The phase portrait of system (3)for xSHT≤xET≤mθ/r2

圖3 周期、單位控制成本與控制閾值的依賴關(guān)系Fig. 3 The relationships between the period,the costper unit time and the pest control threshold

圖4 當(dāng)c1∶c2=1,2.5,5,10時(shí)，單位控制成本與控制閾值的依賴關(guān)系Fig. 4 The relationships between the cost per unit time and the pest control threshold forc1∶c2=1,2.5,5,10

5 結(jié)束語

本文建立并分析了一類具有Allee效應(yīng)害蟲綜合治理捕食模型的動(dòng)力學(xué)特性. 首先, 證明了無控制系統(tǒng)解的正性、有界性及正平衡點(diǎn)的全局漸近穩(wěn)定性. 其次, 證明了控制系統(tǒng)階1周期解的存在性, 同時(shí)給出了控制系統(tǒng)階1周期解軌道漸近穩(wěn)定的條件. 為了使得控制成本最小化, 借助于階1周期解構(gòu)造了優(yōu)化模型, 通過數(shù)值求解得到了最佳的控制閾值. 仿真結(jié)果表明, 本文所給出的害蟲治理策略是有效的, 同時(shí)根據(jù)優(yōu)化給出的控制閾值確定天敵的投放量、殺蟲劑的使用強(qiáng)度及噴灑周期, 可將狀態(tài)依賴控制轉(zhuǎn)變?yōu)橹芷诳刂? 進(jìn)而避免對(duì)害蟲數(shù)量進(jìn)行監(jiān)測(cè).