一類分?jǐn)?shù)階微分方程組無窮點(diǎn)邊值問題正解的存在性

陸心怡

（池州學(xué)院數(shù)學(xué)與計算機(jī)學(xué)院，安徽池州247000）

1 引言

近年來，分?jǐn)?shù)階積分以及分?jǐn)?shù)階微分方程理論越來越多的運(yùn)用在各個領(lǐng)域,在流體力學(xué)、化學(xué)、工程學(xué)、生命科學(xué)等方向有著廣泛且重要的應(yīng)用，作為非線性分析的一個重要分支，很多學(xué)者也非常熱衷于研究分?jǐn)?shù)階微分方程正解的存在性和唯一性以及變化的多樣性.且經(jīng)過實(shí)際檢驗(yàn),相對來說分?jǐn)?shù)階模型比整數(shù)階模型應(yīng)用的領(lǐng)域可能更加寬泛和精確[1]，對于研究結(jié)果的準(zhǔn)確性有著很大影響.

本文用Leray-Schauder非線性抉擇性來研究下面的分?jǐn)?shù)階微分方程組無窮點(diǎn)的邊值問題：

n-1＜α,β≤n,i為固定常數(shù)，i∈N,i≤n-2,α,β≥2.是連續(xù)函數(shù),是黎曼劉維爾形式的,其中

2 預(yù)備知識和引理

首先給出相關(guān)的定義、引理以及定理等.

定義1[2]函數(shù)的 i∈N,i≤n-2,α≥2,階Riemann-Liouville積分定義如下

0＜t＜1,n-1＜α≤n,，

其中右邊是在ηj≥0上逐點(diǎn)定義的.

定義2[2]函數(shù)的0＜ξ1＜ξ2＜…＜ξm-2＜1,階Riemann-Liouville微分定義如下

引理1[3]設(shè) α＞0,假設(shè)u∈C(0,1)?L(0,1),那么微分方程有唯一解其中 n 是不小于 α的最小整數(shù).

引理2[3]對于一個α(α＞0)階分?jǐn)?shù)階微分,給出那么

其中n為不小于α的最小整數(shù).

注[2]α(α＞0)階的Riemann-Liouville微分和積分有以下性質(zhì)：α,β＞0,u∈L(0,1).

引理3設(shè) f∈C[0,1],n-1＜α≤n,i為固定常數(shù),i∈N,i≤n-2,α≥2.那么微分方程

有唯一解

其中

證根據(jù)引理1,首先，將(2)中的微分方程轉(zhuǎn)化成與之等價的積分方程

由u(0)=u'(0)=...=u(n-2)(0)=0,得c2=c3=…=cn=0.即

那么

因此,

則微分方程（2）的唯一解是

得證.

引理4P(0)＞0,P(s)滿足以下兩個條件：

a.P(s)在[0,1]上單調(diào)增且恒成立;

b.存 在 M1≥m1≥0 使 得 任 意有m1s+P(0)≤P(s)≤ M1s+P(0).

證a容易算出 P'(s)≥0,因此P(s)單調(diào)增,又P(0)＞0,知 P(s)≥P(0)＞0;

并且 M1≥m1≥0,且m1s≤P(s)-P(0)≤M1s,?s∈[0,1].

引理5由（3）定義的函數(shù)G(t,s)具有以下性質(zhì)：

證明略[1].

引理6[4](抉擇性)E是Banach空間,C是E中的凸閉集.假設(shè)U是C的相對開子集,0∈U且是連續(xù)開子集.則下列條件：

a.A在U中有一個不動點(diǎn);或者

b.存在u∈?U,λ∈(0,1)使得u=λAu;

成立。

3 主要結(jié)果

引理7[1]設(shè)是連續(xù)函數(shù),且滿足假 設(shè) 存 在0＜σ＜1使得 tσF(t)在 [0,1]上是連續(xù)函數(shù).那么是連續(xù)函數(shù).

那么方程組（1）可以轉(zhuǎn)化成下面的方程：

該部分的證明可由[5]中的引理3.3得出.下面來定義一個算子A:X×X→X×X

引理 8[1]令 n-1＜α,β≤n,i為固定常數(shù),i∈N,是連續(xù)函數(shù)并且滿足假設(shè)存在 0＜σ1＜1使 得在 [0,1]×[0,+∞)是 連 續(xù) 函 數(shù),則A:P→P是全連續(xù)算子.

（2）存在r＞0,有

那么方程組（1）存在一個正解.

所以,

綜上所述,由引理6可知存在不動點(diǎn)u∈Uˉ,v∈Uˉ因此方程組（1）存在一個正解.