彈丸與身管耦合振動(dòng)問題的迭代解法

姚天樂， 馬吉?jiǎng)伲?陶鳳和， 齊子元

(陸軍工程大學(xué)石家莊校區(qū) 火炮工程系, 河北 石家莊 050003)

0 引言

火炮射擊過程中，身管的自重彎曲、布爾登效應(yīng)、移動(dòng)彈丸的重力和偏心力、膛內(nèi)的旋轉(zhuǎn)摩擦力矩等諸多因素均會(huì)影響射擊精度。其中，身管振動(dòng)變形以及彈丸自身慣性是彈丸運(yùn)動(dòng)狀態(tài)改變的一個(gè)主要因素。彈丸發(fā)射過程是一個(gè)極其復(fù)雜的動(dòng)力學(xué)過程，發(fā)射中，身管振動(dòng)與彈丸運(yùn)動(dòng)相互影響、相互耦合，影響彈丸最終離開炮口的狀態(tài)。到目前為止，在火炮振動(dòng)研究領(lǐng)域內(nèi)，這方面的研究大部分都相對(duì)不成熟，準(zhǔn)確定量的理論分析還不多見，因而精確地建立彈丸膛內(nèi)運(yùn)動(dòng)引起的炮管振動(dòng)模型及分析方法是必要的。

對(duì)于耦合振動(dòng)問題的研究，在車輛、橋梁等工程領(lǐng)域有不少值得借鑒的成果[1-4]。在火炮研究領(lǐng)域，康新中等[5]將該類分析方法應(yīng)用于火炮振動(dòng)，定性研究了彈丸膛內(nèi)運(yùn)動(dòng)引起的火炮身管橫向振動(dòng)問題。周叮等[6]將小參數(shù)法運(yùn)用于火炮振動(dòng)領(lǐng)域，研究了彈丸膛內(nèi)運(yùn)動(dòng)引起炮管振動(dòng)問題，并給出了單發(fā)及連發(fā)射擊時(shí)炮管橫向振動(dòng)的解。史躍東等[7]在考慮慣性效應(yīng)的基礎(chǔ)上，研究了身管振動(dòng)特性，給出了解析解，分析了不同運(yùn)動(dòng)參數(shù)對(duì)炮口振動(dòng)的影響規(guī)律。在忽略移動(dòng)載荷慣性效應(yīng)的前提下，姜沐等[8]進(jìn)一步建立了加速彈丸作用下火炮身管橫向振動(dòng)方程，給出了級(jí)數(shù)形式的解析解和定量計(jì)算結(jié)果。馬吉?jiǎng)俚萚9-10]利用基于Kane方程Huston方法建立了較為完善的研究彈丸與炮管耦合問題的動(dòng)力學(xué)模型，但模型過于復(fù)雜，不易實(shí)現(xiàn)數(shù)值計(jì)算。姜沐采用 Picard 迭代法對(duì)耦合振動(dòng)方程進(jìn)行了重新求解[11]，盡管沒有很好地體現(xiàn)載荷的移動(dòng)性，但對(duì)解決耦合振動(dòng)問題提供了很好的參考。

在以往研究的基礎(chǔ)上，本文提出采用迭代的方法對(duì)彈丸膛內(nèi)運(yùn)動(dòng)引起的身管振動(dòng)進(jìn)行求解，由于程式化好，易于實(shí)現(xiàn)數(shù)值分析，得到的結(jié)論可以為火炮總體設(shè)計(jì)、結(jié)構(gòu)優(yōu)化提供參考。

1 耦合振動(dòng)的動(dòng)力學(xué)

1.1 彈丸的軸向運(yùn)動(dòng)規(guī)律

彈丸在身管中的運(yùn)動(dòng)實(shí)際上是十分復(fù)雜的動(dòng)力學(xué)過程。因此，為了考慮主要的動(dòng)力耦合因素，必須將彈丸的動(dòng)力學(xué)過程加以簡(jiǎn)化，對(duì)彈丸在身管中的運(yùn)動(dòng)過程進(jìn)行以下6點(diǎn)假設(shè)：

1)忽略彈丸的擠進(jìn)過程；

2)彈丸和炮膛之間不存在間隙；

3)忽略彈丸在膛內(nèi)運(yùn)動(dòng)的碰撞過程；

4)彈丸出炮口瞬間停止計(jì)算；

5)身管在彈丸作用下在垂直平面內(nèi)運(yùn)動(dòng),忽略彈丸擾動(dòng)引起的身管振動(dòng)；

6)身管撓度是小量，彈丸各處的慣性力和離心力在垂直方向。

由常規(guī)火炮的工作原理可得到其內(nèi)彈道方程組為

(1)

式中：ψ為火藥已燃相對(duì)重量；Z為火藥已燃相對(duì)厚度；χ、λ、μ、e1為火藥形狀特征量；u1為燃燒速度系數(shù)；l為身管長(zhǎng)度，即彈丸全行程長(zhǎng)；v為彈丸速度；S為炮膛橫斷面面積；φ為次要功計(jì)算系數(shù)；m為彈丸質(zhì)量，p為彈丸的平均壓力；f為火藥力；θ為熱力學(xué)系數(shù)；lψ為火藥燃燒了ψ時(shí)的彈丸行程。

對(duì)于(1)式，將進(jìn)行計(jì)算機(jī)模型的數(shù)值求解。給定參數(shù)后，利用龍格- 庫塔法按射擊過程逐段反復(fù)循環(huán)逐點(diǎn)求解，最后可得到反映彈丸運(yùn)動(dòng)規(guī)律的s-t曲線，如圖1所示，圖中s為彈丸在身管中運(yùn)動(dòng)的位移,t為身管自身振動(dòng)的時(shí)間。

1.2 移動(dòng)彈丸與身管耦合振動(dòng)分析

在考慮彈丸慣性效應(yīng)以及身管彎曲變化的前提下，將身管簡(jiǎn)化歐拉均勻等截面空心懸臂梁，將彈丸簡(jiǎn)化為忽略形狀的質(zhì)量塊。如圖2所示，建立直角坐標(biāo)系，以懸臂梁固定端為坐標(biāo)原點(diǎn)O，彈丸在身管中沿軸線移動(dòng)，在身管中的行程規(guī)律表示為s(t)。由于身管是連續(xù)系統(tǒng)，構(gòu)造函數(shù)y(x,t)來表示身管的振動(dòng)響應(yīng)，其中，x是身管各點(diǎn)的位置。由于彈丸在垂直方向上與身管振動(dòng)同步，彈丸在垂直方向上的位移可表示為t的函數(shù)y(s(t),t)。圖2中，rc為彈丸所在位置身管的曲率半徑。

考慮彈丸對(duì)身管的激勵(lì)作用，對(duì)身管進(jìn)行力學(xué)分析，可得到身管的動(dòng)力學(xué)微分方程為

(2)

式中：δ(x-s(t))為Dirac函數(shù)，表示彈丸在梁上的位置；fy(x,t)表示彈丸在垂直方向上的受力；E、ρ分別為身管材料的彈性模量和質(zhì)量密度；c為黏性阻尼系數(shù)；A、I分別為截面面積和截面慣性矩。

(2)式的左端描述了身管振動(dòng)的時(shí)空特征，(2)式的右端描述了彈丸的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。在(2)式右端項(xiàng)fy(x,t)的激勵(lì)作用下，身管進(jìn)行振動(dòng)，而身管的振動(dòng)又會(huì)引起彈丸運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的改變，從而改變fy(x,t)。同時(shí)，身管在振動(dòng)時(shí)，彈丸也在移動(dòng)，δ(x-s(t))也將隨之改變。彈丸在兩個(gè)方向上的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)同時(shí)改變，又同時(shí)影響身管的振動(dòng)狀態(tài)，如果方程右端兩項(xiàng)均有清楚的變化規(guī)律，則可以得到(2)式的真實(shí)解。但是fy(x,t)的確定非常困難，因此(2)式無法進(jìn)行求解，為此進(jìn)行如下分析。

設(shè)彈丸到身管末端經(jīng)歷的時(shí)間序列為

T={t1,t2,…,ti,…,tn},

(3)

由于彈丸的運(yùn)動(dòng)位置與運(yùn)動(dòng)時(shí)間一一對(duì)應(yīng)，則彈丸的移動(dòng)位置也可離散化，設(shè)彈丸運(yùn)動(dòng)的位置序列為

s={s1,s2,…,si,…,sn}.

(4)

經(jīng)過上述處理后，圖2所示的彈丸連續(xù)移動(dòng)狀態(tài)轉(zhuǎn)換為圖3所示的對(duì)身管離散化激勵(lì)的狀態(tài)。由于彈丸移動(dòng)速度非常大，在彈丸運(yùn)動(dòng)期間，身管的阻尼對(duì)身管的振動(dòng)影響較小，因此在計(jì)算耦合振動(dòng)問題時(shí)可以忽略阻尼的影響。

按照?qǐng)D3所示，將連續(xù)的激勵(lì)離散化。根據(jù)圖3，將(2)式轉(zhuǎn)化為n個(gè)可處理的非耦合方程如下：

(5)

式中：fy(si,ti)是彈丸在si處時(shí)對(duì)梁的靜態(tài)激勵(lì)。對(duì)上述靜態(tài)方程進(jìn)行求解，可得到梁靜態(tài)激勵(lì)時(shí)的響應(yīng)，可以將此響應(yīng)作為求解梁在動(dòng)態(tài)激勵(lì)下實(shí)際響應(yīng)的初值。

1.3 身管橫向受力狀態(tài)動(dòng)態(tài)分析

考慮振動(dòng)過程中身管各處存在曲率，且身管在彈丸運(yùn)動(dòng)過程中持續(xù)振動(dòng)，則彈丸對(duì)身管主要存在離心力與慣性力的作用。身管的振動(dòng)加速度存在向上或向下兩種狀態(tài)，因此，彈丸在垂直方向的受力分析如圖4所示，圖中fI為彈丸慣性力，F(xiàn)為彈丸向心力，g為重力加速度。

由圖4(a)及圖4(b)可知，彈丸所受垂直方向上的合力為

fy(x,t)=mg±(fI-F).

(6)

fI與所在處梁的加速度方向相反，大小為

(7)

F指向彈丸所在處梁的曲率中心，大小為

(8)

2 耦合振動(dòng)模型的迭代解法

取(5)式中的任取方程為例，進(jìn)行身管響應(yīng)求解：

(9)

對(duì)于(9)式，邊界條件與初始條件分別為

(10)

(11)

因?yàn)樯砉艿捻憫?yīng)，即(9)式的解y(x,t)在時(shí)間和空間上是分離的，所以(9)式的解可以寫成對(duì)應(yīng)于激勵(lì)δ(x-si)fy(si,ti)下所有固有振動(dòng)的疊加。利用振型函數(shù)的正交性，將系統(tǒng)物理坐標(biāo)的偏微分方程變換成一系列固有坐標(biāo)的常微分方程組，引進(jìn)廣義坐標(biāo)qr(t)，(9)式的解可寫為

(12)

式中：Yr(x)為正則振型函數(shù)。

對(duì)于身管，由于約束關(guān)系已經(jīng)確定，則與振型函數(shù)r階固有頻率ωr相應(yīng)的振型函數(shù)可取為

Yr(x)=cosh(βrx)-cos (βrx)+
ξr[sinh(βrx)-sin(βrx)]，

(13)

式中：

(14)

(15)

對(duì)振型函數(shù)進(jìn)行正則化處理，令

(16)

結(jié)合(13)式及(16)式，則此時(shí)刻的正則振型函數(shù)為

Yr(x)=αr{cosh(βrsi)-cos (βrsi)+
ξr[sinh(βrsi)-sin(βrsi)]}.

(17)

(18)

式中：Qr(t)為廣義力。對(duì)于等截面均質(zhì)懸臂梁，固有頻率為

(19)

對(duì)常微分方程(18)式，采用杜哈梅積分進(jìn)行求解，可得

(20)

(21)

由虛功原理可以分析出對(duì)應(yīng)于廣義坐標(biāo)qr(t)在梁si處由fy(si,ti)計(jì)算出的廣義力大小為

Qr(t)=fy(si,ti)Yr(si),

(22)

則廣義力可表示為

(23)

在耦合振動(dòng)過程中，彈丸的向心力反作用于身管，改變身管在彈丸所在處的振動(dòng)加速度。由于彈丸振動(dòng)加速度與身管振動(dòng)加速度一致，在迭代過程中，離心力的影響因素已經(jīng)包含在了彈丸的慣性力中。迭代過程使用的彈丸對(duì)身管的激勵(lì)大小為

fy(x,t)=mg-fI，

(24)

fI的方向由(7)式中計(jì)算結(jié)果的符號(hào)確定。

考慮彈丸的慣性效應(yīng)后，由(24)式可知，彈丸對(duì)身管的激勵(lì)大小為

(25)

由于彈丸的垂直方向加速度初始值未知，對(duì)身管響應(yīng)進(jìn)行迭代法求解時(shí)，對(duì)身管的初次激勵(lì)設(shè)定為彈丸重力：

(26)

聯(lián)立(17)式、(22)式與(23)式，可得廣義力大小為

Qr(t)=mg{αr[cosh(βrsi)-cos(βrsi)+
ξr(sinh(βrsi)-sin(βrsi))]}.

(27)

聯(lián)立(12)式、(16)式與(21)式可求得彈丸在身管si處初次激勵(lì)時(shí)身管的響應(yīng)為

(28)

身管在彈丸激勵(lì)下產(chǎn)生的響應(yīng)反作用于彈丸，對(duì)彈丸進(jìn)行激勵(lì)，使彈丸產(chǎn)生響應(yīng)。此時(shí)，彈丸的橫向慣性力為

(29)

因此在身管的作用下，彈丸對(duì)身管的第2次激勵(lì)為

(30)

(31)

(32)

(33)

(34)

當(dāng)彈丸對(duì)身管的激勵(lì)趨于穩(wěn)定時(shí)，可由收斂準(zhǔn)則確定最小迭代次數(shù)。身管激勵(lì)的收斂準(zhǔn)則為

(35)

3 數(shù)值求解結(jié)果與分析

應(yīng)用第2節(jié)中的迭代解法對(duì)彈丸與身管耦合振動(dòng)模型進(jìn)行數(shù)值求解。

在數(shù)值求解過程中使用的各個(gè)基本參數(shù)如表1所示。

3.1 身管模態(tài)階數(shù)的確定

表1 基本參數(shù)

由圖6可知，當(dāng)r>3時(shí)，R趨近于0. 設(shè)圖6所示曲線關(guān)系為R=f(r)，在區(qū)間[1,3]與[1,∞]上分別對(duì)圖示曲線進(jìn)行積分，可得

(36)

由(36)式可知，身管振動(dòng)主要集中于前3階模態(tài)，取身管振動(dòng)的前3階模態(tài)可以滿足計(jì)算精度要求。

3.2 彈丸與身管耦合模型數(shù)值求解流程

在確定身管振動(dòng)的模態(tài)結(jié)束后，編寫程序?qū)ι砉茼憫?yīng)進(jìn)行迭代法數(shù)值求解，采用迭代法編寫程序的流程如圖7所示。

3.3 身管振動(dòng)規(guī)律分析

采用迭代法求解出彈丸在各點(diǎn)對(duì)身管的實(shí)際激勵(lì)，對(duì)實(shí)際激勵(lì)在各點(diǎn)的變化規(guī)律進(jìn)行分析。求解出各個(gè)時(shí)刻身管振動(dòng)的全貌，取身管振動(dòng)前期、中期、后期和末期4個(gè)時(shí)期的振動(dòng)全貌進(jìn)行分析。并給出某兩個(gè)時(shí)期的激勵(lì)收斂過程進(jìn)行比較，說明激勵(lì)收斂的規(guī)律。

彈丸在運(yùn)動(dòng)過程中的慣性力變化如圖8所示，對(duì)身管的實(shí)際激勵(lì)變化如圖9所示。

由圖8可知，彈丸在運(yùn)動(dòng)的初始階段，垂直方向的慣性加速度較小，對(duì)彈丸運(yùn)動(dòng)狀態(tài)造成的影響也比較小，因此在圖9中反映出彈丸對(duì)身管的實(shí)際激勵(lì)與彈丸重力十分接近。彈丸在身管中經(jīng)過加速運(yùn)動(dòng)以后，垂直方向加速度產(chǎn)生了變化，由圖9可知，彈丸對(duì)身管的真實(shí)激勵(lì)在彈丸重力附近波動(dòng)。數(shù)值結(jié)果顯示，彈丸在出炮口位置慣性力較小，彈丸對(duì)身管的激勵(lì)與彈丸重力大小基本相同。

取彈丸在身管中運(yùn)動(dòng)前期、中期、后期和末期身管振動(dòng)的時(shí)空分布圖如圖10～圖13所示。

圖10～圖13為彈丸的動(dòng)態(tài)過程離散化以后，對(duì)某點(diǎn)進(jìn)行與動(dòng)態(tài)過程等效的實(shí)際激勵(lì)時(shí)，在該激勵(lì)下身管持續(xù)振動(dòng)的全貌圖。對(duì)應(yīng)確定的時(shí)刻可以得到該時(shí)刻身管的振動(dòng)樣貌，對(duì)應(yīng)確定的位置，可以得出某點(diǎn)的振動(dòng)規(guī)律。按照4個(gè)時(shí)期的順序觀察4幅圖可知，隨著彈丸在身管中運(yùn)動(dòng)，身管整體振動(dòng)的最大幅值一直從身管始端向身管末端移動(dòng)。

按照彈丸的行程求解身管炮口處位移，可以得到彈丸運(yùn)動(dòng)過程中炮口處位移規(guī)律，如圖14所示。

在本領(lǐng)域中，國內(nèi)相關(guān)學(xué)者在考慮不同因素的影響下，也建立了各種模型求解彈炮耦合問題。劉寧等[12]在考慮橫向碰撞的因素下建立了耦合振動(dòng)模型。郭保全等[13]基于Adams中的柔性體接觸理論，建立了彈帶和彈丸前定心部與身管內(nèi)膛的接觸模型，得到了該問題的仿真結(jié)果。圖14所示的數(shù)值求解結(jié)果與上述文獻(xiàn)中炮口位移的數(shù)值求解結(jié)果具有良好的一致性，從而可以從側(cè)面驗(yàn)證本文方法的正確性。

3.4 激勵(lì)迭代規(guī)律分析

取彈丸在運(yùn)動(dòng)前期、中期、后期和末期的迭代過程進(jìn)行觀察，彈丸在4個(gè)時(shí)期激勵(lì)迭代過程如圖15所示。

由圖15可知，在運(yùn)用迭代法進(jìn)行身管響應(yīng)的仿真求解過程中發(fā)現(xiàn)，激勵(lì)是單邊收斂的，且迭代過程中激勵(lì)呈上升趨勢(shì)，激勵(lì)在各個(gè)時(shí)期的收斂過程具有相似性。

取激勵(lì)在各點(diǎn)的迭代次數(shù)如圖16所示。

由圖16可知，激勵(lì)在身管各點(diǎn)的迭代次數(shù)在彈丸的整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程上呈波動(dòng)趨勢(shì)。對(duì)比圖16和圖9可以發(fā)現(xiàn)，兩幅圖之間有相似之處。在彈丸慣性力大的地方相應(yīng)的激勵(lì)迭代次數(shù)多，慣性力小的地方相應(yīng)的激勵(lì)迭代次數(shù)少。隨著彈丸在身管中運(yùn)動(dòng)，彈丸的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)變得復(fù)雜，彈丸對(duì)身管的激勵(lì)迭代次數(shù)始終大于彈丸運(yùn)動(dòng)初始時(shí)期在各點(diǎn)的迭代次數(shù)。

對(duì)于火炮的射擊問題，普遍關(guān)心的是彈丸離開炮口時(shí)炮口的振動(dòng)大小。按照?qǐng)D9所示的規(guī)律，激勵(lì)的波峰隨著位移的增大有減小的趨勢(shì)。因此，可以考慮改善火炮身管和彈丸的結(jié)構(gòu)，優(yōu)化相關(guān)的設(shè)計(jì)參數(shù)，使得耦合振動(dòng)的波峰提前到來。這是減小火炮射擊時(shí)炮口振動(dòng)的一種方法。

4 結(jié)論

本文基于迭代法的思想，提出了彈丸與身管耦合振動(dòng)問題的迭代求解方法，實(shí)現(xiàn)了耦合振動(dòng)的連續(xù)過程離散化，構(gòu)建了迭代解法的程式化流程，使得該方法更加易于實(shí)現(xiàn)數(shù)值計(jì)算。本文的貢獻(xiàn)及所得結(jié)論如下：

1)通過將彈丸在身管內(nèi)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間進(jìn)行離散化處理，實(shí)現(xiàn)了耦合振動(dòng)的連續(xù)過程離散化。

2)在主要考慮彈丸的慣性效應(yīng)和梁的曲率變化這兩個(gè)因素的綜合作用下，采用逐點(diǎn)迭代計(jì)算的方法，結(jié)合微分方程理論，在給定適當(dāng)初值的情況下，構(gòu)造迭代序列對(duì)耦合振動(dòng)系統(tǒng)在各個(gè)時(shí)刻的實(shí)際響應(yīng)進(jìn)行逼近，對(duì)振動(dòng)模型進(jìn)行了數(shù)值求解。

3)對(duì)各個(gè)時(shí)刻激勵(lì)的迭代過程進(jìn)行分析，發(fā)現(xiàn)了在彈丸運(yùn)行過程中的實(shí)際激勵(lì)在整個(gè)過程中的波動(dòng)變化。

4) 本文數(shù)值求解結(jié)果與文獻(xiàn)[12-13]具有良好的一致性，驗(yàn)證了本文方法的有效性。