參數(shù)不確定關聯(lián)模糊大系統(tǒng)的穩(wěn)定性及控制

邵啟文,王五桂,張?zhí)m勇

(1.哈爾濱工程大學 自動化學院，哈爾濱 150001) (2.中國艦船研究設計中心,武漢 430064)

隨著現(xiàn)代技術(shù)的發(fā)展, 大系統(tǒng)的研究越來越受到重視, 如經(jīng)濟系統(tǒng)、生態(tài)系統(tǒng)、社會系統(tǒng)等. 由于大系統(tǒng)在現(xiàn)實社會中的重要意義, 許多學者進行了大量的研究并取得了一系列具有重要意義的研究成果[1-6].

大系統(tǒng)建模和控制的一個最大的問題是對系統(tǒng)認識程度的問題. 由于系統(tǒng)的復雜性, 很多參數(shù)和模型很難準確獲得[7-9].文獻[10-11]在模糊集理論基礎上建立和發(fā)展起來的T-S模糊模型在大系統(tǒng)建模和控制方面的應用.文獻[12]采用并行分布補償算法(parallel distributed compensation, PDC) 和線性矩陣不等式(linear matrix inequalities, LMI) 研究T-S模糊模型描述的大系統(tǒng)的穩(wěn)定性和控制問題; 文獻[13]針對一類非線性系統(tǒng), 建立T-S模糊雙線性系統(tǒng)模型, 給出了系統(tǒng)全局穩(wěn)定性條件. 但是文獻[12]考慮的模型中的參數(shù)是確定的, 文獻[13]研究了單個系統(tǒng), 沒有考慮各子系統(tǒng)之間的關聯(lián)情況. 實際上, 由于大系統(tǒng)的復雜性和人們認識的模糊性，大系統(tǒng)模型中的參數(shù)往往是不確定的, 且各子系統(tǒng)之間的關聯(lián)性也是存在的. 對參數(shù)不確定關聯(lián)大系統(tǒng)的控制, 目前主要采用的方法是設計PDC控制器, 如文獻[14]研究了一類采用T-S模糊模型描述的大系統(tǒng)的漸進穩(wěn)定性問題, 并設計了PDC控制器. 對PDC控制器的設計, 上述文獻都是采用MATLAB里的LMI工具箱來求解線性矩陣不等式.

文中研究不確定模糊關聯(lián)大系統(tǒng)的穩(wěn)定性及控制問題, 所考慮的模糊大系統(tǒng)由多個相關關聯(lián)的T-S模糊模型組成, 且參數(shù)不確定性以范數(shù)有界的形式出現(xiàn)在系統(tǒng)的各個系統(tǒng)矩陣、輸入矩陣及關聯(lián)矩陣中[15-16].根據(jù)李雅普諾夫穩(wěn)定性理論,提出線性狀態(tài)反饋控制器設計方法, 給出保證不確定模糊關聯(lián)大系統(tǒng)閉環(huán)漸進穩(wěn)定的定理, 控制器求解不需采用MATLAB里的LMI工具箱. 從算例仿真結(jié)果發(fā)現(xiàn), 所設計的控制器具有結(jié)構(gòu)簡單, 控制有效的優(yōu)點.

1 問題描述

Then:

(1)

但由于大系統(tǒng)的復雜性和人們認識的模糊性,實際建立的大系統(tǒng)模型參數(shù)是存在不確定性的,此時,式(1)變?yōu)?

(2)

式(2)中的參數(shù)不確定性滿足范數(shù)有界條件.

將式(2)寫成標準全局模型為:

(3)

式中:

(4)

將式(4)代入到式(3)中, 式(3)可寫成:

(5)

2 穩(wěn)定性分析

假設不考慮系統(tǒng)的控制,此時式(1)變?yōu)?

(6)

定理1形式如式(6)的模糊大系統(tǒng)漸近穩(wěn)定, 如果存在正定矩陣Pi, 使下面兩式成立:

(7)

(8)

證 在不考慮控制項時, 式(3)可表示為:

(9)

設Lyapunov函數(shù)為:

(10)

則:

(11)

如果存在正定矩陣Pi, 滿足:

(12)

并且:

(13)

式中：λmin為最小特征值.

則:

(14)

由Lyapunov穩(wěn)定性定理可知, 系統(tǒng)漸近穩(wěn)定.

3 線性反饋控制器設計

對于大系統(tǒng)的控制,目前通常采用PDC控制器.為了控制器設計的簡單化, 文中研究線性反饋控制器設計方法.

假設線性反饋控制器為:

(15)

(16)

對于線性反饋控制器的設計, 要保證系統(tǒng)穩(wěn)定,需滿足下述定理.

定理2如果線性反饋控制器穩(wěn)定, 則線性狀態(tài)反饋增益需滿足下面的式子:

(17)

(18)

(19)

r=1,2,…,R;m=1,2,…,R;r≠m

(20)

我國體育基金會通常由政府推動而成立，國家體育總局或各省市體育行政部門作為業(yè)務主管單位，通常將體育基金會視為體育系統(tǒng)的一部分，從而支持基金會的工作[2]。1986年10月30日，四川省發(fā)展職工體育基金會率先成立，成為我國第一家體育基金會，登記類型為非公募體育基金會。次年成立的廣東省體育基金會為我國第一家公募體育基金會。30多年來，體育基金會獲得了長足的發(fā)展，形成了獨特的管理和運營模式。

證 定義Lyapunov函數(shù)為:

(21)

代入式(13), 并進行計算得到:

(22)

再代入式(18～20)可得:

(23)

由Lyapunov穩(wěn)定性定理可知, 系統(tǒng)漸近穩(wěn)定. 于是定理2得證.

通過上面的分析, 可得到參數(shù)不確定模糊關聯(lián)大系統(tǒng)線性反饋控制器設計步驟為:

(1) 由式(4)將參數(shù)不確定的系統(tǒng)矩陣以一參數(shù)確定矩陣代替;

(24)

(5) 驗證求得的結(jié)果是否滿足式(20), 如果滿足, 則由式(15)和式(17)可求得線性狀態(tài)反饋控制器.

4 仿真算例

以文獻[8]中的算例為例, 大系統(tǒng)由3個子系統(tǒng)組成, 每個模糊子系統(tǒng)為:

子系統(tǒng)1:

規(guī)則1:

If:x11(t)趨近0, 并且x12(t)趨近0;

規(guī)則2:

If:x11(t)趨近0, 并且x12(t)趨近±1;

規(guī)則3:

If:x11(t)趨近±1, 并且x12(t)趨近0;

子系統(tǒng)2:

規(guī)則1:

If:x21(t)趨近0, 并且x22(t)趨近0;

規(guī)則2:

If:x21(t)趨近±1, 并且x12(t)趨近-1;

子系統(tǒng)3:

規(guī)則1:

If:x31(t)趨近0, 并且x32(t)趨近0;

規(guī)則2:

If:x31(t)趨近±2, 或者x32(t)趨近-1;

在此基礎上, 假設參數(shù)不確定, 考慮一下兩類參數(shù)不確定性情況:

假設系統(tǒng)初始狀態(tài)為:

狀態(tài)變量的仿真曲線如圖1.

圖1 系統(tǒng)矩陣元素隨機變化時狀態(tài)響應曲線Fig.1 State responses of system matrixes changed with random

(2) 假設系統(tǒng)矩陣不確定量按下面的規(guī)律變化:

子系統(tǒng)1:

子系統(tǒng)2:

子系統(tǒng)3:

采用上節(jié)提出的控制器設計步驟, 得到狀態(tài)反饋增益為:

假設系統(tǒng)初始狀態(tài)為:

狀態(tài)變量的仿真曲線如圖2.

圖2 系統(tǒng)矩陣元素按規(guī)律變化時狀態(tài)響應曲線Fig.2 State responses of system matrixes changed with regular

從圖1和圖2的仿真曲線可以看出,在系統(tǒng)矩陣參數(shù)不確定時,模糊大系統(tǒng)的狀態(tài)向量在有限時間內(nèi)均趨于零,控制效果很好,這說明了本文提出算法的有效性.

5 結(jié)論

(1) 文中考慮了一類參數(shù)不確定模糊關聯(lián)大系統(tǒng)的穩(wěn)定性及控制器設計問題, 整個系統(tǒng)由多個相關關聯(lián)的T-S模糊系統(tǒng)構(gòu)成.

(2) 基于Lyapunov漸近穩(wěn)定性理論及大系統(tǒng)控制理論, 研究保證該模糊關聯(lián)大系統(tǒng)閉環(huán)魯棒漸進穩(wěn)定的線性狀態(tài)反饋控制器的設計方法, 并提出控制器設計步驟. 算例仿真驗證所提出的控制器設計方法的有效性.

(3) 文中提出的參數(shù)不確定關聯(lián)模糊大系統(tǒng)的穩(wěn)定性定理及線性狀態(tài)反饋控制器設計方法, 可有效解決大系統(tǒng)建模及控制中的參數(shù)不確定性問題.相比目前常用的基于LMI的控制器設計方法及PDC控制方法, 文中所設計方法更簡單有效, 對大系統(tǒng)的研究具有一定意義.