電極驅(qū)動(dòng)微槽道流動(dòng)的高電壓邊界數(shù)值模擬①

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(北京航空航天大學(xué)航空科學(xué)與工程學(xué)院，北京 100191)

0 引 言

隨著芯片實(shí)驗(yàn)室技術(shù)快速發(fā)展，如何在微米的尺度上驅(qū)動(dòng)流體流動(dòng)有了迫切的需求。傳統(tǒng)的通過(guò)壓力梯度驅(qū)動(dòng)的方式在流動(dòng)尺度很小的情況下有流量小的缺點(diǎn)，所以通過(guò)其他技術(shù)來(lái)驅(qū)動(dòng)槽道中流體流動(dòng)得到大量的發(fā)展。電場(chǎng)驅(qū)動(dòng)流動(dòng)的流量與管道直徑的平方是正比關(guān)系，同時(shí)在電滲流動(dòng)中流速剖面沿管道橫截面均勻分布，減小泰勒彌散效應(yīng)[1]，因此電驅(qū)動(dòng)比壓力驅(qū)動(dòng)在微流動(dòng)中應(yīng)用廣泛，更深入的研究電驅(qū)動(dòng)MEMS 對(duì)于流體流動(dòng)的控制效果有利于更好地應(yīng)用流動(dòng)控制。

近年來(lái)，電極驅(qū)動(dòng)的微槽道流動(dòng)有兩種電極布置方式：施加相同的交流信號(hào)的非對(duì)稱布置電極和多個(gè)等寬度電極上施加相同相位差的行波信號(hào)(如圖1)。Ramos等人對(duì)這兩種不同的電極布置方式進(jìn)行了實(shí)驗(yàn)，并且提出了基于Debye-Huckel 雙電層理論的線性模型[2]。大部分的研究者選擇應(yīng)用此線性模型進(jìn)行研究，如Hung-ChunYeh等人在此線性模型的基礎(chǔ)上計(jì)算了在微槽道的上下壁面都布置電極的情況[3]和Kuan-RongHuang等人將行波電滲流應(yīng)用于微流體混合[4]。

等寬度電極行波驅(qū)動(dòng)的微流動(dòng)電滲流的物理模型如圖1，在微槽道流動(dòng)中，槽道的上下壁面上安裝電極，在雙電層中聚集的正負(fù)離子由電極產(chǎn)生的行波信號(hào)所驅(qū)動(dòng)。由于電極表面充電的時(shí)間是有限的，誘導(dǎo)的離子分布延遲于行波[5]。這種非均勻的電場(chǎng)誘導(dǎo)雙電層中的離子運(yùn)動(dòng)，從而通過(guò)粘性驅(qū)動(dòng)流體沿著行波的方向運(yùn)動(dòng)。

圖1 行波驅(qū)動(dòng)電極分布示意圖

目前電極驅(qū)動(dòng)的微槽道流動(dòng)實(shí)驗(yàn)結(jié)果是在比較大的邊界條件下做的，但是大部分的數(shù)值算法都是基于線性動(dòng)電學(xué)模型，比如可以通過(guò)electrical circuit theory的電容-電阻-電容(CRC)電路進(jìn)行近似求解，雙電層像電容一樣儲(chǔ)存電荷，同時(shí)電解質(zhì)溶液作為電阻存在。但是由等價(jià)CRC電路發(fā)展的理論只適用于電壓低于熱壓RT/F(R是氣體常數(shù)，T是絕對(duì)熱力學(xué)溫度，F(xiàn)為法拉第常數(shù))的情況，在25℃其為25.7mV。而基于Poison-Nernst-Planck和Navier-Stokes方程(PNPNS model)的數(shù)學(xué)模型可以預(yù)測(cè)到實(shí)驗(yàn)中觀測(cè)到的現(xiàn)象，比如倒流。根據(jù)相關(guān)研究[6,7]，PNPNS模型可以在電壓振幅大于幾百mV時(shí)得到物理相符的結(jié)果。因此，采用了直接數(shù)值模擬，配合高精度的譜方法對(duì)基于PNPNS模型的電極驅(qū)動(dòng)二維微槽道流動(dòng)進(jìn)行數(shù)值模擬，實(shí)現(xiàn)在較大電壓幅值條件下進(jìn)行模擬。

1 數(shù)值方法

采用了與文獻(xiàn)[8]相似的近似方法。數(shù)值方法基于以下的假設(shè)：1)等溫的環(huán)境；2)稀溶液；3)無(wú)電極反應(yīng)；4)固體表面無(wú)滑移；5)溶液連續(xù)不可壓。在只考慮稀溶液時(shí)，不同離子的傳遞不相互影響，所以在建立溶質(zhì)的擴(kuò)散方程時(shí)就不考慮其他溶質(zhì)的影響，使方程更簡(jiǎn)單。假設(shè)電極與溶液沒(méi)有發(fā)生的化學(xué)反應(yīng)。

在槽道的上下壁面安裝電極，并假設(shè)電極足夠多，可以將壁面上的行波視為理想的正弦波型。槽道高度為2H，溶液為KCl稀溶液，且假設(shè)正負(fù)離子摩爾密度相同。初始時(shí)刻在上下壁面電極上施加φ(xi)=A·sin(kxi)的電壓，且隨時(shí)間作正弦變化φ(xi,t)=A·sin(kxi-wt)。A為電壓幅值，k為沿X軸相變率，k=2π/L，L為行波波長(zhǎng)，w為角速度。對(duì)于已經(jīng)完全發(fā)展的行波驅(qū)動(dòng)微槽道流動(dòng)，在流向上可以看作周期變化的，出口采用周期邊界條件，同時(shí)X方向上計(jì)算域只取一個(gè)波長(zhǎng)的長(zhǎng)度，可以簡(jiǎn)化計(jì)算，加快計(jì)算結(jié)果收斂。

離子溶液為濃度為0.1moL/m3的KCl離子溶液，溫度為25℃，介電系數(shù)為ε=80×8.854×10-12F/m，H=2μm。特征電壓φ*=RT/F，在25℃是為25.7mV，特征長(zhǎng)度L*取上下兩平板的間距的一半為H/2，特征時(shí)間t*=H2/D，特征速度V*=H/t*=D/H，特征壓強(qiáng)p*=ρV*2，特征濃度c*取遠(yuǎn)離壁面溶液中溶質(zhì)的濃度和∑|ci|，D為離子擴(kuò)散率。于是各個(gè)無(wú)量綱量為：

1)電勢(shì)Poisson方程

(1)

邊界條件

(2)

(3)

2)物質(zhì)輸運(yùn)Nernst-Planck方程

邊界條件為法向無(wú)穿透：

(5)

3)Navier-stokes方程

(6)

(7)

其中，Re=ρV*L*/μ，F(xiàn)e=Fc*φ*/p*

邊界條件為：

(8)

用時(shí)間推進(jìn)格式采用了Karniadakis，Israeli和Orszag在1991年針對(duì)牛頓流體槽道湍流的直接數(shù)值模擬提出的高階時(shí)間分裂格式，采用了二階精度。

數(shù)值方法使用譜方法。譜方法具有很高的精度，槽道不可壓流的計(jì)算結(jié)果表明，為了達(dá)到32個(gè)節(jié)點(diǎn)的Chebyshev譜的精度，需要布置接近10000個(gè)有限差分網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)[8]，因此使用譜方法提高計(jì)算精度。采用的譜方法是Galerkin-Tau方法，即在流向采用Galerkin方法，在法向用Chebyshev -Tau方法。在時(shí)間分裂推進(jìn)方法中，求解N-S方程時(shí)，粘性步只滿足了避免無(wú)滑移條件，而沒(méi)有連續(xù)性方程的約束，在經(jīng)過(guò)粘性步之后，速度場(chǎng)會(huì)出現(xiàn)殘余散度，需要使用影響系數(shù)矩陣的方法對(duì)散度進(jìn)行修正，在流向和法向上利用3/2規(guī)則消除混淆誤差。

圖2 A=1時(shí)電勢(shì)云圖

2 計(jì)算結(jié)果

圖3 A=1時(shí)流線與流向速度云圖

圖4 A=1時(shí)K+ 離子濃度分布云圖

圖5 A=10時(shí)電勢(shì)云圖

由1增大到10，結(jié)果如圖5～7：

圖6 A=10時(shí)流線與流向速度云圖

圖7 A=10時(shí)K+離子濃度分布云圖

圖8 流量隨電壓幅值A(chǔ)變化曲線

對(duì)比圖5和圖2，A= 10和A= 1的電勢(shì)云圖相識(shí)。對(duì)比圖6和圖3可以看到，在A= 10時(shí)比A= 1時(shí)流場(chǎng)流速明顯增大。同時(shí)對(duì)比離子濃度分布云圖的圖7和圖4，圖7只顯示了(-1，-0.98)區(qū)間內(nèi)的離子濃度，在A= 10時(shí)溶液中的離子基本集中到了壁面附近，其他區(qū)域接近為零，K+離子比A= 1時(shí)更加的集中于壁面附近。

在基礎(chǔ)電壓由0逐漸增大到10，由圖8可以得到，流量也隨之逐漸增大，增長(zhǎng)的速度逐漸增大，可能是由于隨著邊界條件電壓的增大，電場(chǎng)強(qiáng)度也會(huì)隨之增大，流速和流量也隨之增大。

3 結(jié) 論

對(duì)于微槽道流動(dòng)的物理模型通過(guò)PNPNS模型結(jié)合相應(yīng)的邊界條件使用譜方法進(jìn)行離散，時(shí)間推進(jìn)使用Orszag等提出的高階時(shí)間分裂格式進(jìn)行求解。對(duì)于二維的行波驅(qū)動(dòng)問(wèn)題，對(duì)邊界條件行波的幅值由1逐漸增大到10的情況進(jìn)行了計(jì)算，在高電壓的情況下，PNPNS模型的計(jì)算結(jié)果仍然可以較快收斂， PNPNS模型可以用于計(jì)算較高電壓的情況。