一類(lèi)三穩(wěn)態(tài)系統(tǒng)確定性及隨機(jī)分岔現(xiàn)象分析

吳志強(qiáng)，王耀光，張祥云，王 喆

(1. 天津大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院，天津 300072；2. 天津理工大學(xué)理學(xué)院，天津 300384)

隨機(jī) P分岔是一類(lèi)典型隨機(jī)非線性動(dòng)力學(xué)現(xiàn)象，通常是指系統(tǒng)參數(shù)變化時(shí)引起系統(tǒng)響應(yīng)穩(wěn)態(tài)概率密度圖峰數(shù)的變化[1-2]．除幾類(lèi)典型系統(tǒng)外，絕大部分研究通過(guò)數(shù)值計(jì)算穩(wěn)態(tài)響應(yīng)(聯(lián)合)概率密度圖，來(lái)判斷系統(tǒng)中是否存在隨機(jī)分岔現(xiàn)象[3-4]，極少涉及物理系統(tǒng)實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證．

存在隨機(jī) P分岔行為的系統(tǒng)，其確定性行為通常有多穩(wěn)態(tài)現(xiàn)象．含平衡點(diǎn)與極限環(huán)共存的隨機(jī) P分岔現(xiàn)象，在理論上與廣義 Hopf分岔有關(guān)，在應(yīng)用上與機(jī)翼顫振[5-9]、列車(chē)失穩(wěn)[10-11]等重要工程問(wèn)題有關(guān)，因而在近年來(lái)引起人們的關(guān)注．

因物理意義清晰、代表性廣、形式相對(duì)簡(jiǎn)單，廣義van der Pol方程常被作為范例來(lái)研究含平衡點(diǎn)與極限環(huán)多穩(wěn)態(tài)系統(tǒng)的隨機(jī)分岔行為．為探索強(qiáng)非線性阻尼的影響，人們引入不同階次的阻尼項(xiàng)形成不同類(lèi)型的多穩(wěn)態(tài)系統(tǒng)，如含5次非線性阻尼的雙穩(wěn)態(tài)系統(tǒng)[12-13](平衡點(diǎn)與極限環(huán))、含7次非線性阻尼的雙節(jié)律系統(tǒng)[14](極限環(huán)與極限環(huán))以及含 9次非線性阻尼的三穩(wěn)態(tài)系統(tǒng)[15-17](平衡點(diǎn)、極限環(huán)與極限環(huán))．

確定性分岔不同的系統(tǒng)，其隨機(jī) P分岔行為通常也不同，如雙穩(wěn)態(tài) van der Pol方程，穩(wěn)定性系數(shù)(與線性阻尼系數(shù)反號(hào))變化時(shí)，亞臨界 Hopf分岔產(chǎn)生的極限環(huán)發(fā)生1次鞍結(jié)分岔，而三穩(wěn)態(tài)時(shí)會(huì)發(fā)生2次鞍結(jié)分岔，二者確定性分岔有本質(zhì)的不同．在加性高斯白噪聲激勵(lì)情況下，兩類(lèi)系統(tǒng)的隨機(jī) P分岔圖均表示在穩(wěn)定系數(shù)、隨機(jī)激勵(lì)強(qiáng)度組成的參數(shù)平面內(nèi)，雙穩(wěn)態(tài)系統(tǒng)的分岔圖只含有1個(gè)形如三角形的雙模響應(yīng)區(qū)[12-13]，而三穩(wěn)態(tài)系統(tǒng)的分岔圖包含2個(gè)形如三角形的多模響應(yīng)區(qū)[15-16]，同樣有明顯的區(qū)別．

確定性分岔等價(jià)的系統(tǒng)，其隨機(jī) P分岔行為的等價(jià)性問(wèn)題，目前還未見(jiàn)到明確的結(jié)論．本文擬以一類(lèi)三穩(wěn)態(tài)的 van der Pol方程為對(duì)象來(lái)探索這一問(wèn)題．首先理論分析其確定性及隨機(jī) P分岔行為，然后再通過(guò)電路實(shí)驗(yàn)加以驗(yàn)證．

1 廣義van der Pol方程及其近似解

為討論含有平衡點(diǎn)與極限環(huán)的多穩(wěn)態(tài)系統(tǒng)的隨機(jī)動(dòng)力學(xué)行為，引入廣義van der Pol方程

式中：ε為穩(wěn)定系數(shù)；αi(i＝1，…，4)為非線性阻尼項(xiàng)系數(shù)；ξ()τ代表單位高斯白噪聲激勵(lì)，其特征描述為＜ξ(τ)＞＝0，＜ξ(τ)ξ(τ＋t1)＞＝δ(t1)．

假設(shè)系統(tǒng)存在如下形式的解：

式中：y(t)為響應(yīng)的幅值；?＝τ＋θ(τ)表示相位．

對(duì)于確定性情形(D＝0)，應(yīng)用確定性平均法，可求得平均方程為

由此可討論系統(tǒng)確定性分岔行為．

對(duì)于隨機(jī)激勵(lì)情形(D≠0)，利用隨機(jī)平均法得到系統(tǒng)Ito方程，再求解相應(yīng)的FPK方程，可求得系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)響應(yīng)幅值的概率密度函數(shù)(PDF)表達(dá)式為

其中κ為歸一化常數(shù)．由此通過(guò)PDF的定性變化討論系統(tǒng)的隨機(jī)P分岔現(xiàn)象．

需要特別強(qiáng)調(diào)，本文中參數(shù)取值為α1＝2.45，α2＝4.6，α3＝2.5，α4＝0.4，均與現(xiàn)有文獻(xiàn)不同．ε、D作為可調(diào)參數(shù)用來(lái)分析穩(wěn)定系數(shù)和噪聲強(qiáng)度對(duì)系統(tǒng)行為的影響．

2 確定性分岔

響應(yīng)的分岔圖見(jiàn)圖1中細(xì)實(shí)線．為驗(yàn)證近似解的精度，圖中還給出了 Poincare分岔圖計(jì)算結(jié)果，并用綠色*標(biāo)記．二者吻合很好，說(shuō)明確定性平均的結(jié)果具有足夠的精度，利用隨機(jī)平均法得到的概率密度函數(shù)也有望獲得對(duì)系統(tǒng)隨機(jī)行為的高精度描述．

圖1 確定性分岔圖Fig.1 Deterministic bifurcation diagram

從圖1分岔曲線看，近似解與數(shù)值解重合的部分是穩(wěn)定的，沒(méi)有數(shù)值解對(duì)應(yīng)的部分是不穩(wěn)定的[15,18].ε＜-0.215,V系統(tǒng)僅有唯一穩(wěn)定的解是零解；-0.215,V＜ε＜-0.192,V 系統(tǒng)零解和小極限環(huán)共存；-0.192,V＜ε＜-0.131,V 系統(tǒng)同時(shí)存在零解和大、小極限環(huán)；-0.131,V＜ε＜0,V系統(tǒng)存在零解和大極限環(huán)；ε＞0,V系統(tǒng)僅有唯一穩(wěn)定的解是大極限環(huán)．

盡管系數(shù)αi(i＝1，…，4)取值不同，但該分岔圖與文獻(xiàn)[15]所給分岔圖定性相同(注意這是 ε等同于原文-μ)．通常認(rèn)為確定性分岔定性相同的系統(tǒng)，其隨機(jī)分岔也應(yīng)相似，但這里所討論的情況正相反(見(jiàn)第3節(jié))．

為說(shuō)明系統(tǒng)有3個(gè)穩(wěn)態(tài)行為的特點(diǎn)，圖2以情況ε＝-0.172,V為例給出了對(duì)應(yīng)的相圖和時(shí)間歷程圖．顯然，除穩(wěn)定平衡點(diǎn)外，系統(tǒng)還同時(shí)存在 2個(gè)穩(wěn)定的極限環(huán)．

圖2 ε＝-0.172 V相圖及時(shí)間歷程圖Fig.2 Phase diagram and time history diagram for ε＝-0.172 V

3 隨機(jī)P分岔現(xiàn)象

奇異性理論概率密度曲線峰數(shù)變化臨界條件為

計(jì)算結(jié)果見(jiàn)圖3(a)，文獻(xiàn)中通常稱(chēng)其為隨機(jī) P分岔圖，能反映穩(wěn)定系數(shù)、噪聲強(qiáng)度相互作用導(dǎo)致系統(tǒng)幅值概率密度圖變化的規(guī)律，是一類(lèi)雙參數(shù)分岔圖．為比較方便，圖3(b)給出了文獻(xiàn)[15]得到的隨機(jī)P分岔圖．盡管確定性分岔圖定性相同，但隨機(jī) P分岔圖有本質(zhì)不同．圖3(a)中尖點(diǎn) C2位于尖點(diǎn) C1左側(cè)，圖3(b)則正相反．其直接后果是出現(xiàn)新的概率密度曲線演化序列(見(jiàn)圖4)．

圖4給出了ε＝－0.235,V時(shí)噪聲強(qiáng)度變化對(duì)PDF曲線的影響．隨著 D的增加，PDF演化過(guò)程為單峰—雙峰—單峰—雙峰—單峰．發(fā)生了 4次隨機(jī) P分岔，這種現(xiàn)象在文獻(xiàn)[15]中是不可能出現(xiàn)的．這一結(jié)果表明，確定性分岔定性相同的系統(tǒng)其隨機(jī) P分岔行為可能不同．這一較為反常的現(xiàn)象還鮮見(jiàn)文獻(xiàn)報(bào)道．

圖3 隨機(jī)P分岔圖Fig.3 Stochastic P bifurcation diagram

圖5給出了 D＝0.005時(shí)穩(wěn)定系數(shù)ε變化對(duì) PDF曲線的影響．

給定 D或ε，還可得到一系列單參數(shù)變化導(dǎo)致的PDF演化序列，其種類(lèi)遠(yuǎn)多于雙穩(wěn)態(tài)情形．限于篇幅本文不再贅述．

圖4 不同噪聲強(qiáng)度D下的PDF曲線(ε＝-0.235 V)Fig.4 PDF curves for different noise intensities D(ε＝-0.235 V)

圖5 不同穩(wěn)定系數(shù)ε 下的PDF曲線(D＝0.005)Fig.5 PDF curves for different stable parameters ε(D＝0.005)

4 實(shí)驗(yàn)研究

本文實(shí)驗(yàn)所用非線性van der Pol電路如圖6所示．Vn為噪聲激勵(lì)端口．實(shí)驗(yàn)裝置見(jiàn)圖 7，主要包括信號(hào)發(fā)生器、直流穩(wěn)壓電源、示波器、示波記錄儀、電路板等．

圖6 噪聲激勵(lì)下三穩(wěn)態(tài)van der Pol電路原理Fig.6 Circuit diagram of tri-stable van der Pol oscillator with noise

圖7 實(shí)驗(yàn)裝置Fig.7 Experimental devices

根據(jù)基爾霍夫電壓電流定理，該電路的動(dòng)力學(xué)方程為

式中：V1為反向積分器A1輸出的電壓信號(hào)，V；Ri(i＝1，…，16)分別對(duì)應(yīng)電路中電阻，Ω；C1、C2分別對(duì)應(yīng)電路中電容值，F(xiàn)．各元器件參數(shù)取值見(jiàn)表1．

表1 電路元器件參數(shù)Tab.1 Parameters of devices in the circuit

4.1 確定性分岔實(shí)驗(yàn)

關(guān)閉隨機(jī)輸入端口 Vn，即可進(jìn)行確定性動(dòng)力學(xué)行為實(shí)驗(yàn)．實(shí)驗(yàn)中，通過(guò)示波記錄儀顯示并采集運(yùn)算放大器 A1、A2輸出電壓 V1、V2，以此獲得系統(tǒng)響應(yīng)的狀態(tài)．

圖8給出了系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的時(shí)間歷程截屏圖，上面波形為 V1的信號(hào)，下面波形為 V2的信號(hào)．圖 9給出了實(shí)驗(yàn)得到的三穩(wěn)態(tài)行為相圖．其中

圖8 確定性系統(tǒng)實(shí)驗(yàn)結(jié)果Fig.8 Experimental results of deterministic system

圖9 三穩(wěn)態(tài)行為相圖Fig.9 Tri-stable behavior phase diagram

圖10給出了分岔圖的對(duì)比，從對(duì)比情況來(lái)看，確定性系統(tǒng)的實(shí)驗(yàn)有足夠的準(zhǔn)確度，電路設(shè)計(jì)及參數(shù)選擇是合理的，在此基礎(chǔ)上進(jìn)行隨機(jī)實(shí)驗(yàn)是可行的．

圖10 實(shí)驗(yàn)與理論結(jié)果對(duì)比Fig.10 Comparison of experimental and theoretical results

4.2 隨機(jī)P分岔實(shí)驗(yàn)

通過(guò) Vn端口接入隨機(jī)信號(hào)即可研究式(1)的隨機(jī)動(dòng)力學(xué)行為．分別選擇不同噪聲強(qiáng)度(Vpp)、不同穩(wěn)定系數(shù)，記錄電路系統(tǒng)進(jìn)入穩(wěn)態(tài)后的數(shù)據(jù)，統(tǒng)計(jì)響應(yīng)幅值的分布．

保持穩(wěn)定系數(shù)不變，取ε＝-0.235,V，噪聲強(qiáng)度對(duì)系統(tǒng)行為的影響見(jiàn)圖11和圖12．

圖11 同噪聲強(qiáng)度下的實(shí)驗(yàn)結(jié)果Fig.11 Experimental results for different intensities

噪聲強(qiáng)度Vpp＝0.5,V時(shí)，系統(tǒng)響應(yīng)主要集中在平衡點(diǎn)附近，呈單模響應(yīng)特點(diǎn)，PDF僅有單峰，對(duì)應(yīng)平衡點(diǎn)，與圖4中D＝0.009,5理論結(jié)果相近．

噪聲強(qiáng)度Vpp＝0.8,V時(shí)，系統(tǒng)響應(yīng)主要在平衡點(diǎn)和小極限環(huán)附近切換，形成雙模響應(yīng)，PDF出現(xiàn)雙峰，分別對(duì)應(yīng)平衡點(diǎn)和小極限環(huán)，與圖4中D＝0.025理論結(jié)果相似．

噪聲強(qiáng)度Vpp＝1.5,V時(shí)，系統(tǒng)響應(yīng)主要集中在小極限環(huán)附近，呈單模響應(yīng)特點(diǎn)，PDF僅有單峰，對(duì)應(yīng)小極限環(huán)，與圖4中D＝0.075理論結(jié)果相近．

噪聲強(qiáng)度Vpp＝2.5,V時(shí)，響應(yīng)主要在大小極限環(huán)之間切換，呈現(xiàn)雙模響應(yīng)特點(diǎn)，大小極限環(huán)附近維持時(shí)間相近．PDF出現(xiàn)兩個(gè)峰，分別對(duì)應(yīng)大、小極限環(huán)，與圖4中D＝0.195理論結(jié)果相似．

噪聲強(qiáng)度Vpp＝3.2,V時(shí)，系統(tǒng)響應(yīng)主要集中在大極限環(huán)附近，呈單模響應(yīng)特點(diǎn)，PDF僅有單峰，對(duì)應(yīng)大極限環(huán)，與圖4中D＝0.35理論結(jié)果相近．

圖12 波形截屏圖(ε＝-0.25 V)Fig.12 Recorded waveform(ε＝-0.25 V)

保持噪聲強(qiáng)度不變，取 D＝0.005，穩(wěn)定系數(shù)對(duì)系統(tǒng)行為影響見(jiàn)圖13和圖14．

圖13 不同穩(wěn)定系數(shù)下的實(shí)驗(yàn)結(jié)果Fig.13 Experimental results under different stability parameters

圖14 波形截屏圖(D＝0.005)Fig.14 Recorded waveform(D＝0.005)

穩(wěn)定系數(shù)ε＝-0.23,V時(shí)，響應(yīng)主要集中在平衡點(diǎn)附近，呈現(xiàn)單模響應(yīng)特點(diǎn)．PDF僅有單峰，與圖5中ε＝-0.23,V理論結(jié)果定性相同．

穩(wěn)定系數(shù)ε＝-0.21,V時(shí)，響應(yīng)主要在平衡點(diǎn)與小極限環(huán)之間切換，呈現(xiàn)雙模響應(yīng)特點(diǎn)．PDF出現(xiàn)雙峰，分別對(duì)應(yīng)平衡點(diǎn)和小極限環(huán)，與圖5中ε＝-0.20,V理論結(jié)果定性相同．

穩(wěn)定系數(shù)ε＝-0.18,V時(shí)，系統(tǒng)出現(xiàn)平衡點(diǎn)與大、小極限環(huán)之間切換，形成三模響應(yīng)．PDF出現(xiàn) 3個(gè)峰，分別對(duì)應(yīng)平衡點(diǎn)和大、小極限環(huán)，與圖5中 ε＝-0.17,V理論結(jié)果定性相同．

穩(wěn)定系數(shù)ε＝-0.13,V時(shí)，響應(yīng)主要在大極限環(huán)和小極限環(huán)之間切換，呈現(xiàn)雙模響應(yīng)特點(diǎn)．PDF出現(xiàn)雙峰，分別對(duì)應(yīng)大、小極限環(huán)，與圖5中 ε＝-0.15,V理論結(jié)果定性相同．

綜合上面分析可知，噪聲強(qiáng)度和穩(wěn)定系數(shù)的變化導(dǎo)致了系統(tǒng)發(fā)生隨機(jī) P分岔，同時(shí)相圖與時(shí)間歷程圖都可以定性地看出系統(tǒng)響應(yīng)的變化情況．

5 結(jié) 語(yǔ)

針對(duì)含9次非線性阻尼項(xiàng)的廣義van der Pol系統(tǒng)，設(shè)計(jì)并搭建了電路實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)，實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了系統(tǒng)在確定性及隨機(jī)激勵(lì)情況下的分岔行為．

確定性情況下，隨著穩(wěn)定系數(shù)增加，系統(tǒng)穩(wěn)定行為演化過(guò)程為：平衡點(diǎn)—平衡點(diǎn)/小極限環(huán)—平衡點(diǎn)/小極限環(huán)/大極限環(huán)—平衡點(diǎn)/大極限環(huán)—大極限環(huán)．

隨機(jī)激勵(lì)情況下，實(shí)驗(yàn)結(jié)果定性表明，噪聲強(qiáng)度、穩(wěn)定系數(shù)變化都能引起隨機(jī) P分岔．但較雙穩(wěn)態(tài)情形更復(fù)雜，當(dāng)噪聲強(qiáng)度發(fā)生變化時(shí)，PDF曲線演化過(guò)程為：?jiǎn)畏濉p峰—單峰—雙峰—單峰，發(fā)生 4次隨機(jī)P分岔；當(dāng)穩(wěn)定系數(shù)發(fā)生變化時(shí)，PDF曲線演化過(guò)程為：?jiǎn)畏濉p峰—三峰—雙峰，發(fā)生了 3次隨機(jī)P分岔．

與已有文獻(xiàn)結(jié)果比較還發(fā)現(xiàn)：確定性分岔行為相似的系統(tǒng)，其隨機(jī) P分岔行為可能不同．其動(dòng)力學(xué)機(jī)制還有待進(jìn)一步研究．