滲透數(shù)學(xué)思想方法，提高解決問題的靈活性
——談在分?jǐn)?shù)乘除法應(yīng)用問題教學(xué)中數(shù)學(xué)思想方法的滲透

李鵬輝

（福建省長汀縣南山中心學(xué)校，福建 龍巖）

在過去，分?jǐn)?shù)乘除法應(yīng)用題都是獨(dú)立編排章節(jié)的，一線老師在長期的教學(xué)實(shí)踐中引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)出一些解決分?jǐn)?shù)乘除法應(yīng)用問題的訣竅：一找（單位“1”）；二看（單位“1”是已知的還是未知的）；三判斷（已知單位“1”用乘法計(jì)算，未知單位“1”用方程或除法計(jì)算）。有的還不乏讓學(xué)生根據(jù)一些關(guān)鍵字詞來找單位“1”，如“是”“占”“比”“相當(dāng)于”等字詞后面的量就是單位“1”。讓學(xué)生死記硬背。但是教學(xué)效果卻并不理想，失分率仍然很大，主要就是因?yàn)檫@樣的教學(xué)方法“讓記憶替代了思維，刻板壓抑了靈活?！辈焕趯W(xué)生長效發(fā)展。2013年審的新人教版教材把分?jǐn)?shù)乘除法應(yīng)用題作為分?jǐn)?shù)乘除法計(jì)算教學(xué)過程中的“解決問題”的例題來進(jìn)行安排，加強(qiáng)了與學(xué)生生活實(shí)際的聯(lián)系，更注重?cái)?shù)學(xué)思想方法的滲透，為使學(xué)生進(jìn)一步加深對(duì)分?jǐn)?shù)乘除法算理、算法的理解提供了載體。因此，在分?jǐn)?shù)乘除法應(yīng)用問題的教學(xué)中運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想、對(duì)比思想、轉(zhuǎn)化思想、發(fā)展創(chuàng)新意識(shí)等是幫助學(xué)生深入理解數(shù)量關(guān)系、提高學(xué)生解題靈活性的有效途徑。下面結(jié)合教學(xué)實(shí)踐談?wù)劚救说囊恍\顯做法。

一、利用數(shù)形結(jié)合，提高學(xué)生解題的靈活性

分?jǐn)?shù)乘除法應(yīng)用問題的教學(xué)常常讓教師棘手，令學(xué)生頭痛。怎樣才能讓學(xué)生快速地找到解題方法，提高學(xué)生解題的靈活性呢？在教學(xué)過程中可以運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想，借助形的直觀性來呈現(xiàn)題中所蘊(yùn)含的數(shù)量關(guān)系，使其直觀明了化，化抽象的問題為具體，提高學(xué)生解決問題的技巧和能力，同時(shí)也拓寬學(xué)生的解題思路。

例如，在教學(xué)新人教版六年級(jí)上冊(cè)第13～14頁例8《連續(xù)求一個(gè)數(shù)的幾分之幾是多少的問題》（原題：這個(gè)大棚共480 m2，其中一半種各種蘿卜，紅蘿卜地的面積占整塊蘿卜地的紅蘿卜地有多少平方米？）引導(dǎo)學(xué)生用一張長方形的紙來表示整個(gè)大棚，讓學(xué)生折出或畫出紅蘿卜地的面積（如下圖）。這樣，學(xué)生在折或畫的過程中就很直觀形象地理解了“其中一半種各種蘿卜”，從而求出蘿卜地的面積是再把蘿卜地平均分成 4 份，紅蘿卜地占其中的1份，最終得以解決問題：紅蘿卜地的面積是有的學(xué)生還從圖中看出“紅蘿卜地占整個(gè)大棚面積的”，即，從而求出紅蘿卜地的面積也是480×

當(dāng)然，在解決分?jǐn)?shù)乘除法應(yīng)用問題時(shí)還可以引導(dǎo)學(xué)生畫線段圖來分析數(shù)量之間的關(guān)系。但要注意應(yīng)先畫出單位“1”的量，因?yàn)樗潜容^的標(biāo)準(zhǔn)；然后畫出對(duì)應(yīng)分率的量；最后標(biāo)出條件和問題。學(xué)生在畫線段圖的過程中，也就理解了其中所蘊(yùn)含的數(shù)量關(guān)系，從而進(jìn)行正確地解答。

二、巧用對(duì)比思想，提高學(xué)生解題的靈活性

分?jǐn)?shù)乘法的應(yīng)用問題和分?jǐn)?shù)除法的應(yīng)用問題是緊密聯(lián)系的，但學(xué)生在解題時(shí)往往又容易把它們的解題方法混淆。因此在教學(xué)完分?jǐn)?shù)乘除法的應(yīng)用問題后要引導(dǎo)學(xué)生加強(qiáng)對(duì)比，讓學(xué)生在對(duì)比中思辨、在對(duì)比中糾錯(cuò)，同時(shí)也在對(duì)比中求新，從而提高學(xué)生解題的靈活性。

例如，新人教版六年級(jí)上冊(cè)第40頁第10題，就是一組很好的對(duì)比題。原題是這樣的：有一組互相咬合的齒輪。

（1）大齒輪有140個(gè)齒，小齒輪的齒數(shù)是大齒輪的。小齒輪有多少個(gè)齒？

（2）小齒輪有28個(gè)齒，是大齒輪的大齒輪有多少個(gè)齒？

（3）小齒輪每分鐘轉(zhuǎn)400周，大齒輪每分鐘轉(zhuǎn)的周數(shù)比小齒輪少大齒輪每分鐘轉(zhuǎn)多少周？

（4）大齒輪每分鐘轉(zhuǎn)80周，比小齒輪每分鐘轉(zhuǎn)的周數(shù)少小齒輪每分鐘轉(zhuǎn)多少周？

在教學(xué)時(shí)，可引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行橫、縱兩個(gè)方向的對(duì)比，讓學(xué)生深入理解題中所蘊(yùn)含的數(shù)量關(guān)系。

橫向?qū)Ρ葧r(shí)：先引導(dǎo)學(xué)生比較第（1）（2）小題，根據(jù)“小齒輪的齒數(shù)是大齒輪的”，讓學(xué)生明白這兩小題蘊(yùn)含有相同的數(shù)量關(guān)系，即“大齒輪的齒數(shù)齒輪的齒數(shù)”。但這兩小題又有不同點(diǎn)，第（1）題是已知大齒輪的齒數(shù)，求小齒輪的齒數(shù)，用算術(shù)方法“乘法”計(jì)算就可以求解；而第（2）題是已知小齒輪的齒數(shù)，求大齒輪的齒數(shù)，要用方程列式或用“除法”計(jì)算才可以求解。然后引導(dǎo)學(xué)生比較第（3）（4）小題，根據(jù)“大齒輪每分鐘轉(zhuǎn)的周數(shù)比小齒輪少”，使學(xué)生明白這兩小題也有相同的數(shù)量關(guān)系，即“小齒輪每分鐘轉(zhuǎn)的周數(shù)大齒輪每分鐘轉(zhuǎn)的周數(shù)”。不同點(diǎn)仍然是解法不同。

縱向?qū)Ρ葧r(shí)：先引導(dǎo)學(xué)生比較第（1）（3）小題，由于大齒輪的齒數(shù)多，所以大齒輪每分鐘轉(zhuǎn)的周數(shù)就更少。因?yàn)椤靶↓X輪的齒數(shù)是大齒輪的”，所以“大齒輪每分鐘轉(zhuǎn)的周數(shù)就是小齒輪的（1-），正好要反過來。解題方法都是用算術(shù)方法“乘法”計(jì)算。然后引導(dǎo)學(xué)生比較第（2）（4）小題，同理可知，題中所蘊(yùn)含的數(shù)量關(guān)系跟第（1）（3）小題是相同的，但解題方法不同，要用方程列式或用“除法”計(jì)算。

三、運(yùn)用轉(zhuǎn)化思想，提高學(xué)生解題的靈活性

分?jǐn)?shù)乘除法應(yīng)用問題與“份數(shù)、比、按比例分配”等知識(shí)都有內(nèi)在聯(lián)系。在解決實(shí)際問題的過程中運(yùn)用轉(zhuǎn)化思想，引導(dǎo)學(xué)生利用新舊知識(shí)將未知問題進(jìn)行變換，轉(zhuǎn)化成已知問題，也就是說把一些數(shù)量關(guān)系較為復(fù)雜、隱蔽的問題通過轉(zhuǎn)化，使學(xué)生更容易理解題意，更快地找到解決問題的方法，從而提高學(xué)生解題的靈活性。

四、發(fā)展創(chuàng)新意識(shí)，提高學(xué)生解題的靈活性

創(chuàng)新意識(shí)是《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》中新增加的核心概念，創(chuàng)新意識(shí)的培養(yǎng)更是現(xiàn)代數(shù)學(xué)教育的基本任務(wù)。作為教師在教學(xué)過程中要有意識(shí)地為學(xué)生提供適當(dāng)?shù)牟牧希寣W(xué)生去實(shí)踐、去發(fā)現(xiàn)、去討論、去思考，從而發(fā)展學(xué)生的創(chuàng)新思維，提高學(xué)生的解題應(yīng)變能力。在分?jǐn)?shù)應(yīng)用問題的解決過程中，其關(guān)鍵是學(xué)生要能正確理解“含有分率的句子”，因此，在教學(xué)中要引導(dǎo)學(xué)生看到“含有分率的句子”，就能自覺地從不同的角度去挖掘“分率句”的含義。

例如，當(dāng)學(xué)生看到“某班男生人數(shù)是女生人數(shù)的”時(shí)，引導(dǎo)學(xué)生思考：“看到這句話你還能想到什么呢？”

生1：男生人數(shù)是4份，女生人數(shù)是這樣的5份，全班人數(shù)就是這樣的9份，男生占全班人數(shù)的，女生占全班人數(shù)的

生2：女生人數(shù)比男生多，男生人數(shù)比女生少

生3：男生比女生少的人數(shù)占全班的，女生比男生多的人數(shù)也是占全班的

生4：男生和女生的比是4：5，女生和全班人數(shù)的比是5：9。

……

通過這樣的訓(xùn)練，學(xué)生的思維展開了、流暢了，知識(shí)之間的內(nèi)在聯(lián)系也溝通了，那么學(xué)生解決問題的方法就更靈活了。

又如，有這樣一道題：“甲、乙兩個(gè)數(shù)的和是124，已知甲數(shù)的與乙數(shù)的相等，求甲、乙兩數(shù)各是多少？”引導(dǎo)學(xué)生從不同的角度去思考，便可得到不同的解法。

解法一：找已知數(shù)的對(duì)應(yīng)分率。

因?yàn)樗约讛?shù)，即甲數(shù)是乙數(shù)的由此可以想到甲數(shù)占兩數(shù)和的乙數(shù)占兩數(shù)和的解得：甲數(shù)是；乙數(shù)是

解法二：按比例分配的方法。

根據(jù)，得到甲數(shù)由此可知：甲數(shù)占16份，乙數(shù)占15份，兩數(shù)和是31份。解得：甲數(shù)是 124÷31×16=64；乙數(shù)是 124÷31×15=60。

解法三：列方程的方法。

設(shè)甲數(shù)為x，那么乙數(shù)是。列出算式124，解得甲數(shù) x=64

解答完后，引導(dǎo)學(xué)生從多種解法中篩選出簡捷、創(chuàng)新的解法，提高學(xué)生解題的靈活性。

總之，在分?jǐn)?shù)乘除法應(yīng)用問題的教學(xué)中還可以滲透其他豐富的數(shù)學(xué)思想方法，如“類比思想、模型思想、對(duì)應(yīng)思想……”在解決問題的過程中還可以有機(jī)地進(jìn)行多種思想方法融會(huì)貫通，交互滲透，進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生解決問題的能力，促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的提高。

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