各學(xué)段數(shù)學(xué)教學(xué)中“多米諾效應(yīng)”模型的運(yùn)用研究

廣西師范學(xué)院 (530001) 周作雄 侯代忠

多米諾效應(yīng)(DominoEffect)也叫多米諾骨牌效應(yīng).它指的是在一個(gè)相互聯(lián)系的系統(tǒng)中，一個(gè)很小的初始能量就可能產(chǎn)生一系列的連鎖反應(yīng).“多米諾效應(yīng)”模型是數(shù)學(xué)遞推模型體系中的一種.它的核心在于找到很小的“初始力量”(一般位于初始或者結(jié)尾)，然后利用多米諾效應(yīng)所特有的遞推形式進(jìn)行下推，在這過(guò)程中讓學(xué)生去體會(huì)數(shù)學(xué)的美，最終的結(jié)果使題目變的簡(jiǎn)單、容易和有趣.法國(guó)數(shù)學(xué)家帕斯卡說(shuō)過(guò)：“數(shù)學(xué)這一學(xué)科如此地嚴(yán)肅，我們應(yīng)當(dāng)千方百計(jì)地把它趣味化”.研究“多米諾效應(yīng)”的模型在小學(xué)、初中、高中和大學(xué)運(yùn)用的目的，就在于把嚴(yán)肅的數(shù)學(xué)變得有趣，激發(fā)學(xué)生對(duì)于數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的欲望，開(kāi)闊學(xué)生思維，培養(yǎng)學(xué)生對(duì)于數(shù)學(xué)美的鑒賞能力，最終使得學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，在解題的過(guò)程中得以提升.下面就讓我們來(lái)見(jiàn)識(shí)一下，“多米諾效應(yīng)”模型是如何在我們數(shù)學(xué)生涯中運(yùn)用的.

一、“多米諾效應(yīng)”在小學(xué)奧數(shù)巧算中的運(yùn)用

例1 (四年級(jí)奧數(shù)) 巧算加減法99-98-97+96+95-94-93+…+8+7-6-5+4+3-2-1.

分析：長(zhǎng)長(zhǎng)的巧算題目，其實(shí)包含著“多米諾效應(yīng)”模型的影子.通過(guò)觀察，我們可以知道，此題目的“初始力量”位于首位.通過(guò)將連續(xù)的四個(gè)數(shù)組合在一起，結(jié)果恰好等于0，即 99-98-97+96=0,95-94-93+92=0…,7-6-5+4=0.便可快速求解得出答案.過(guò)程如下：

99-98-97+96+95-94-93+…+8+7-6-5+4+3-2-1=(99-98-97+96)+(95-94-93+92)+…+(7-6-5+4)+3-2-1=0.

小結(jié):“多米諾效應(yīng)”模型不僅僅可以運(yùn)用到小學(xué)數(shù)學(xué)奧數(shù)巧算中，而且它也可以拓展到小學(xué)數(shù)學(xué)的加減湊整運(yùn)算中去，同樣也具有簡(jiǎn)便性和趣味性.

(2)137+356+565+863+644+435=( ).

二、“多米諾效應(yīng)”在初中數(shù)學(xué)平方差公式中的運(yùn)用

例2 計(jì)算：3(22+1)(24+1)(28+1)(216+1)(232+1)-264+1[1].

分析：初中數(shù)學(xué)平方差公式的學(xué)習(xí)，也包含著“多米諾效應(yīng)”模型的影子.通過(guò)觀察我們可知,此題目的“初始力量”位于首位.通過(guò)構(gòu)造平方差公式(a-b)(a+b)=a2-b2來(lái)解決.雖然沒(méi)有(a2-b)，但是我們可以將3進(jìn)行變形得3=(22-1)，于是題目便可得出答案.過(guò)程如下：

3(22+1)(24+1)(28+1)(216+1)(232+1)-264+1=(22-1)(22+1)(24+1)(28+1)(216+1)(232+1)-264+1=(24-1)(24+1)(28+1)(216+1)(232+1)-264+1=(28-1)(28+1)(216+1)(232+1)-264+1=264-1-264+1=0.

小結(jié)：“多米諾效應(yīng)”模型既可以運(yùn)用到初中數(shù)學(xué)平方差公式的計(jì)算中，又可以拓展到初中數(shù)學(xué)的分?jǐn)?shù)的加減運(yùn)算中去，同時(shí)也可以拓展到大學(xué)數(shù)學(xué)的極限的求解中去.同樣都具有打破定勢(shì)思維，增加成就感的效果.

三、“多米諾效應(yīng)”在高中數(shù)列裂項(xiàng)求和中的運(yùn)用

小結(jié)：“多米諾效應(yīng)”模型不但可以運(yùn)用到高中的數(shù)學(xué)平方差公式的計(jì)算中，又可以用于數(shù)學(xué)歸納法的導(dǎo)入教學(xué).它們都具有技巧性和方法的多樣性.

四、“多米諾效應(yīng)”在大學(xué)高等代數(shù)行列式中的運(yùn)用

例4 計(jì)算下列行列式

分析：大學(xué)高等代數(shù)中行列式的學(xué)習(xí)，同時(shí)也滲透著“多米諾效應(yīng)”模型.通過(guò)仔細(xì)觀察我們便可發(fā)現(xiàn)，此題目的“初始力量”位于開(kāi)頭.通過(guò)按第一行展開(kāi)便可得到n-1階的形式，然后根據(jù)多米諾特性進(jìn)行遞推，求解.過(guò)程如下：

解：將行列式按第一行展開(kāi)，得Dn=2Dn-1-Dn-2.即Dn-Dn-1=Dn-1-Dn-2,∴Dn-Dn-1=Dn-1-Dn-2=…D2-D1=3-2=1.∴Dn=1+Dn-1=…=1+1+…+(1+Dn-(n-1))=(n-1)+2=n+1.

小結(jié)：“多米諾效應(yīng)”模型在大學(xué)同樣適用，它既可以運(yùn)用到行列式計(jì)算中，又可以用于矩陣的計(jì)算，同時(shí)還可以運(yùn)用到極限的求解.它們同樣具有數(shù)學(xué)美與能力的提升.

綜上所述，“多米諾效應(yīng)”模型，廣泛運(yùn)用于小學(xué)、初中、高中和大學(xué)中，通過(guò)在長(zhǎng)長(zhǎng)的題目中，找到小小的“初始力量”，使其發(fā)生連鎖反應(yīng)，最終使“萬(wàn)丈高樓傾倒于前”.在此過(guò)程中，讓小學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)的趣味性，激發(fā)其對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的欲望；初中生打破思維定勢(shì)，從中獲得成就感；開(kāi)闊高中生的思維，使其解題更具技巧性和多樣性；培養(yǎng)大學(xué)生對(duì)于數(shù)學(xué)美的鑒賞能力，使其數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，在解題的過(guò)程中，得以提升.