淺談立體幾何解題教學(xué)的三種意識(shí)

浙江省紹興魯迅中學(xué) (312000) 陳少春 虞關(guān)壽

立體幾何作為培養(yǎng)學(xué)生空間想象能力的重要載體，在高考中一直有著非常重要的份量.另一方面學(xué)生從初中到高中，從平面幾何進(jìn)入立體幾何，突然間就感覺到不適應(yīng).很多學(xué)生習(xí)慣于用平面幾何的眼光學(xué)習(xí)立體幾何，看不懂直觀圖，更不會(huì)根據(jù)題意畫出對(duì)應(yīng)直觀圖.缺乏空間想象能力是學(xué)習(xí)立體幾何的最大障礙.筆者經(jīng)過幾年的教學(xué)探究，覺得在立體幾何解題教學(xué)中有三種意識(shí)要滲透到位，也許對(duì)突破立體幾何障礙有些許幫助.

一、模型化意識(shí)

高中立體幾何課本中的線面、面面位置關(guān)系都是通過長(zhǎng)方體這個(gè)大家非常熟悉的幾何體呈現(xiàn)的，也就是說長(zhǎng)方體這個(gè)簡(jiǎn)單完美的幾何體貫穿了高中立體幾何教學(xué)的始終，可以毫不夸張地說長(zhǎng)方體是我們解決立體問題的“百寶箱”，因此在平時(shí)的概念教學(xué)中要利用好它來培養(yǎng)學(xué)生的空間感，同時(shí)在解題教學(xué)中也要重視它.

圖1

圖2

圖3

例3 (2013年“學(xué)數(shù)學(xué)”邀請(qǐng)賽)用四塊腰長(zhǎng)為a，上下底邊長(zhǎng)分別為a，2a的等腰梯形硬紙片，和兩塊長(zhǎng)和寬分別為2a和a的矩形硬紙片，可以圍成一個(gè)六面體，則該六面體的體積為___________.

圖4

例4 (2015年浙江高考)如圖4，在A-BCD中，AB=AC=BD=CD=3,AD=BC=2,點(diǎn)M，N分別為AD,BC的中點(diǎn)，則異面直線AN與CM所成角的余弦值___________.

圖5

例5 已知A,B分別為直二面角α-l-β兩個(gè)半平面上的點(diǎn)，AB與這兩個(gè)半平面所成的角均為30°，則異面直線AB與l所成的角是___________.

圖6

二、降維意識(shí)

對(duì)空間圖形問題的研究經(jīng)常都是借助或轉(zhuǎn)化為平面問題來解決的，我們教材中對(duì)三個(gè)空間角的定義與研究利用了這種轉(zhuǎn)化，教材中的各種位置關(guān)系的性質(zhì)定理，也體現(xiàn)了這種轉(zhuǎn)化，平時(shí)的教學(xué)中要重視降維意識(shí)的滲透.因?yàn)檫@種轉(zhuǎn)化是解決空間圖形中許多問題的一種重要的思想方法，各省的競(jìng)賽與高考中也頻頻考查，因此空間問題平面化的這種降維意識(shí)在我們的解題教學(xué)中要多加引導(dǎo).

圖7

圖8

例7 (2016年溫州模擬17)已知棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD-A1B1C1D1的體對(duì)角線BD1和面對(duì)角線B1C上分別有兩動(dòng)點(diǎn)E,F，G為底面ABCD上動(dòng)點(diǎn)，求線段EF+EG的最小值___________.

圖9

解：如圖9，連結(jié)BC1交B1C于點(diǎn)P，連結(jié)BD，作EM⊥BC1于點(diǎn)M，EQ⊥BD于點(diǎn)Q.因?yàn)槊鍭BCD⊥面BB1D1D，面ABCD∩面BB1D1D=BD，所以EQ⊥面ABCD，從而EG≥EQ；又由于B1C⊥面ABC1D1，EP?面ABC1D1，故B1C⊥EP，則線段EP為點(diǎn)E到面對(duì)角線B1C的距離，從而EF≥EP，EF+EG≥EP+EQ.又EM=EQ，則EF+EG≥EP+EM.

而EP、EM在平面BC1D1內(nèi)，作面對(duì)角線B1C關(guān)

圖10

例8 (2016年浙江高考理14)如圖11，在ΔABC中，AB=BC=2,∠ABC=120°.若平面ABC外的點(diǎn)P和線段AC上的點(diǎn)D，滿足PD=DA，PB=BA，則四面體PBCD的體積的最大值是___________.

圖11

解：由AB=BC=2,∠ABC=120°，可得AC=

三、升維意識(shí)

圖12

“空間問題平面化”是立體幾何里非常重要的思想方法，但是我們不能思維僵化，機(jī)械操作，有時(shí)候問題也需適度“復(fù)雜化”，線面問題轉(zhuǎn)化為面面問題，線線問題轉(zhuǎn)化為空間問題，棱錐“改造”成棱柱等.而我們教材中的線面平行和面面平行的判定定理中就隱藏著這種升維思想，我們的高考模擬卷里這種問題也不少，我們要多加關(guān)注.

解：過點(diǎn)D作DO⊥AC，垂足為O，則動(dòng)點(diǎn)D′軌跡是以O(shè)為圓心，DO為半徑的圓.故問題可轉(zhuǎn)化為求圓錐上動(dòng)點(diǎn)D′與定點(diǎn)B構(gòu)成的動(dòng)直線BD′與圓錐的軸AO所成角余弦的最大值.

圖13

圖14

例10 (2017年名校協(xié)作體)如圖14，正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為3，在面對(duì)角線A1D上取點(diǎn)M，在面對(duì)角線CD1上取點(diǎn)N，使得MN∥平面AA1C1C，當(dāng)線段MN長(zhǎng)度取到最小值時(shí)，三棱錐A1-MND1的體積為 ___________.

解：作MM′⊥AD，NN′⊥DC,連結(jié)M′N′.因?yàn)镸N∥平面AA1C1C,NN′∥平面AA1C1C，所以平面MM′N′N∥平面AA1C1C，平面MM′N′N∩平面

ABCD=M′N′,平面AA1C1C∩平面ABCD=AC,

圖15

圖16

解：求點(diǎn)A1到平面的距離本質(zhì)上是要求直線AA1與平面α的線面角θ的正弦值，又因?yàn)锳A1⊥面ABCD，故問題可轉(zhuǎn)化為求平面ABCD與平面α的二面角的余弦值.