第二型曲面積分的中值定理

廣西民族大學(xué)理學(xué)院 張曉呵

積分中值定理體系龐大，但仍然有大量數(shù)學(xué)學(xué)者在研究，在華東師范版和劉玉璉的數(shù)學(xué)分析中給出了積分中值定理和積分第二中值定理的定義和證明后，對(duì)于其在曲線和曲面上的形式并未明確，目前主要在連續(xù)型曲面上提出了相關(guān)假設(shè)。我們知道第二型曲面積分的不等式性質(zhì)一般不成立，所以一般情況下,第二型曲面積分的中值定理亦不再成立，欲使其成立，那么對(duì)曲面的要求將更加嚴(yán)格，本文便給出了這樣的曲面，同時(shí)將中值定理的“連續(xù)性”弱化為“介值性”和“可積性”,并在其上定義和證明了第二型曲面積分的中值定理。

一、定義和定理

欲使第二型曲面積分的中值定理成立，那么對(duì)曲面的要求將更加嚴(yán)格，以下我們將對(duì)這類曲面進(jìn)行討論。

1．法線單向曲面

定義2.11 設(shè)有光滑曲面C，任意包含于曲面C的小曲面Ci的法向量與z軸所呈夾角為θ。我們稱曲面C為法線單向曲面，如果cosθ不變號(hào),顯然,法線單向曲面有以下性質(zhì)：

性質(zhì)2.11 設(shè)曲面C為法線單向曲面，f為定義在C上的函數(shù)，且f(x,y,z)≥0，(x,y,z)∈C，若f在C上第二型可積，則有：

性質(zhì)2.12 設(shè)曲面C為法線單向曲面，f與g為定義C在上的函數(shù)，且f與g在C上第二型可積，若f(x,y,z)≤g(x,y,z)，(x,y,z)∈C，則有：

性質(zhì)2.13 設(shè)曲面C為法線單向曲面，f為定義在C上的函數(shù)，且第二型可積，

（1）當(dāng)cosθ≥0時(shí)，曲面C至少存在一個(gè)小曲面塊Ci，有f(x,y,z)＞ 0，(x,y,z)∈ Ci；

（2）當(dāng)cosθ≤0時(shí)，曲面C至少存在一個(gè)小曲面塊Ci，有f(x,y,z)＜ 0，(x,y,z)∈ Ci。

證明：只證當(dāng)cosθ≥0時(shí)的情形，當(dāng)cosθ≤0時(shí)的情形可類似證明。

假設(shè)任意包含于曲面C的小曲面塊Ci上均為f(x,y,z)≤0，由性可得），顯然與條件矛盾。

2．介值性定理

我們先給出定義，在曲面上的函數(shù)的介值性的定義。

定義2.21 設(shè)f(x,y,z)是定義在曲面C上的函數(shù)，記：

我們稱f在C上是可介值的，如果任意的實(shí)數(shù)α:m＜α＜M，在曲面上至少存在一點(diǎn) ，使得：

事實(shí)上，函數(shù)的介值性是弱于連續(xù)性的，若f在C上是連續(xù)的，則f在C上可介值的，反之卻不一定成立。

3．曲面積分的相關(guān)性質(zhì)

性質(zhì)2.31 若曲面C由小曲面塊C1,C2…Ck接連而成，且

證明見參考文獻(xiàn)[1]第二型曲面積分的性質(zhì)。

性質(zhì)2.32（有界性） 設(shè)曲面C為法線單向曲面，f為定義在C上的函數(shù)，若f在C上第二型可積，則f(x,y,z)在C必定有界，其中C取上側(cè)。

證明：用反證法。若f在C上無(wú)界，則對(duì)于C上的任意分割T，必存在屬于T的某個(gè)小曲面塊Ck，f在Ck上無(wú)界，在i≠k的各個(gè)小曲面塊Ci上任意取定 ，并記：

現(xiàn)對(duì)任意大的正數(shù)M，由于f在Ck上無(wú)界，故存在 ，使得：

由此可見，對(duì)于無(wú)論多么小的 ，按照上述方法選取點(diǎn)集時(shí)，總能使積分和的絕對(duì)值大于任何預(yù)先給定的正數(shù)，這與函數(shù)f(x,y,z)在曲面C第二型可積矛盾。

二、主要結(jié)果

定義3.1 設(shè)C是法線單向曲面，f，g為定義在C上的函數(shù)，且滿足如下條件：

（1）f(x,y,z),g(x,y,z)在曲面C上第二型可積；

（2）f(x,y,z)是可介值的；

（3）g(x,y,z)在c上不變號(hào)；

則至少存在一點(diǎn) 使得：

其中C取上側(cè)。由條件3），不妨設(shè)g(x,y,z)≥0，(x,y,z)∈C，這時(shí)有：

由此我們便得出法線單向曲面上的第二型曲面積分中值定理。