傳承創(chuàng)新破思維定勢 優(yōu)化拓展顯數列特征

山東 王希紅

傳統的課堂教學，是教師講，學生聽；教師問，學生答；教師寫，學生抄.所謂的常用結論，教師讓學生死記硬背，做題時，學生就照本宣科，機械模仿.久而久之，禁錮了學生的發(fā)散思維和創(chuàng)新意識.導致一聽就會，一做就錯，或者是稍微創(chuàng)新一些就不會做.其根本原因是還沒有深刻的理解數學的本性，要打破思維定勢，要有以不變應萬變之策.下面筆者用數列幾例問題，來切實的反映以上問題癥結所在.

一、傳承錯位相減，創(chuàng)新錯位相加

【傳承】對一個由等差數列和等比數列對應項之積組成的數列的前n項和，常用錯位相減法.形如an=bn·cn,其中{bn}是等差數列，{cn}是等比數列，記Sn=b1c1+b2c2+…+bn-1cn-1+bncn，則qSn=b1c2+…+bn-1cn+bncn+1.

解：Tn=a1+a2·4+a3·42+…+an·4n-1,

4Tn=a1·4+a2·42+a3·43+…+an·4n,

兩式相加得,

5Tn=a1+4(a1+a2)+42(a2+a3)+…+4n-1(an+an-1)+4nan,

【創(chuàng)新】本題是類比課本推導等比數列求和公式的錯位相減法，學生大部分就照搬課本方法，但是做不出來，因為此題稍微做了創(chuàng)新.注意題目中的條件，突破通法通性，運用錯位相加法，即可求得結論.教學中應注重揭示問題的本質,無論是錯位相減還是錯位相加都是錯項相消法.

二、傳承裂變差項，創(chuàng)新裂變和項

【傳承】裂項相消法實質上是把一個數列的每一項裂變?yōu)閮身椀牟?，即化為an=f(n)-f(n+1)的形式從而達到求和的目的.

【評析】本例以創(chuàng)業(yè)為話題，數學游戲為背景，考查等比數列的基本概念與前n項和公式，考查學生的閱讀理解能力與推理論證能力，突出考查由特殊到一般的合情推理與直覺思維能力，通過轉化與化歸把一般數列化為特殊數列的轉化與化歸思想.通過部分項列舉找出規(guī)律，再逐個加以驗證，這樣思維量少但運算量大，也可以根據題意找到滿足條件的關系式，再求解得到結果，但這樣需要較強的邏輯推理能力.

(作者單位：寧夏回族自治區(qū)固原市回民中學

寧夏回族自治區(qū)固原市第二中學)

【例2】(2014·山東卷理·19)已知等差數列{an}的公差為2，前n項和為Sn，且S1,S2,S4成等比數列.

(Ⅰ)求數列{an}的通項公式；

【創(chuàng)新】本題每項不能分解成兩項之差，結合條件中公式的特點，運用裂項前和裂項后相等進行檢驗，故將每項分解成兩項之和，裂項相消法的實質是將數列中的每項進行分解，然后重新組合，使之能消去一些項，最終達到求和的目的.可能是和式或差式.

三、傳承數列定義，創(chuàng)新隔項問題

1.隔項成等差

【例3】已知數列{an}滿足：a1=20,a2=7,an+2-an=-2(n∈N*).

(Ⅰ)求a3,a4并求數列{an}的通項公式；

(Ⅱ)記數列{an}前2n項和S2n，當S2n取最大值時，求n的值.

解：(Ⅰ)因為a1=20,a2=7,an+2-an=-2(n∈N*)，所以a3=18,a4=5,根據題意可知數列{an}奇數項、偶數項分別是以-2為公差的等差數列.

2013年，美國氣象局(NWS)升級了多普勒天氣雷達，并且啟用了dual-pol技術，該技術可以幫助天氣雷達組在第一時間就能辨別出雨水、雪或者冰雹等不同物質，提高了天氣預報的實時性和準確度。2014年，NWS開發(fā)了一款天氣導航工具EDD，該工具可以讓用戶創(chuàng)建“天氣地圖”，顯示溫度、天氣狀況等信息，并且能夠顯示出未來一段時間內用戶線路上的天氣情況(風、雪、雨、霧)等，具體數據(溫度、雨雪量、風速等)以及旅行者需要應對或者關心的一些事項。

結合二次函數的性質可知，當n=7時S2n取最大值.

2.隔項成等比

【例4】(2015·天津卷理·18)已知數列{an}滿足an+2=qan(q為實數，且q≠1),n∈N*，a1=1,a2=2,且a2+a3,a3+a4,a4+a5成等差數列.

(Ⅰ)求q的值和{an}的通項公式；

解：(Ⅰ)因為an+2=qan(q為實數，且q≠1)，a1=1,a2=2，所以a3=q,a5=q2,a4=2q，

又因為a2+a3,a3+a4,a4+a5成等差數列，

所以2×3q=2+3q+q2，即q2-3q+2=0，解得q=2或q=1(舍).

所以a3=2,a4=4,根據題意可知數列{an}奇數項、偶數項分別是以2為公比的等比數列.

記數列{bn}的前n項和Sn,

兩式相減，得

【創(chuàng)新】以上兩題在等差、等比數列定義的基礎上加以變式創(chuàng)新，an+2-an=-2，an+2=qan(q為實數)，這類問題可以理解為隔項等差數列和隔項等比數列，或雙等差數列和雙等比數列.處理這類問題應分奇數和偶數討論，在求通項時要分別找出每一組的首項，然后注意公差(公比)和項數的關系，還是套用等差、等比數列的通項公式.拓展延伸，隔兩項、三項都可以.