對一道斜率定值問題的探究

河北 趙偉娜

解析幾何中的定值問題是高考中經(jīng)常考查的一類題型，如果能發(fā)現(xiàn)規(guī)律，利用規(guī)律總結(jié)思想方法，積累運(yùn)算技巧，就可以提高運(yùn)算效率，加快解題速度.下面就結(jié)合一道具體的例題展開探究.

( )

則yM-yN=k(xM+xN)-k，

根據(jù)此題，我們發(fā)現(xiàn)如果將定點(diǎn)改變，將曲線方程進(jìn)行推廣，思路方法和運(yùn)算方法仍然適用，并且結(jié)論也有一定的規(guī)律可循.

推廣一：已知點(diǎn)A(x0,y0)是圓C：x2+y2=r2上的點(diǎn)，過點(diǎn)A且與圓C相交的直線AM，AN(都存在斜率)的傾斜角互補(bǔ)，則直線MN的斜率為________.

【解析】設(shè)AM的方程為y-y0=k(x-x0)，

(k2+1)x2+2k(y0-kx0)x+(y0-kx0)2-r2=0，

而yM=kxM+y0-kx0，yN=-kxN+y0+kx0，

則yM-yN=k(xM+xN)-2kx0，

顯然上題是此推廣一的一種情況.

【解析】設(shè)AM的方程為y-y0=k(x-x0)，

(a2k2+b2)x2+2a2k(y0-kx0)x+a2(y0-kx0)2-a2b2=0，

而yM=kxM+y0-kx0，yN=-kxN+y0+kx0，

則yM-yN=k(xM+xN)-2kx0，

推廣四：已知點(diǎn)A(x0,y0)是拋物線y2=2px(p>0)上的點(diǎn)，過點(diǎn)A且與拋物線相交的直線AM，AN(都存在斜率)的傾斜角互補(bǔ)，則直線MN的斜率為________.

【解析】設(shè)AM的方程為y-y0=k(x-x0)，

ky2-2py-2pkx0+2py0=0，

(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)P，Q是橢圓C上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，如果直線AP的傾斜角與AQ的傾斜角互補(bǔ)，證明：直線PQ定向(即該直線的斜率為定值).

(4k2+3)x2-(8k2-12k)x+4k2-12k-3=0，

則yP-yQ=k(xP+xQ-2)，

本文從一道小題出發(fā)進(jìn)行探究，得到了此類問題的解題方法，由圓到橢圓到雙曲線到拋物線都有這種解法和結(jié)論，如果是選擇填空題可以直接代入結(jié)論得到結(jié)果，解答題就可按照此方法推理證明.