探究一道圓錐曲線綜合題的思路歷程與拓展反思

湖北 王勝林

題目已知P是圓M：x2+y2+4x+4-4m2=0(m>0且m≠2)上任意一點(diǎn)，點(diǎn)N的坐標(biāo)為(2，0)，線段NP的垂直平分線交直線MP于點(diǎn)Q，當(dāng)點(diǎn)P在圓M上運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)Q的軌跡為C.

(1)求出軌跡C的方程，并討論曲線C的形狀；

題目簡(jiǎn)評(píng)：本題的解題入口寬，起點(diǎn)低，可較好地考查圓、橢圓、雙曲線、直線、直線與圓錐曲線的位置關(guān)系、軌跡、定值等知識(shí)，考查分類討論的思想方法、參數(shù)思想、運(yùn)動(dòng)變化觀點(diǎn)、特殊與一般的辯證關(guān)系等.題目綜合性強(qiáng)，思維含量高，對(duì)學(xué)生的數(shù)學(xué)基本功要求高，完整順利地解答本題，還需要學(xué)生具有鍥而不舍的精神和頑強(qiáng)的毅力，可較好地考查學(xué)生的運(yùn)算推理能力和探索創(chuàng)造能力.

學(xué)情呈現(xiàn)：第(1)問，學(xué)生中存在的問題主要有兩點(diǎn)，一是部分學(xué)生沒有進(jìn)行分類討論，多數(shù)是根據(jù)自己隨機(jī)畫出的圖形進(jìn)行研究，得到的軌跡是橢圓就認(rèn)為是橢圓，得到的軌跡是雙曲線就認(rèn)為是雙曲線，沒有從宏觀上進(jìn)行分類討論的意識(shí).錯(cuò)誤的根源有兩點(diǎn)：①在得到圓M的標(biāo)準(zhǔn)方程(x+2)2+y2=(2m)2時(shí)，部分學(xué)生忽視了半徑2m是個(gè)變量，即圓的大小具備不確定性；也有一部分學(xué)生注意到了m的不確定性，卻不知道m(xù)的不確定性具體會(huì)體現(xiàn)在哪里;②在圓錐曲線定義的學(xué)習(xí)中存在欠缺，即可能得到軌跡為橢圓之前沒有判斷“動(dòng)點(diǎn)到兩定點(diǎn)距離之和大于兩定點(diǎn)間的距離”是否成立，或是可能得到軌跡為雙曲線之前沒有判斷“動(dòng)點(diǎn)到兩定點(diǎn)距離之差小于兩定點(diǎn)間的距離”是否成立，如果注意到了定義中的這個(gè)要求，結(jié)合題設(shè)中的條件“m>0且m≠2”，就會(huì)發(fā)現(xiàn)解法中的缺陷，并進(jìn)行彌補(bǔ)完善，這需要進(jìn)一步加強(qiáng)分類討論思想方法和圓錐曲線定義等的教學(xué).二是部分學(xué)生有分類討論的意識(shí)，卻不能準(zhǔn)確、簡(jiǎn)潔地進(jìn)行敘述.

下面研討第(2)問，學(xué)生中存在如下幾種典型的思路：

【點(diǎn)評(píng)】根據(jù)斜率直接設(shè)直線方程，運(yùn)算量和書寫量都比較大，考慮換個(gè)設(shè)法.

思路2假設(shè)存在滿足題設(shè)的定點(diǎn)E(n,0)，設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2)，過E點(diǎn)的直線為x=py+n，代入橢圓C的方程中，

得(p2+5)y2+2pny+n2-5=0,

接下來怎么辦？很多學(xué)生選擇了放棄.

思路3部分學(xué)生求到思路2的(※)處后，令這個(gè)定值為q，則有

【點(diǎn)評(píng)】不妨回頭理清一下思路，就知道三個(gè)參數(shù)p,q,n中，q和n都是我們需要為定值的參數(shù)，只有p是一個(gè)任意變量，因此，應(yīng)對(duì)此式按p進(jìn)行整理，即可進(jìn)一步求解.

【點(diǎn)評(píng)】第(2)問“使得對(duì)曲線C的任意一條過E的弦AB”中的“任意”，是一個(gè)值得好好利用的信息，像思路4和5利用必要性思考問題的學(xué)生雖然有一些，但他們都是各自注意到了過E的兩條特殊弦中的一條，很少有學(xué)生能將這兩條特殊的弦放在一起考慮.利用必要性解題，有利于培養(yǎng)學(xué)生的辯證唯物主義觀點(diǎn)，提高學(xué)生的探索能力，值得重視.

對(duì)問題的一般性探討，有利于學(xué)生跳出一個(gè)或幾個(gè)具體的問題，探討發(fā)現(xiàn)這類問題的一般性規(guī)律，達(dá)成“解一題通一類”的最優(yōu)效果.