圓錐曲線定值問題研究

廣西桂林市中山中學(xué) 秦 勇

本文通過對圓錐曲線定值問題的研究，總結(jié)歸納了解決圓錐曲線定值問題的主要策略。

一、參數(shù)法

幾乎所有的圓錐曲線定值問題都涉及參數(shù)的選取，必須通過參數(shù)作為中間量進(jìn)行計(jì)算，最后消去參數(shù)，得到定值。

（1）求橢圓C的方程。

（2）E，F(xiàn)是橢圓C上的兩個(gè)動點(diǎn)，如果直線AE的斜率與AF的斜率互為相反數(shù)，證明直線EF的斜率為定值，并求出這個(gè)定值。

（2）如圖1，設(shè)AE的斜率為k，則AF的斜率為－k。

二、特殊值法

除了參數(shù)法之外，我們還可以用另一種方法求解定值問題，我們可以先在特殊情況下求出定值，然后我們再證明定值與特殊情況無關(guān)，在一般情況下也成立。

例2 過拋物線m：y=ax2（＞0）的焦點(diǎn)F作直線l交拋物線于P、Q兩點(diǎn)，若線段PF與FQ的長分別為p，q，證明為定值。

證明：（1）在直線l與x軸平行的特殊情況下，有：

圓錐曲線定值問題是高中知識的一個(gè)難點(diǎn)，在詳細(xì)研究了這類題型后，文中介紹了運(yùn)用參數(shù)和特殊到一般這兩種數(shù)學(xué)思想方法來解決圓錐曲線定值問題，希望能幫助讀者從總體上認(rèn)識圓錐曲線定值問題，增加在學(xué)習(xí)這部分知識時(shí)的信心，使我們在解決此類問題時(shí)很快地找到解題策略。