一師一優(yōu)課活動(dòng)之《余弦定理》的兩次教學(xué)設(shè)計(jì)的反思

江蘇省蘇州市吳中區(qū)木瀆金山高級(jí)中學(xué) 姜 慧

教學(xué)設(shè)計(jì)即備課，百度稱教學(xué)設(shè)計(jì)是根據(jù)課程標(biāo)準(zhǔn)的要求和教學(xué)對(duì)象的特點(diǎn)，將教學(xué)諸要素有序安排，確定合適的教學(xué)方案的設(shè)想和計(jì)劃，一般包括教學(xué)目標(biāo)、教學(xué)重難點(diǎn)、教學(xué)方法、教學(xué)步驟與時(shí)間分配等環(huán)節(jié)。具體來(lái)說(shuō)，就是教師在實(shí)施教學(xué)之前，為教學(xué)目標(biāo)所設(shè)計(jì)的一些策略，這里要考慮教材所涉及的知識(shí)點(diǎn)、學(xué)生的認(rèn)知程度、最近發(fā)展區(qū)，教學(xué)設(shè)計(jì)主要包括教學(xué)目標(biāo)、教材的重難點(diǎn)，更重要的是教學(xué)過(guò)程的設(shè)計(jì)。

去年就《余弦定理》的第一課時(shí)，我在同一個(gè)班上了兩次，前后間隔一個(gè)月。第一次的授課時(shí)間是開(kāi)學(xué)的第一周，學(xué)習(xí)對(duì)象是高一的學(xué)生，他們進(jìn)入高中的第二學(xué)期，對(duì)三角也有了一定的認(rèn)識(shí)，看到正弦和余弦的符號(hào)不會(huì)陌生，同時(shí)，本節(jié)課也是繼正弦定理解三角形之后的內(nèi)容，可視為在解斜三角形問(wèn)題上對(duì)正弦定理的一個(gè)補(bǔ)充（初學(xué)者可理解成正弦定理不能解決的斜三角形考慮余弦定理），向量法推導(dǎo)正弦定理和余弦定理是本節(jié)的重點(diǎn)，也是難點(diǎn)，向量的三角形法則和向量數(shù)量化的相關(guān)知識(shí)在第一學(xué)期也都學(xué)過(guò)，在學(xué)習(xí)正弦定理的推導(dǎo)時(shí)也跟學(xué)生一起探索過(guò)，只要老師搭好腳手架，相信學(xué)生用向量法證明余弦定理能突破的。

教材內(nèi)容安排在必修五的第一章，是三角在圖象中的具體應(yīng)用，體現(xiàn)了高中數(shù)學(xué)培養(yǎng)學(xué)生數(shù)形結(jié)合思想的解題策略的目的。

基于以上的學(xué)生情況及教材內(nèi)容的分析，匆忙的第一次授課設(shè)計(jì)如下：

【問(wèn)題情景】

問(wèn)題1：請(qǐng)同學(xué)回憶前面學(xué)的正弦定理內(nèi)容：解哪些類型的斜三角形？

問(wèn)題2：用正弦定理解斜三角形需要知道三角形的幾個(gè)條件？體現(xiàn)了什么樣的思想？

問(wèn)題4：對(duì)這個(gè)向量的等式（向量的三角形法則）數(shù)量化得到正弦定理，請(qǐng)問(wèn)除了這種方法，還有沒(méi)有其他途徑將向量數(shù)量化？

探索1：如何再一次將向量數(shù)量化，得到額外的驚喜？

問(wèn)題1：思考正弦定理是怎么做到數(shù)量化的？（同乘三角形一條邊上的高所在的向量）老師幫助學(xué)生抓住關(guān)鍵詞，兩邊同乘一個(gè)向量。

問(wèn)題2：這里除了乘高所在的向量外，還可以乘什么向量？

探索2：觀察余弦定理的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)。

探索3：余弦定理有什么作用呢？

例題1 在△ABC中。（1）已知b=3，c=1，A=60°，求a；（2）已知a=4，b=5，c=6，求sinA。

【設(shè)計(jì)意圖】例1的兩個(gè)題目主要是幫助學(xué)生記住余弦定理，了解余弦定理的簡(jiǎn)單應(yīng)用，已知兩邊及夾角和已知三邊的問(wèn)題都可以通過(guò)余弦定理解決。通過(guò)規(guī)范的板書(shū)，規(guī)范此類題目的書(shū)寫。

例題2 A，B兩地之間隔著一個(gè)水塘（如圖），現(xiàn)選擇另一點(diǎn)C，測(cè)得CA=182m，CB=126m，∠ACB=63°，求A，B兩地之間的距離。（精確到1m，cos63°≈ 0.454）

【設(shè)計(jì)意圖】例2 是一個(gè)實(shí)際問(wèn)題，解決實(shí)際問(wèn)題高考必考，但在平時(shí)的訓(xùn)練卻較少，所以借此機(jī)會(huì)訓(xùn)練學(xué)生應(yīng)用題的解題能力，順便記住余弦定理，用余弦定理。

課后，點(diǎn)評(píng)的老師普遍認(rèn)為課堂內(nèi)容簡(jiǎn)單，容量少，整堂課平淡，雖說(shuō)學(xué)生從課堂上獲得了余弦定理的內(nèi)容和它的應(yīng)用，但效果卻不是最優(yōu)的，課后我也進(jìn)行了認(rèn)真的反思和二次備課。

情景創(chuàng)設(shè)中的問(wèn)題過(guò)于單一，這節(jié)是用數(shù)解決形的一節(jié)，回憶時(shí)可請(qǐng)學(xué)生看著圖象，做到有圖有數(shù)，問(wèn)題2 方程的思想學(xué)生根本沒(méi)有感受到，可以在題目中體會(huì)正弦定理的這一思想。關(guān)于正弦定理的推導(dǎo)，課本講了四個(gè)途徑，而向量法證明應(yīng)該是重點(diǎn)，所以這個(gè)問(wèn)題的設(shè)置應(yīng)該有的放矢，范圍不能太大。例題方面的設(shè)置也應(yīng)該遞進(jìn)式，在掌握余弦定理的同時(shí)，學(xué)生的解題能力需要日積月累地慢慢練習(xí)、提升。問(wèn)題的設(shè)置不能停留在學(xué)生已有認(rèn)知里，學(xué)生應(yīng)該在踮一踮和跳一跳的過(guò)程中獲得成就感，把未知變成已知的成就感，提高學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。

有了以上的認(rèn)識(shí)，我重新認(rèn)真研讀了新課標(biāo)及本節(jié)內(nèi)容在整個(gè)高中教材的地位及作用，仔細(xì)研究了班級(jí)學(xué)生已有的認(rèn)知水平、自我獲取知識(shí)的能力后，我對(duì)這節(jié)課重新進(jìn)行了設(shè)計(jì)，而且在一師一優(yōu)課活動(dòng)中用上了。

課堂引入的時(shí)候，考慮到復(fù)習(xí)正弦定理，本節(jié)課從東山鎮(zhèn)的兩個(gè)碼頭：長(zhǎng)圻碼頭和陸巷碼頭到三山島之間的距離問(wèn)題展開(kāi)，請(qǐng)同學(xué)們根據(jù)圖象，結(jié)合正弦定理自己設(shè)計(jì)問(wèn)題。

【學(xué)生活動(dòng)1】根據(jù)實(shí)際圖形，結(jié)合正弦定理，自己設(shè)計(jì)解斜三角形問(wèn)題，合作交流。（在實(shí)際圖象中，學(xué)生很快能設(shè)計(jì)出已知兩邊及一邊的對(duì)角和已知兩角及一邊的三角形問(wèn)題，并能準(zhǔn)確說(shuō)出解題的步驟）

探索1：將學(xué)生所設(shè)計(jì)的題目稍作變動(dòng)，改為已知兩邊及夾角，解三角形。

例1如右圖，在三角形ABC中，已知AB=7，AC=5.5，∠BAC=25°，求BC長(zhǎng)。（cos25°≈0.91，結(jié)果保留整數(shù)）

【設(shè)計(jì)意圖】復(fù)習(xí)舊知，引出新內(nèi)容，激發(fā)學(xué)生的興趣。

問(wèn)題1：這個(gè)題目用正弦定理能否解決？我們需要學(xué)習(xí)新的解斜三角形的知識(shí)。

問(wèn)題3：還可以怎么數(shù)量化？稍等片刻，學(xué)生若沒(méi)有頭緒，可以提醒向量的運(yùn)算讓學(xué)生能自己將未知的知識(shí)轉(zhuǎn)化成已知的知識(shí)。

【學(xué)生活動(dòng)2】同桌商量向量數(shù)量化的方法并運(yùn)算，看看能得到什么結(jié)果。

解斜三角形的又一個(gè)重要定理:余弦定理。

公式具有輪換對(duì)稱之美。

【學(xué)生活動(dòng)4】回到前面的問(wèn)題，學(xué)生自己利用公式計(jì)算：在△ABC中，已知三角形的三條邊a=4，b=5，c=6，求sinA。

變式練習(xí)： 在△ABC中, 角A，B，C所對(duì)的邊是a,b,c滿足等式求角C。

【設(shè)計(jì)意圖】例題1簡(jiǎn)單，通過(guò)例題加深對(duì)余弦定理的記憶，了解余弦定理適合的兩類斜三角形：（1）已知兩邊及夾角，求第三邊和其他兩個(gè)角；（2）已知三邊，求三個(gè)角。變式重在考查學(xué)生對(duì)公式的形式上的認(rèn)識(shí)，可直接套用公式，也可以將公式變形求解。

【小結(jié)】情景問(wèn)題和例1分別解決了兩類斜三角形問(wèn)題，已知兩邊和夾角及已知三邊的問(wèn)題。

例3 利用余弦定理證明：在△ABC中，當(dāng)∠C為銳角時(shí)，a2+b2＞c2； 當(dāng)∠ C 為鈍角時(shí)，a2+b2＜c2。

【設(shè)計(jì)意圖】此題是勾股定理的變式，通過(guò)此題，學(xué)生可以明白勾股定理實(shí)際是余弦定理的特殊情況，從本質(zhì)上掌握了余弦定理在解三角形中的實(shí)際用處。

【課堂練習(xí)】

1.在△ABC中。（1）已知B=60°，a=4，c=7，求b；（2）已知a=6，b=5,c=4，求△ABC最小角的余弦值。

2.在△ABC中，已知a＝3，b＝5，c＝7，則△ABC是( )

A.銳角三角形 B.直角三角形

C.鈍角三角形 D.無(wú)法確定

【設(shè)計(jì)意圖】這兩道課堂練習(xí)題主要是幫助學(xué)生鞏固余弦定理，要求學(xué)生根據(jù)條件迅速選擇正確的公式。第1題的第二小問(wèn)跟例題比稍有提升，需要學(xué)生判斷求哪一個(gè)角，這里不是特殊角，所以不可能把三個(gè)角都解出來(lái)，當(dāng)然，也可以通過(guò)余弦定理把三個(gè)角的余弦值求出來(lái)，通過(guò)比較余弦值得到最小角的余弦值，但這樣做既麻煩又易錯(cuò)，所以最好的方法就是根據(jù)大邊對(duì)大角的原理找到最小角，然后有的放矢地用余弦定理，此題還為第2題做了鋪墊。而第2題的思考方式與上題類似，判斷形狀應(yīng)該根據(jù)三角形的最大角，有了這樣明確的目標(biāo)，結(jié)合余弦定理，此題也就迎刃而解了，當(dāng)然也有學(xué)生用了例2的結(jié)論。

第二次上完課后，我找了部分同學(xué)了解情況，大家一致認(rèn)為第二次的課堂更具有吸引力，有的同學(xué)認(rèn)為是情景設(shè)計(jì)引人入勝，激發(fā)了學(xué)習(xí)的興趣；有的同學(xué)認(rèn)為以題目帶復(fù)習(xí)正弦定理把學(xué)生的注意力牢牢抓住，整堂課沒(méi)有想過(guò)要走神；還有的同學(xué)認(rèn)為余弦定理的輪換結(jié)構(gòu)有意思，讓人有種想征服的欲望…….總之，大家一致認(rèn)為第二次要比第一次多了很多收獲。

通過(guò)兩次教學(xué)設(shè)計(jì)，我感到通讀整個(gè)高中教材，研讀新課程標(biāo)準(zhǔn)的重要性，只有把握好教材，才能對(duì)知識(shí)點(diǎn)在整個(gè)教材中的地位及作用做到心中有數(shù)，才能設(shè)計(jì)出合理的教學(xué)設(shè)計(jì)。另一方面，學(xué)生才是課堂的主體，要能很好地駕馭課堂，一定要設(shè)計(jì)出適合學(xué)生的、自然的課堂，才能提高教學(xué)質(zhì)量，提高學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣。