廣西來(lái)賓高級(jí)中學(xué) 羅黃玉
橢圓是高中數(shù)學(xué)在解析幾何這一模塊中非常重要的知識(shí)點(diǎn),也是整個(gè)高中數(shù)學(xué)的一大??碱}型。在有關(guān)橢圓參數(shù)方程的試題中,一個(gè)基本的思路是把參數(shù)方程化為普通方程,然后使用我們熟悉的平面解析幾何知識(shí)解決問(wèn)題。但是,當(dāng)問(wèn)題涉及橢圓上的點(diǎn)的最值問(wèn)題、定值問(wèn)題、軌跡問(wèn)題等,如果直接利用橢圓的普通方程去解決問(wèn)題,會(huì)導(dǎo)致計(jì)算煩瑣、耗時(shí)費(fèi)力,甚至陷入困境。這時(shí)候可考慮利用橢圓的參數(shù)方程進(jìn)行處理,把動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)用橢圓的參數(shù)方程表示出來(lái),將其轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)問(wèn)題進(jìn)行求解,利用三角函數(shù)的有界性,可以方便快捷地解決問(wèn)題。本人通過(guò)對(duì)這幾年的高考題總結(jié)歸納,淺談橢圓的參數(shù)方程在最值問(wèn)題、定值問(wèn)題、軌跡問(wèn)題中的具體運(yùn)用。
對(duì)有關(guān)橢圓的二元函數(shù)最值問(wèn)題、距離的最值問(wèn)題,都可以用橢圓的參數(shù)方程轉(zhuǎn)化成三角函數(shù)的最值問(wèn)題,利用三角函數(shù)的有界性解決。
例2 【2017新課標(biāo)I】在直角坐標(biāo)系xOy中,曲線C的參數(shù)方程為直線l的參數(shù)方程為若C上的點(diǎn)到l的距離的最大值為 ,求a。
解:直線l的普通方程為x+4y-a-4=0,故C上的點(diǎn)M(3cosθ,sinθ)到 l的距離為:
對(duì)于涉及橢圓上的點(diǎn)的軌跡方程,運(yùn)用橢圓參數(shù)方程表示動(dòng)點(diǎn)代入關(guān)系式,得動(dòng)點(diǎn)軌跡的參數(shù)方程,再把動(dòng)點(diǎn)軌跡的參數(shù)方程消參化為普通方程即可。
對(duì)有關(guān)橢圓上的點(diǎn)的斜率問(wèn)題,一般方法是把橢圓上的點(diǎn)用參數(shù)方程表示,把問(wèn)題轉(zhuǎn)化成三角函數(shù)問(wèn)題,利用三角函數(shù)的方法加以整理。
又M,N兩點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,
由此得證。
通過(guò)對(duì)以上具體實(shí)例的探究,我們發(fā)現(xiàn),利用橢圓的參數(shù)方程解決有關(guān)最值問(wèn)題、軌跡問(wèn)題和定值證明問(wèn)題,可以把問(wèn)題轉(zhuǎn)化成我們所熟悉的三角函數(shù)問(wèn)題來(lái)解決,不僅能夠避免紛繁復(fù)雜的計(jì)算和化簡(jiǎn),而且更加高效和快捷。因此,掌握好橢圓的參數(shù)方程并能靈活運(yùn)用,帶給我們的不僅僅是一種方式或方法,更是一種意識(shí)、一種思想,拓寬了我們的思考問(wèn)題、解決問(wèn)題的渠道,同時(shí)為我們解決有關(guān)圓錐曲線的問(wèn)題提供了參考。