空間目標的聯(lián)合矩陣束極點估計*

邢煦然**a，趙宏鐘，賈 鑫

(航天工程大學 a.研究生院；b.光電裝備系，北京101416)

1 引 言

隨著空間技術的發(fā)展，空間目標的雷達識別已經(jīng)成為空間探測和感知領域的研究熱點。雷達目標識別通過雷達電磁回波探測空間目標的尺寸、形狀、軌道參數(shù)等重要屬性，對空間目標進行分類，具有重要的民用和軍事意義。當雷達信號的波長與目標的特征尺寸相當?shù)臅r候,雷達回波會產(chǎn)生諧振現(xiàn)象。相當一部分空間目標尺寸處于遠程監(jiān)視雷達工作頻段的諧振區(qū)，極點是雷達目標在諧振區(qū)的最主要特性。極點與目標相對姿態(tài)、雷達極化方式等無關，只與目標本身的大小、形狀、材料等因素有關[1]。因此，極點可以克服光學區(qū)雷達目標識別存在的姿態(tài)敏感性，是一種穩(wěn)健的目標識別途徑。

從雷達回波中提取極點是諧振區(qū)目標識別的前提。經(jīng)典的極點估計算法有Prony法[2]、矩陣束法和迭代法[3]。Prony法對噪聲敏感并且有無法消除的病態(tài)問題，迭代法運算量大并且結果受初值選擇的影響，而矩陣束法在運算量、精度和抗噪性等方面綜合性能較優(yōu)，因此運用最廣[4]。在采用頻域掃頻觀測數(shù)據(jù)提取目標極點時，存在虛假極點和真實極點遺漏的問題，其主要原因一是掃頻數(shù)據(jù)截斷導致時域信號泄露，二是模型定階不準，三是單角度下某些真實極點的留數(shù)太小難以被提取。

針對上述問題，本文首先對目標頻域數(shù)據(jù)進行加窗處理，并且對目標后時響應信號進行時域截斷，有效地抑制了截斷效應的影響；然后采用最小描述長度法(Minimum Description Length，MDL)估計出了目標信號的極點個數(shù)，避免了定階錯誤引起的虛假極點；最后采用多角度聯(lián)合矩陣束法估計目標的極點，有效減少了單角度下矩陣束法在估計極點時由于留數(shù)過小導致的虛假極點和極點遺漏，并分別采用簡單細桿和空間衛(wèi)星的高頻電磁計算數(shù)據(jù)驗證本文方法的有效性。

2 后時響應信號獲取

2.1 奇點展開理論

1971年，Baum[5]在研究雷達回波的后時響應時首次提出了奇點展開理論(SEM)。SEM系統(tǒng)地描述了諧振區(qū)雷達目標的回波特性、傳遞函數(shù)以及性質。諧振區(qū)雷達目標的后時響應可以用極點的衰減復指數(shù)和表示：

(1)

式中：rm為留數(shù)；sm為極點，sm=σm+ωmj,σm為衰減因子，ωm為角頻率;M為極點個數(shù)。目標的傳遞函數(shù)表述為有理函數(shù)和與整函數(shù)之和：

(2)

有理函數(shù)部分對應時域上的后時響應，整函數(shù)部分C(s)對應時域上的前時響應。上式變量中，留數(shù)ri和整函數(shù)項C(s)隨觀測角的變化而變化，而極點si具有姿態(tài)不變性。

2.2 頻域數(shù)據(jù)的獲取

諧振區(qū)雷達目標后時響應信號的獲取方法有時域和頻域兩種：一是在時域直接用極窄脈沖的超寬帶信號激勵目標，采集目標回波；二是通過發(fā)射掃頻或步進點頻信號，獲得目標在關心頻帶內(nèi)的復頻域響應H(ejω)，再通過逆傅里葉變換獲得目標的時域回波信號。時域測量方法存在超寬帶激勵信號產(chǎn)生復雜、回波采樣率很高等問題，一般很少采用，因此本文采用后者。首采用CAD軟件建立目標的3D模型，然后用網(wǎng)格剖分軟件Hypermesh將模型表面的面元網(wǎng)格化，最后使用FEKO軟件計算目標頻域響應數(shù)據(jù)。此數(shù)據(jù)相當于使用一系列單點頻信號激勵目標時目標的頻率響應H(ejω)，對獲得的頻域數(shù)據(jù)逆傅里葉變換就得到目標的時域信號。本文的仿真目標分別選取了長度/半徑200∶1的細桿和某型小衛(wèi)星，如圖1所示。

圖1 細桿和小衛(wèi)星網(wǎng)格Fig.1 The mesh and late-time signal of thin-cylinder and satellite

2.3 時域信號的預處理

傳統(tǒng)的方法直接對頻域數(shù)據(jù)進行逆傅里葉變換就得到目標的時域信號，這會帶來兩個問題：一是這樣相當于用矩形窗進行頻域截斷，造成時域旁瓣能量泄露；二是由于IFFT周期效應，信號后期幅度會出現(xiàn)增長趨勢，呈現(xiàn)出幅度兩邊大、中間小的現(xiàn)象，這與理論上后時響應信號衰減不符。這些問題不僅影響極點提取的準確性，而且會產(chǎn)生虛假極點。

針對旁瓣泄露問題，本文對頻域數(shù)據(jù)加Hamming窗然后再做IFFT來抑制時域信號的旁瓣能量泄露。假設頻域計算數(shù)據(jù)為H=[H(1)H(2) …H(N)]T，窗函數(shù)為W(n)，目標的時域信號y=IFFT[W(n)Y(n)] 。

針對IFFT周期效應，對獲得的時域信號在能量最低處截斷。由于大部分能量集中在后時響應的前半部分，后半部分的極點留數(shù)很小可以忽略，這樣做有利于選擇主要極點，忽略虛假極點，并可以抑制IFFT周期效應造成的信號后期幅度增長。截斷點的選擇標準如下：對于時域信號y，選取一小段時長n，計算[y(m)y(m+1) …y(m+n-1)](m∈[1，(N-n)])的信號能量：

(4)

獲得E=[E(1),E(2),…,E(N-n+1)]，能量E最小的時間點就是截取的時間。改進后的后時響應信號獲取流程如圖2所示。

圖2 獲得后時響應流程圖Fig.2 Technological process to obtain late-time response

3 聯(lián)合矩陣束極點估計

矩陣束法求解極點的原理是將雷達目標在瞬態(tài)頻率激勵的諧振回波信號建模為S平面上的衰減指數(shù)和的形式，由此構造兩個Hankel矩陣，利用Hankel矩陣特征值的之間特殊關系建立矩陣束，通過求解矩陣束的廣義特征值，得到極點的估計。矩陣束法估計極點的流程包括以下五個環(huán)節(jié):諧振區(qū)目標后時響應信號獲取，極點個數(shù)的估計，Hankel矩陣構造，特征矩陣的構造，矩陣特征值求解。聯(lián)合矩陣束與經(jīng)典矩陣束法的區(qū)別在于Hankel矩陣是由多角度數(shù)據(jù)聯(lián)合構造的。

3.1 極點個數(shù)估計

矩陣束法的求解過程需要對矩陣定階，而階數(shù)取決于回波信號中極點的個數(shù)，因此需要正確估計極點個數(shù)。本文選用MDL準則。文獻[6]給出了MDL準則在極點估計問題的定義。

關于束參數(shù)的選取，研究表明束參數(shù)選取在N/3

3.2 聯(lián)合矩陣特征值估計

極點本身具有姿態(tài)不敏感的特性，但是不同角度下觀測的同一目標的后時響應時，極點對應的留數(shù)會隨觀測角變化而變化。留數(shù)的變化會導致在利用某個觀測角度下的觀測數(shù)據(jù)提取極點時，可能存在留數(shù)較小的現(xiàn)象。留數(shù)過小的極點被作為噪聲無法提取，造成極點丟失；而同時奇異值更大的噪聲卻被作為極點而提取出來，成為虛假極點。為了解決留數(shù)變化造成的虛假極點問題，本文采用多角度后時響應信號構造聯(lián)合矩陣，利用極點的姿態(tài)不敏感性可知，多角度觀測聯(lián)合矩陣在理論上具有相同的極點，因此聯(lián)合矩陣的特征值與單一角度下的矩陣具有相同的特征值，通過對多角度聯(lián)合矩陣奇異值分解，可以求得其廣義特征值融合提取極點，不僅可以避免丟失重要極點，剔除虛假極點，還可以提高極點估計精度。

(1)單姿態(tài)下的Hankel矩陣構造

由式(2)獲得目標的后時響應時域信號yi構造Hankel矩陣Yi：

(5)

式中：i表示觀測角度，i=1,2,…,K，K為總共獲取的觀測角度數(shù)。

(2)多角度下的Hankel矩陣構造

將各個角度下獲得后時響應信號的Hankel矩陣橫向排列：

(6)

(3)多角度矩陣束特征值求解

對式(6)中的聯(lián)合矩陣D奇異值分解：

D=USVT，

(7)

U、V分別為D的左奇異矩陣和右奇異矩陣。去掉V第一行和最后一行得到V1、V2，取U的前M列為U′，構造矩陣D1、D2：

(8)

(9)

本文算法流程可以概括如下：

(1)由K個角度下的目標頻域觀測數(shù)據(jù)Hi獲取時域響應數(shù)據(jù)，根據(jù)式(3)對頻域數(shù)據(jù)做IFFT，計算獲得時域信號每段的能量，在能量最小處對時域序列進行時域截斷，獲得各角度下的后時響應信號yi。

(2)構造多角度數(shù)據(jù)聯(lián)合矩陣：由式(5)分別構造K個角度下的Hankel矩陣Yi，然后由式(6)構造多角度聯(lián)合觀測矩陣D。

聯(lián)合矩陣束法與矩陣束法相比Hankel矩陣更大，因此其算法復雜度大于經(jīng)典矩陣束法。最小二乘矩陣束法需要在不同極點個數(shù)下多次進行矩陣束，因此算法復雜度大于本文算法。算法復雜度從低到高排序依次為Prony法、矩陣束法、聯(lián)合矩陣束法、最小二乘矩陣束法、迭代類算法。

4 仿真驗證

4.1 仿真參數(shù)

采用高頻電磁計算軟件FEKO分別計算兩個目標的驗證算法：一是長和半徑比200∶1的細桿目標，二是某小衛(wèi)星。目標剖分模型見圖 1 。使用FEKO計算細桿目標在方位角10°～90°范圍內(nèi)間隔10°，一共9個入射角度下，激勵信號1～1.5 GHz的頻率響應數(shù)據(jù)，以及某小衛(wèi)星在7個入射角下激勵信號0～1.5 GHz的頻率響應。

4.2 極點個數(shù)估計

根據(jù)極點的姿態(tài)不變性，理論上在不同的入射角下極點個數(shù)是相同的。用MDL法估計各個入射角下某小衛(wèi)星后時響應的極點個數(shù)。圖3列舉了小衛(wèi)星4個角度下的MDL曲線，可見各角度下最小值點的階數(shù)一致，與理論相符。

圖3 MDL隨階數(shù)變化曲線Fig.3 The MDL value- order curve

4.3 旁瓣泄露的抑制

4.3.1頻域加窗

加入了Hamming窗之后，信號的時域波形的旁瓣泄露問題會得到很好地抑制。頻域加窗雖然會改變目標的時域波形，但不影響極點估計的準確性。圖4給出了細桿加窗和不加窗的極點結果，與理論值比較，可以看出頻域加窗后提取的精度更高。

圖4 加窗對極點的影響Fig.4 Influence of windowing on poles

4.3.2時域截斷

時域截斷可以起到保留主極點、抑制虛假極點的作用。圖5(a)對比了細桿時域截斷前和時域截斷后的極點，驗證說明時域截斷能保留主極點。由于簡單幾何目標虛假極點少，圖5(b)對比了復雜目標某小衛(wèi)星的時域截斷效果，可以看出，時域截斷后極點數(shù)量明顯減少，但其分布特性一致。這些截斷后消失的極點，都是一些小能量極點、虛假極點以及旁瓣泄露產(chǎn)生的不衰減的極點。可見時域截斷對于進一步抑制旁瓣泄露的影響，保留主極點有明顯的作用。

(a)時域截斷保留主極點分布

(b)小衛(wèi)星截斷前后對比

4.4 極點估計結果

4.4.1細桿的極點估計結果

聯(lián)合矩陣束估計與經(jīng)典矩陣束相比，可以克服單角度數(shù)據(jù)下的極點遺漏問題，并具有更強的抗噪性。圖6(a)為60°入射角時，單角度下矩陣束的極點提取結果，是典型的極點遺漏情況；圖6(b)為不加噪聲時的多角度矩陣束合成結果；圖6(c)為加入10 dB高斯白噪聲下多角度聯(lián)合矩陣束的提取結果。對比圖6(a)與圖6(b)可見，聯(lián)合矩陣束算法克服了單角度下的極點遺漏問題。對比圖6(c)中各個單角度下的極點結果與多角度聯(lián)合矩陣束結果可以看出，聯(lián)合矩陣束結果與理論值基本一致，有更高的抗噪性。

(a)單角度矩陣束的極點提取結果

(b)無噪聲下的多角度聯(lián)合估計結果

(c)10 dB噪聲下的多角度聯(lián)合估計結果

4.4.2復雜目標的極點估計結果

由于復雜目標無法獲得其極點的理論分布，因此只將本文方法與單一角度下矩陣束的估計方法作為對比。將所有角度下的后時響應信號融合計算某小衛(wèi)星的極點分布，結果如圖7所示，可見多角度聯(lián)合矩陣束估計算法可以獲得有限的主要極點，同時濾出大部分的虛假極點。

圖7 某小衛(wèi)星的極點提取結果Fig.7 Pole extraction result of a small satellite

4.4.3與其他算法對比分析

以細桿為例，對比本文算法與最小二乘矩陣束法，結果如表1所示，可見與最小二乘矩陣相比本文算法精度更高。

表1 不同方法結果對比Tab.1 Comparison among different methods

5 結 論

本文研究了從雷達目標的頻域掃頻觀測數(shù)據(jù)中估計復雜目標極點問題。通過頻域加窗和時域截斷相結合的方法預處理后時響應信號，抑制了旁瓣泄露。采用多角度聯(lián)合矩陣束法有效減少了傳統(tǒng)矩陣束法的虛假極點。分別用細桿和小衛(wèi)星兩種雷達目標電磁計算數(shù)據(jù)驗證，結果表明，預處理有效降低了虛假極點的數(shù)量；聯(lián)合矩陣束法克服了經(jīng)典矩陣束法在單角度下的缺陷，具有更高的精度，并且在10 dB噪聲下依舊適用。下一步的工作是目標建庫和應用極點進行特征識別。