一種自適應(yīng)閾值選擇的寬帶壓縮頻譜感知重構(gòu)算法

劉 洋 任清華,2 孟慶微 徐兵政

(1. 空軍工程大學(xué)信息與導(dǎo)航學(xué)院，陜西西安 710077；2. 中國(guó)電子科技集團(tuán)航天信息應(yīng)用技術(shù)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，河北石家莊 050081)

1 引言

隨著信息技術(shù)的不斷發(fā)展，龐大的數(shù)據(jù)和信息量對(duì)信號(hào)帶寬的要求越來越高，認(rèn)知無線電基于傳統(tǒng)奈奎斯特采樣定律的寬帶頻譜感知技術(shù)使硬件設(shè)備越來越難以承受因高速采樣而帶來的載荷，針對(duì)這一問題，基于壓縮感知[1-2](Compressed Sensing，CS)理論的認(rèn)知無線電寬帶頻譜感知技術(shù)，即寬帶壓縮頻譜感知，已成為解決寬帶信號(hào)采樣、壓縮與恢復(fù)問題新的思路和重要手段，于此同時(shí)，寬帶壓縮頻譜感知重構(gòu)算法在恢復(fù)信號(hào)時(shí)很難獲取信號(hào)的先驗(yàn)知識(shí)，因此，對(duì)重構(gòu)算法進(jìn)行盲稀疏度研究改進(jìn)對(duì)于認(rèn)知無線電寬帶壓縮頻譜感知而言顯得尤為重要。

目前，基于壓縮感知理論的寬帶頻譜感知技術(shù)已成為研究熱點(diǎn)。Tian等[3]首先提出并驗(yàn)證了寬帶壓縮頻譜感知的有效性；之后Tian等[4]又提出了一種基于循環(huán)檢測(cè)的寬帶壓縮頻譜感知算法；文獻(xiàn)[5]提出了一種調(diào)制寬帶轉(zhuǎn)換器(Modulated Wideband Converter，MWC)采樣方法，能夠以遠(yuǎn)低于奈奎斯特采樣率對(duì)寬帶信號(hào)進(jìn)行采樣；文獻(xiàn)[6]利用壓縮感知中的重構(gòu)算法對(duì)壓縮后的測(cè)量數(shù)據(jù)進(jìn)行信號(hào)恢復(fù)，得到信號(hào)的功率譜實(shí)現(xiàn)寬帶頻譜感知。然而，以上算法都需要已知信號(hào)稀疏度作為先驗(yàn)知識(shí)。文獻(xiàn)[7]通過模擬仿真實(shí)驗(yàn)完成了對(duì)頻譜稀疏度的估計(jì)，但是必須重構(gòu)出原始信號(hào)才能完成頻譜估計(jì)，且對(duì)頻譜稀疏度估計(jì)的理論分析不足；文獻(xiàn)[8]利用隨機(jī)矩陣?yán)碚摲治龃郎y(cè)信號(hào)協(xié)方差矩陣的特征值對(duì)稀疏度進(jìn)行估計(jì)，但是該方法應(yīng)用的前提是頻譜具有明顯的稀疏性，當(dāng)主用戶占用大量子信道時(shí)，該方法性能不理想；文獻(xiàn)[9]針對(duì)頻譜非稀疏的情況，通過引入導(dǎo)頻信號(hào)實(shí)現(xiàn)對(duì)頻譜的估計(jì)，然而主用戶的信噪比在一定程度上會(huì)受導(dǎo)頻信號(hào)的影響。

重構(gòu)算法作為壓縮感知理論的關(guān)鍵技術(shù)，其性能直接影響寬帶壓縮頻譜感知的結(jié)果，其中貪婪算法由于結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單、運(yùn)算量小以及重構(gòu)精度高等特點(diǎn)而廣泛應(yīng)用于寬帶頻譜感知的問題中。針對(duì)貪婪算法在未知信號(hào)稀疏度、環(huán)境噪聲能量等先驗(yàn)知識(shí)的條件下重構(gòu)效果不理想的問題，本文對(duì)StOMP算法主要進(jìn)行兩個(gè)方面的改進(jìn)：(1)將環(huán)境噪聲包絡(luò)服從瑞利分布的特性與StOMP算法的迭代殘差相結(jié)合，使得原子選擇判決門限自適應(yīng)化，無需依靠經(jīng)驗(yàn)提前設(shè)定判決閾值；(2)利用殘差比閾值對(duì)StOMP算法的迭代終止條件進(jìn)行修正，實(shí)現(xiàn)重構(gòu)算法的盲停止。

2 基于CS理論的寬帶頻譜感知模型

壓縮感知理論應(yīng)用的前提是信號(hào)具有稀疏特性或近似稀疏特性，設(shè)認(rèn)知用戶的檢測(cè)帶寬為B，將它均勻劃分為N個(gè)子頻帶，這N個(gè)頻帶互不重疊。主用戶可以隨意占用這些子頻帶，對(duì)于未被占用的子頻帶 ，它們的功率譜密度(Power Spectrum Density，PSD)接近于零，因此PSD在頻域上表現(xiàn)有一定的稀疏特性[10]。

設(shè)待檢測(cè)的寬帶信號(hào)為x(t)，它可以表示為:

(1)

式中αi表示第i個(gè)子頻帶的幅值，fi表示第i個(gè)子頻帶的中心頻率，n(t)表示信號(hào)所處環(huán)境的噪聲和，在一定信噪比條件下，可以近似為零。由于本文主要研究的是頻域稀疏信號(hào)，因此將信號(hào)x(t)表示到頻域得

s=F·x

x=Finvs

(2)

F為離散傅里葉變換基矩陣，F(xiàn)inv為離散逆傅里葉變換基矩陣，向量s為x的頻譜，s中只有K個(gè)系數(shù)不為零(K

y=ΦFinvs=As

(3)

y為M×1維觀測(cè)向量(M?N)，Φ為一個(gè)與稀疏變換基不相關(guān)的M×N維測(cè)量矩陣，A為M×N維傳感矩陣，需要滿足約束等距特性(Restricted Isolated Property，RIP)和非相關(guān)性等條件才能實(shí)現(xiàn)信號(hào)的重構(gòu)。

對(duì)于式(3)的求解，可以通過求解基于l0范數(shù)最小化的問題完成對(duì)信號(hào)的恢復(fù)。

s.t.y=As

(4)

此方法求得的解是最優(yōu)解，但由于M

通過以上對(duì)寬帶頻譜的壓縮采樣與恢復(fù)，本文構(gòu)建寬帶壓縮頻譜感知模型，如圖1所示。

圖1 寬帶壓縮頻譜感知模型Fig.1 Broadband compressed spectrum sensing model

3 StOMP算法分析

StOMP算法是對(duì)OMP算法的一種改進(jìn)策略，針對(duì)OMP算法每次迭代時(shí)只選擇一個(gè)原子而使循環(huán)次數(shù)過大的問題，StOMP算法的改進(jìn)思路是設(shè)定一個(gè)門限，每次迭代更新子坐標(biāo)集時(shí)選擇幅值大于該門限所對(duì)應(yīng)原子的坐標(biāo)，簡(jiǎn)化了OMP算法的循環(huán)迭代次數(shù)，提高了運(yùn)行速度，適合解決大規(guī)模數(shù)據(jù)重構(gòu)問題。

StOMP算法的流程如下：

輸入：觀測(cè)矩陣Φ，測(cè)量值y，最大迭代次數(shù)T，閾值τ。

(1)初始化。殘差向量r0=y，索引集Λ=?，子坐標(biāo)集J=?，迭代計(jì)數(shù)t=1。

(3)更新支撐集ΦΛ，其中，Λ=Λ∪J。

從上述算法流程可以看出，StOMP算法主要存在以下兩方面的不足：

1)在選擇原子時(shí)，原子選擇判決門限中的閾值參數(shù)τ往往依靠經(jīng)驗(yàn)來決定，一旦設(shè)定便無法調(diào)整，這存在一定的局限性，并且閾值τ設(shè)置的合理與否將會(huì)對(duì)算法最終的重構(gòu)性能產(chǎn)生很大的影響。另外，判決門限中的‖r‖2中有一部分能量屬于噪聲能量，在較低信噪比環(huán)境下噪聲能量將占據(jù)殘差能量的絕大部分，因此判決門限值的大小往往具有不確定性，判決門限過高，迭代難以停止，判決門限過低，則可能大量選入無用原子，嚴(yán)重影響重構(gòu)質(zhì)量。

2)在迭代終止條件方面，StOMP算法依據(jù)是否達(dá)到最大迭代次數(shù)T或者殘差能量是否小于閾值ε來判定。然而，最大迭代次數(shù)的依據(jù)是信號(hào)的稀疏度，而能量閾值往往依據(jù)的是信噪比，無論稀疏度還是信噪比，這類先驗(yàn)知識(shí)在實(shí)際環(huán)境中很難直接獲得，因此，StOMP算法的迭代終止條件存在一定局限。

針對(duì)上述的不足，本文提出了ATO-IStOMP算法。

4 ATO-IStOMP算法

目前國(guó)內(nèi)外研究學(xué)者在改進(jìn)貪婪類算法上所做的主要工作有兩大類：一類是針對(duì)重構(gòu)算法在低信噪比環(huán)境下重構(gòu)效果不佳的問題而對(duì)重構(gòu)算法進(jìn)行去噪或抗噪的改進(jìn)，例如文獻(xiàn)[12]針對(duì)噪聲折疊現(xiàn)象對(duì)重構(gòu)算法的影響，提出了一種基于選擇性測(cè)量的去噪重構(gòu)算法(denoising OMP)，明顯改善了重構(gòu)算法在低信噪比下的重構(gòu)性能，然而該算法沒有實(shí)現(xiàn)在未知稀疏度條件下的盲重構(gòu)，因此使用范圍受限；另一類是針對(duì)重構(gòu)算法在未知稀疏度或信噪比等先驗(yàn)知識(shí)情況下重構(gòu)性能不佳的問題而對(duì)重構(gòu)算法進(jìn)行的“盲改進(jìn)”，稀疏度自適應(yīng)匹配追蹤(Sparsity Adaptive Matching Pursuit, SAMP)算法[13]的提出代表重構(gòu)算法能夠在盲稀疏度條件下實(shí)現(xiàn)信號(hào)重構(gòu)，但是其迭代終止條件中閾值的設(shè)置需要信噪比作為先驗(yàn)知識(shí)，而實(shí)際環(huán)境中信噪比往往未知，因此應(yīng)用范圍受限；針對(duì)這一問題，文獻(xiàn)[14]通過引入殘差比閾值修正了SAMP算法的迭代終止條件，實(shí)現(xiàn)了信噪比較低且未知環(huán)境下的精確重構(gòu)，但是在步長(zhǎng)的選取對(duì)最終重構(gòu)精度的影響方面分析不足；文獻(xiàn)[15]提出了一種近似梯度下降算法，該算法通過逐步迭代逼近的方式以求得方程的最優(yōu)解，進(jìn)而恢復(fù)原始信號(hào)，但是該算法沒有對(duì)信號(hào)的稀疏度進(jìn)行估計(jì)，而是借用Beck等人提出的快速收縮閾值算法來確定稀疏度與信號(hào)誤差之間的權(quán)值，對(duì)于重構(gòu)過程中適應(yīng)性問題的研究有待進(jìn)一步加強(qiáng)。針對(duì)上述問題，本文從判決門限和迭代停止條件兩個(gè)方面對(duì)StOMP算法進(jìn)行改進(jìn)，提出了一種ATO-IStOMP算法。

4.1 原子選擇判決門限改進(jìn)思想

目前傳輸系統(tǒng)通常是在較低信噪比的環(huán)境下進(jìn)行頻譜感知和數(shù)據(jù)傳輸?shù)模腋兄h(huán)境的噪聲通常為高斯加性白噪聲，噪聲包絡(luò)服從瑞利分布，其概率密度函數(shù)為

(5)

由

(6)

得ρ的概率分布函數(shù)

(7)

式中ρ表示噪聲包絡(luò)，σn表示噪聲標(biāo)準(zhǔn)差。文獻(xiàn)[16]證明了如果變量z服從瑞利分布，則其中值Z滿足

(8)

則

(9)

所以

(10)

式中|ni|表示噪聲序列n第i個(gè)元素的包絡(luò)，median(x)是對(duì)數(shù)列x求中值運(yùn)算。文獻(xiàn)[17]首次提出通過設(shè)置適當(dāng)?shù)拈T限來實(shí)現(xiàn)去噪過程。文獻(xiàn)[18]將這一思想應(yīng)用到了壓縮感知信道估計(jì)的恢復(fù)算法中，給出了門限設(shè)定準(zhǔn)則

(11)

式中α為可調(diào)參數(shù)，R為信道的抽頭時(shí)延個(gè)數(shù)。

由于壓縮感知貪婪類算法每次迭代的殘差能量一部分來自于噪聲，特別是當(dāng)信噪比較低時(shí)殘差的大部分能量來自于噪聲，由此認(rèn)為迭代殘差的幅值近似服從噪聲分布特性，可將噪聲分布特性與迭代殘差相結(jié)合，對(duì)StOMP算法的原子選擇判決門限進(jìn)行修正。式(11)、(12)可以表示為

(12)

(13)

式中|ri|為殘差向量第i個(gè)分量的幅值，N為待恢復(fù)信號(hào)的長(zhǎng)度，α為可調(diào)參數(shù)，取值范圍為[0.5,2]，與信噪比等先驗(yàn)知識(shí)無關(guān)。修正后的判決門限優(yōu)點(diǎn)有：(1)無需根據(jù)經(jīng)驗(yàn)提前設(shè)定閾值；(2)修正后的判決門限根據(jù)感知環(huán)境中的噪聲能量進(jìn)行自適應(yīng)調(diào)整，能夠起到較好的抗噪效果，增強(qiáng)算法本身的魯棒性。

4.2 迭代終止條件的修正

根據(jù)上一節(jié)StOMP算法的流程可以看出，最大迭代次數(shù)T的設(shè)定需要預(yù)知信號(hào)的稀疏度，迭代終止閾值ε的確定依據(jù)的是噪聲能量，不足之處在于：

(1)當(dāng)信號(hào)稀疏度和信噪比未知時(shí)，T和ε很難準(zhǔn)確設(shè)定，而這兩個(gè)參數(shù)的設(shè)定準(zhǔn)確與否將直接影響算法的重構(gòu)精度。

(2)在低信噪比環(huán)境下，‖r‖2的能量基本逼近噪聲能量，不會(huì)隨迭代次數(shù)的增加而明顯降低，即迭代到一定次數(shù)以后，‖rt-1‖2與‖rt‖2基本不變，如果閾值ε設(shè)定的不準(zhǔn)確，可能會(huì)造成StOMP算法難以終止，嚴(yán)重影響重構(gòu)精度。

文獻(xiàn)[19]針對(duì)傳統(tǒng)迭代終止條件的不足，即迭代殘差能量小于某個(gè)固定閾值。利用殘差比閾值對(duì)SAMP算法的迭代終止條件進(jìn)行修正。使得改進(jìn)后算法的重構(gòu)性能提高。

首先，在低信噪比條件下的測(cè)量值y可以分解為

(14)

(15)

(16)

(17)

由于寬帶頻譜感知往往是在低信噪比環(huán)境下進(jìn)行的，并且在實(shí)際的工程應(yīng)用中，感知環(huán)境的噪聲能量特性無法提前獲得。由此可以得出殘差比閾值迭代終止條件適合于本文所研究的頻譜感知場(chǎng)景，因此將其引入到StOMP算法的迭代終止條件中。

4.3 ATO-IStOMP算法介紹

4.1和4.2小節(jié)分別對(duì)StOMP算法的原子選擇判決門限和迭代終止條件進(jìn)行了改進(jìn)，現(xiàn)將ATO-IStOMP算法的流程介紹如下。

輸入：觀測(cè)矩陣Φ，測(cè)量值y。

(1) 初始化。殘差向量r0=y，索引集Λ=?，子坐標(biāo)集J=?，迭代計(jì)數(shù)t=1。

(3) 更新支撐集ΦΛ，其中，Λ=Λ∪J。

由以上流程可以看出，ATO-IStOMP算法不需要信號(hào)稀疏度和信噪比等先驗(yàn)知識(shí)，而是根據(jù)每次迭代殘差向量的分布情況進(jìn)行原子自適應(yīng)選擇，并且通過殘差比閾值迭代終止條件實(shí)現(xiàn)了該算法的盲停止，在低信噪比環(huán)境下有良好的重構(gòu)性能。

5 仿真分析

仿真技術(shù)平臺(tái)為Pentium(R) Dual-Core (3.06 GHz) CPU、2G內(nèi)存的PC機(jī)，所有實(shí)驗(yàn)均在Matlab 2014a環(huán)境下進(jìn)行，下面分別從預(yù)設(shè)參數(shù)α對(duì)重構(gòu)算法的影響、寬帶頻譜的重構(gòu)效果、重構(gòu)概率和重構(gòu)精度四個(gè)方面對(duì)ATO-IStOMP算法進(jìn)行分析。

5.1 預(yù)設(shè)參數(shù)α對(duì)算法重構(gòu)性能影響分析

首先分析在無噪條件下參數(shù)α對(duì)算法重構(gòu)概率的影響。選取α的變化范圍為0.3～0.7，間隔為0.1，待測(cè)信號(hào)長(zhǎng)度N為256，測(cè)量維度M=128，觀測(cè)矩陣為M×N維高斯隨機(jī)觀測(cè)矩陣，稀疏度變化范圍為5～70，間隔為2，針對(duì)每個(gè)稀疏度進(jìn)行蒙特卡洛仿真1000次，取均值，仿真結(jié)果如圖2所示。

圖2 無噪條件下不同參數(shù)對(duì)重構(gòu)算法的影響Fig.2 Comparison of reconstruction probability of algorithm under different parameters under no-noise condition

圖2所表示的是ATO-IStOMP算法在不同參數(shù)α下重構(gòu)概率隨稀疏度變化而變化的對(duì)比示意圖，由圖可知，α在0.3～0.7范圍內(nèi)變化時(shí)對(duì)ATO-IStOMP算法的重構(gòu)性能影響不大，當(dāng)信號(hào)稀疏度在5～35范圍內(nèi)時(shí)，ATO-IStOMP算法在各個(gè)參數(shù)值α下均能以100%的概率重構(gòu)原始信號(hào)，當(dāng)信號(hào)稀疏度大于35時(shí)，ATO-IStOMP算法的重構(gòu)概率在各個(gè)參數(shù)下均有不同程度下降，其中ATO-IStOMP算法的參數(shù)為0.3或0.7時(shí)，其重構(gòu)性能略微低于算法在參數(shù)0.4～0.6范圍變化時(shí)的重構(gòu)性能，原因在于如果參數(shù)α過低或過高，將導(dǎo)致原子選擇判決門限過低或過高，從而影響候選集原子質(zhì)量，進(jìn)而影響到最終的重構(gòu)性能。

當(dāng)環(huán)境中存在噪聲時(shí)，由于在有噪條件下迭代殘差的能量較無噪時(shí)大，所以每次迭代時(shí)殘差與觀測(cè)矩陣各列的相關(guān)系數(shù)也會(huì)隨之受到影響，這時(shí)需要調(diào)整ATO-IStOMP算法中的預(yù)設(shè)參數(shù)α的變化范圍為1.7～2.1，稀疏度取15，信噪比變化范圍為-3～20 dB，針對(duì)每個(gè)信噪比進(jìn)行蒙特卡洛仿真1000次，取均值，其余條件不變。仿真結(jié)果如圖3所示。

圖3 有噪條件下不同參數(shù)對(duì)重構(gòu)算法的影響Fig.3 Influence of different parameters on reconstruction algorithm under noisy conditions

圖3表示的是有噪條件下當(dāng)參數(shù)α在1.7～2.1范圍內(nèi)變化時(shí)對(duì)重構(gòu)算法性能的影響。由圖可知，α在1.7～2.1的范圍內(nèi)變化對(duì)ATO-IStOMP算法的重構(gòu)性能影響較弱，當(dāng)信噪比為-3～0 dB時(shí)，ATO-IStOMP算法在參數(shù)值α為1.7或2.1條件下的重構(gòu)性能略微低于在參數(shù)值1.8～2.0范圍內(nèi)的重構(gòu)性能，原因在于ATO-IStOMP算法在參數(shù)值α為1.7或2.1條件下會(huì)導(dǎo)致原子判決門限稍微偏低或偏高，信噪比較低時(shí)，環(huán)境噪聲能量較高，這樣可能會(huì)誤將能量較高的噪聲當(dāng)作有用原子選入候選集，進(jìn)而影響重構(gòu)性能；當(dāng)信噪比大于1 dB時(shí)，參數(shù)α在1.7～2.1范圍內(nèi)變化對(duì)ATO-IStOMP算法的重構(gòu)性能基本沒有影響。

總之，ATO-IStOMP算法的優(yōu)勢(shì)在于不需要知道信號(hào)的稀疏度以及環(huán)境噪聲能量等先驗(yàn)信息，而判決門限參數(shù)α是一個(gè)相對(duì)確定的預(yù)設(shè)參數(shù)，當(dāng)重構(gòu)環(huán)境無噪聲時(shí)，α只需在0.5左右的范圍內(nèi)取值即可，當(dāng)重構(gòu)環(huán)境有噪聲時(shí)，α只需在1.9左右的范圍內(nèi)取值即可，與信號(hào)和環(huán)境具體的先驗(yàn)知識(shí)無關(guān)。

5.2 重構(gòu)效果分析

本次實(shí)驗(yàn)待檢測(cè)信號(hào)長(zhǎng)度N為256，稀疏度為25，測(cè)量維度M=128，觀測(cè)矩陣為M×N維高斯隨機(jī)觀測(cè)矩陣，參數(shù)α取0.5，閾值θ取0.25。仿真結(jié)果如圖4所示。

圖4 ATO-IStOMP算法恢復(fù)結(jié)果Fig.4 ATO-IStOMP algorithm recovery result

由圖4可以看出，ATO-IStOMP算法在未知信號(hào)稀疏度條件下無論是在頻點(diǎn)方面還是在信號(hào)幅值方面都能夠?qū)崿F(xiàn)信號(hào)的精確重構(gòu)，一定程度上說明了本文提出ATO-IStOMP算法的可行性。

5.3 重構(gòu)概率分析

為了分析比較ATO-IStOMP算法的重構(gòu)概率性能，選取OMP、StOMP、GOMP[20]算法與其進(jìn)行比較。首先比較各個(gè)算法在無噪條件下的重構(gòu)概率，稀疏度變化范圍為5～70，間隔為2，針對(duì)每個(gè)稀疏度進(jìn)行蒙特卡洛仿真1000次，取均值，其余仿真條件不變，仿真結(jié)果如圖5所示。

圖5 無噪條件下各算法重構(gòu)概率對(duì)比Fig.5 Comparison of reconstruction probability of each algorithm under no-noise conditions

圖5給出了各算法在無噪條件下重構(gòu)信號(hào)的仿真結(jié)果，由圖可知，各個(gè)算法的重構(gòu)概率隨著稀疏度的增大而降低，這是由于稀疏度越大，信號(hào)內(nèi)包含的信息量越大，重構(gòu)信號(hào)時(shí)需要觀測(cè)矩陣的原子個(gè)數(shù)越多，然而觀測(cè)矩陣中的原子是固定的，因此當(dāng)稀疏度較大時(shí)有限的原子組合種類能夠表示信號(hào)的可能性就較小。當(dāng)稀疏度在20以下時(shí)，各算法均能以100%的概率精準(zhǔn)恢復(fù)信號(hào)；稀疏度在25～43時(shí)，OMP和StOMP算法的重構(gòu)性能開始緩慢下降，當(dāng)稀疏度為43時(shí)，OMP算法的重構(gòu)概率為34.9%，StOMP算法的重構(gòu)概率為70.2%，兩者都無法滿足重構(gòu)需求，信號(hào)基本失真； GOMP是對(duì)OMP算法的一種改進(jìn)算法，在每次迭代過程中選擇多個(gè)原子，使得迭代效率提高，因此在無噪條件下的重構(gòu)性能優(yōu)于OMP算法，然而隨著信號(hào)稀疏度的增加，GOMP算法難免由于選入過多原子從而造成原子候選集冗余，影響重構(gòu)性能，因此ATO-IStOMP算法的重構(gòu)概率曲線優(yōu)于GOMP算法。

在實(shí)際的工程應(yīng)用中信號(hào)往往伴隨著噪聲，下面對(duì)各算法在有噪條件下的重構(gòu)概率進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn)，信噪比變化范圍為-3～20 dB, 針對(duì)每個(gè)信噪比蒙特卡洛仿真1000次，取均值，信號(hào)稀疏度設(shè)為15，原子判決門限參數(shù)α為1.9，其余條件不變，實(shí)驗(yàn)結(jié)果如圖6、圖7所示。

圖6 信噪比為2 dB時(shí)各算法重構(gòu)概率對(duì)比Fig.6 Comparison of the reconstruction probability of each algorithm when the SNR is 2dB

圖6給出了不同算法在信噪比為2 dB環(huán)境下重構(gòu)概率隨稀疏度的變化而變化的規(guī)律，由圖5和圖6可知，不同算法的重構(gòu)性能在低信噪比環(huán)境下均受到噪聲的影響，這是由于重構(gòu)算法對(duì)噪聲比較敏感，在恢復(fù)信號(hào)的過程中會(huì)將某些噪聲能量較高的頻點(diǎn)當(dāng)作信號(hào)來恢復(fù)，導(dǎo)致恢復(fù)的信號(hào)存在一定誤差。同時(shí)可以看出，在較低信噪比環(huán)境下ATO-IStOMP算法的重構(gòu)概率曲線優(yōu)于其他算法的曲線，原因是當(dāng)信噪比較低時(shí)，通過增大參數(shù)α可以提高ATO-IStOMP算法自適應(yīng)門限的魯棒特性，能夠更好地利用殘差向量幅值類似于噪聲分布的特性進(jìn)行原子的自適應(yīng)選擇，起到了良好的去噪效果，同時(shí)ATO-IStOMP算法的殘差比閾值迭代終止條件也具有良好的抗噪聲性能。

圖7 各算法在不同信噪比下的重構(gòu)概率對(duì)比Fig.7 Comparison of the reconstruction probabilities of different algorithms at different SNR

由圖7可知，不同算法的重構(gòu)概率隨信噪比的增大而提高，原因是信噪比越高，信號(hào)中各噪聲頻點(diǎn)能量越小，重構(gòu)算法受噪聲影響越小，重構(gòu)性能越好。ATO-IStOMP算法的重構(gòu)概率曲線優(yōu)于其他算法，當(dāng)信噪比為3 dB時(shí)，OMP、StOMP、GOMP算法的重構(gòu)概率均低于90%，信號(hào)恢復(fù)效果不理想，ATO-IStOMP算法的重構(gòu)概率接近95%，信號(hào)恢復(fù)效果較好。

5.4 重構(gòu)精度分析

為了分析ATO-IStOMP算法在較低信噪比環(huán)境下的重構(gòu)精度，選取均方誤差(Mean Square Error，MSE)作為分析指標(biāo):

(18)

待檢測(cè)信號(hào)稀疏度為15，信噪比變化范圍為-3～12 dB, 其余仿真條件與5.3節(jié)有噪情況下的一致，仿真結(jié)果如圖8所示。

圖8給出了不同算法在低信噪比環(huán)境下重構(gòu)信號(hào)的均方誤差對(duì)比情況，從圖中可以看出，各算法的重構(gòu)誤差隨著信噪比的增加而降低。其中ATO-IStOMP算法的重構(gòu)均方誤差低于StOMP算法，這是由于前者從原子選擇判決門限和迭代終止條件兩個(gè)方面對(duì)后者進(jìn)行了去噪改進(jìn)，增強(qiáng)了后者的抗噪聲性能，因此前者在低信噪比下的重構(gòu)精度高于后者。StOMP算法是對(duì)OMP算法的一種改進(jìn)，每次迭代選擇多個(gè)原子而不是選擇一個(gè)原子，簡(jiǎn)化了OMP算法的迭代過程，但這種改進(jìn)策略是以降低恢復(fù)精度為代價(jià)的。經(jīng)計(jì)算，在重構(gòu)均方誤差為10-3時(shí)，ATO-IStOMP算法相比于OMP算法信噪比改善約0.6 dB, OMP算法相比于StOMP算法信噪比改善約1 dB。

圖8 不同算法在低信噪比環(huán)境下的重構(gòu)精度對(duì)比Fig.8 Comparison of reconstruction accuracy of different algorithms in low SNR environment

6 結(jié)論

通過理論研究和仿真實(shí)驗(yàn)表明，本文利用殘差比閾值迭代終止條件使ATO-IStOMP算法能夠在盲稀疏度條件下較為精準(zhǔn)地恢復(fù)信號(hào)頻譜，而自適應(yīng)判決門限使得ATO-IStOMP算法在低信噪比條件下的重構(gòu)性能相比于其他算法有較為顯著的提升，通過以上兩個(gè)方面的改進(jìn)，ATO-IStOMP算法適用于低信噪比、盲稀疏度條件下的頻譜重構(gòu)。