“化整為零”在概率論教學(xué)中的應(yīng)用

王曉

摘要：本文淺談如何將“化整為零”的思想方法巧妙地融入概率論課程教學(xué)中，特別是在學(xué)習(xí)全概率公式以及隨機(jī)變量分布函數(shù)這兩個(gè)重要知識(shí)點(diǎn)過(guò)程中，同時(shí)強(qiáng)調(diào)該思想方法在該門(mén)課程中的重要性。

關(guān)鍵詞：全概率公式；分布函數(shù)；離散型隨機(jī)變量；連續(xù)型隨機(jī)變量

中圖分類(lèi)號(hào)：G642.41 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A 文章編號(hào)：1674-9324（2018）26-0214-02

一、引言

笛卡爾在《方法論》[1]一書(shū)中指出對(duì)于復(fù)雜的問(wèn)題，盡量分解為多個(gè)小問(wèn)題來(lái)研究，一個(gè)一個(gè)解決，直至解決復(fù)雜問(wèn)題，這就是“化整為零”的思想以及分析技巧。在概率論學(xué)習(xí)過(guò)程中，存在一些比較困難、難以掌握的問(wèn)題，其中，全概率公式以及隨機(jī)變量分布函數(shù)的確定一直是概率論課程教學(xué)中的重點(diǎn)和難點(diǎn)，學(xué)生們通常理解不到位。在全概率公式和隨機(jī)變量分布函數(shù)的教學(xué)過(guò)程中，引入“化整為零”思維，也就是先了解整體，再把整體分割成部分，通過(guò)各部分問(wèn)題的解決，最后解決整體問(wèn)題的思想，向?qū)W生滲透“化整為零”的思想方法，有助于解決復(fù)雜的問(wèn)題，方便學(xué)生掌握全概率公式以及隨機(jī)變量分布函數(shù)。同時(shí)，提高學(xué)生對(duì)知識(shí)的應(yīng)用能力，碰到復(fù)雜問(wèn)題不會(huì)有那種無(wú)從入手的感覺(jué)，從而促進(jìn)概率論課程的教學(xué)質(zhì)量的提高，而且培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)品質(zhì)與數(shù)學(xué)思維。

二、全概率公式

定義2.1[2]：設(shè)隨機(jī)試驗(yàn)E的樣本空間為Ω，A1，A2，…，An，…為E的一組事件，且滿(mǎn)足：

（1）互不相容性：AiAj=？堙，i≠j，i，j=1，2，…；

（2）完全性： A =Ω；

（3）非負(fù)性：P（A ）>0；

那么對(duì)于E的任一事件B，有：

P（B）= P（A ）P（B|A ）. （1）

通常稱(chēng)公式（1）為全概率公式。全概率公式借助樣本空間Ω的一種劃分A1，A2，…，An，…，把一個(gè)復(fù)雜事件B分解成若干個(gè)互不相容的事件BA1，BA2，…，BAn，…，然后借助概率的加法公式，最后每一小事件BAi的概率由概率的乘法公式給出。顯然：這些互不相容的事件BAi可以看作是組成個(gè)復(fù)雜事件B的各個(gè)小部分，當(dāng)每小部分的概率計(jì)算問(wèn)題解決了，整個(gè)問(wèn)題進(jìn)而解決。

這里，全概率公式采用“化整為零”的數(shù)學(xué)思維，在復(fù)雜的事件中把一個(gè)個(gè)小的知識(shí)點(diǎn)抽取出來(lái)，逐個(gè)一一突破，從而使復(fù)雜的問(wèn)題輕而易舉地解決，并且使解決問(wèn)題的過(guò)程的條理也比較清晰。

三、隨機(jī)變量的分布函數(shù)

定義3.1[3]：設(shè)X是一個(gè)隨機(jī)變量，稱(chēng)

F（x）=P{X≤x}

為X的分布函數(shù)。

定義3.2[3]：一維離散型隨機(jī)變量X的概率分布為：

此時(shí)，X的分布函數(shù)為：

F（x）=P{X≤x}= p . （2）

定義3.3[3]：二維離散型隨機(jī)變量（X，Y）的概率分布為：

此時(shí)，（X，Y）聯(lián)合分布函數(shù)為：

F（x，y）=P{X≤x，Y≤y}= p . （3）

由公式（2-3），不難發(fā)現(xiàn)：對(duì)于離散型隨機(jī)變量，在計(jì)算其分布函數(shù)時(shí)，采用“化整為零”思想，首先尋找滿(mǎn)足一定條件的pi或者pij，然后進(jìn)行求和，最終給出分布函數(shù)的表達(dá)式。

此外，對(duì)于帶有概率密度函數(shù)f（x）的一維連續(xù)型隨機(jī)變量X的分布函數(shù)為：

F（x）=P{X≤x}= f（t）dt. （4）

對(duì)于二維連續(xù)型隨機(jī)變量（X，Y），當(dāng)其密度函數(shù)為f（x，y）時(shí)，其分布函數(shù)為：

F（x，y）=P{X≤x，Y≤y}= f（s，t）dsdt. （5）

由公式（4-5），不難發(fā)現(xiàn)：對(duì)于連續(xù)型隨機(jī)變量分布函數(shù)的計(jì)算，仍然采用“化整為零”思想，首先尋找滿(mǎn)足一定條件的f（x）或者f（x，y），然后進(jìn)行積分，最終給出分布函數(shù)的表達(dá)式。

通過(guò)分析全概率公式以及分布函數(shù)，我們發(fā)現(xiàn)，概率論中某些知識(shí)點(diǎn)，雖然其表面形式很復(fù)雜，但是其本質(zhì)總是存在簡(jiǎn)單的一面，教學(xué)過(guò)程中引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)真觀察、分析問(wèn)題，找到問(wèn)題的本質(zhì)特征，尋求簡(jiǎn)潔解法和思路。在概率論教學(xué)中向?qū)W生們滲透“化整為零”的思想方法，不僅僅是為了解決一個(gè)或若干個(gè)具體問(wèn)題，更重要的是培養(yǎng)學(xué)生的思維能力和推理能力。同時(shí)，培養(yǎng)學(xué)生在今后的實(shí)際生活中處理復(fù)雜問(wèn)題的能力。

四、結(jié)語(yǔ)

針對(duì)概率論中全概率公式以及隨機(jī)變量分布函數(shù)的計(jì)算問(wèn)題進(jìn)行研究，本文發(fā)現(xiàn)這兩個(gè)重要知識(shí)點(diǎn)采用“化整為零”的數(shù)學(xué)思維。在概率論教學(xué)過(guò)程中，將“化整為零”的思想應(yīng)用于抽象難懂枯燥的知識(shí)點(diǎn)講解中，有助于學(xué)生對(duì)該門(mén)課程知識(shí)的掌握，促進(jìn)概率論課程的教學(xué)質(zhì)量的提高，同時(shí)對(duì)于學(xué)生自學(xué)能力的培養(yǎng)有一定幫助。

參考文獻(xiàn)：

[1]笛卡爾.方法論[M].彭相基，譯.商務(wù)印書(shū)館.

[2]魏宗舒等.概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)教程[M].北京：高等教育出版社，1983.

[3]同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系編.概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)[M].北京：人民郵電出版社，2017.