引力距離為什么不能從質(zhì)心計(jì)算

金 遜

(南京市燕子磯中學(xué) 江蘇 南京 210038)

不少師生根據(jù)地面物體受力分析的經(jīng)驗(yàn)，將整體法推廣到多體的引力問題．但是，這種推廣是錯(cuò)誤的．本文結(jié)合歷史文獻(xiàn)說(shuō)明，非均勻球體的引力距離一般不能從質(zhì)心計(jì)算，多體的萬(wàn)有引力問題一般不能整體分析．

1 挖補(bǔ)問題

在高中物理教輔用書上頻頻出現(xiàn)這樣一個(gè)問題：“球體挖去一小球后對(duì)另一質(zhì)點(diǎn)的吸引力”．利用挖補(bǔ)的思路計(jì)算物體之間的萬(wàn)有引力，多種解法結(jié)果不同．

1.1 問題的描述

大球挖去小球后，求剩余部分對(duì)質(zhì)點(diǎn)的吸引力．下面是資料上一種常見的描述．

一半徑為R，質(zhì)量為M的均勻球體，其球心O與另一質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)B距離為2R，如圖1所示．

若挖去以O(shè)A的中心O1為球心、R為直徑的球體，如圖2所示,求剩余部分對(duì)質(zhì)點(diǎn)B的吸引力F0．

圖2 均勻球體內(nèi)挖去一個(gè)小球體

1.2 3種挖補(bǔ)方法

挖補(bǔ)法是基于等效替代的思想處理問題，用該法求解一些特殊物體間的作用力時(shí)，可以避開復(fù)雜的高等數(shù)學(xué)知識(shí)，僅利用中等數(shù)學(xué)就可順利求解，因此受到廣大師生的歡迎．以下3種解法均為中學(xué)階段容易想到的挖補(bǔ)法，結(jié)果各不相同，原因何在？

解法1：整體引力減去挖去部分引力

剩余部分對(duì)質(zhì)點(diǎn)B的吸引力等于，挖前整體對(duì)物體的吸引力，減去挖去部分(挖前)對(duì)物體的吸引力．設(shè)挖前整個(gè)球?qū)|(zhì)點(diǎn)B的吸引力為F，挖去部分在挖前對(duì)質(zhì)點(diǎn)B的吸引力為F1，則

F0=F-F1

(1)

根據(jù)萬(wàn)有引力定律，有

(2)

(3)

挖去部分在挖前對(duì)質(zhì)點(diǎn)B的吸引力為

(4)

把式(3)代入式(4)，得

(5)

式(2)、(5)代入式(1)，得挖去后剩余部分對(duì)質(zhì)點(diǎn)B的吸引力為

(6)

解法2：再挖去一球，利用對(duì)稱性求解

在大球的左部，與O1關(guān)于球心O點(diǎn)對(duì)稱的位置，再挖去一個(gè)同樣的小球O2，如圖3所示．設(shè)挖去小球O1，O2后，剩余部分的質(zhì)量為M1．挖去小球O2前，小球O2對(duì)質(zhì)點(diǎn)B的吸引力為F2，挖去Q1和Q2后剩余部分對(duì)質(zhì)點(diǎn)B的吸引力為F3，則題目所求即為

F0=F2+F3

(7)

把式(3)代入上式，得

(8)

圖3 解法2圖示

(9)

把式(8)、(9)代入式(7)，得挖去O1后剩余部分對(duì)質(zhì)點(diǎn)B的吸引力為

(10)

解法3：利用剩余部分的質(zhì)量和質(zhì)心距離計(jì)算

先求剩余部分的質(zhì)量和質(zhì)心位置，再把質(zhì)心距離作為引力距離，利用萬(wàn)有引力定律直接求剩余部分對(duì)質(zhì)點(diǎn)B的吸引力F0．

設(shè)剩余部分的質(zhì)量為M2，則M2=M-m1，將式(3)代入得

(11)

剩余部分的質(zhì)心應(yīng)該位于大球球心O點(diǎn)左方，設(shè)其距O點(diǎn)距離為r，如圖4所示．挖前整體的質(zhì)心應(yīng)在O點(diǎn)，根據(jù)質(zhì)心關(guān)系有

將式(3)、(11)代入上式，得

(12)

圖4 解法3圖示

剩余部分的質(zhì)心距質(zhì)點(diǎn)B的距離為r+2R，故剩余部分對(duì)質(zhì)點(diǎn)B的吸引力為

將式(11)、(12)代入上式，得

(13)

1.3 3種解法比較

3種解法得到的結(jié)果，分別是式 (6)、式(10)、式(13)．很明顯，3種解法結(jié)果各不相同．可是，它們都是從質(zhì)心計(jì)算引力的，問題出在哪里？

2 釋疑解惑

這就牽涉到萬(wàn)有引力定律的成立條件．嚴(yán)格地說(shuō)，萬(wàn)有引力定律只適用于質(zhì)點(diǎn)．對(duì)于相距較遠(yuǎn)的天體，可以看做質(zhì)點(diǎn)，距離的選取較為簡(jiǎn)單．而以上問題中兩者相距較近，不能看作質(zhì)點(diǎn)．分析它們之間的萬(wàn)有引力，距離應(yīng)該從哪里算，能不能從質(zhì)心來(lái)計(jì)算？即能否整體分析？

2.1 歷史的回顧

牛頓當(dāng)初就被距離從哪里算的問題，困擾了近20年的時(shí)間．早在1666年，牛頓就根據(jù)開普勒第三定律推出，行星圍繞太陽(yáng)運(yùn)動(dòng)所需要的力與距離的平方成反比，但是到17世紀(jì)80年代才重新提起引力定律．主要原因之一是，牛頓在分析地球?qū)υ虑蛞约暗厍驅(qū)λ砻嫖矬w的吸引力時(shí)，不能確定距離從哪里算.1685年初，情況才出現(xiàn)了轉(zhuǎn)機(jī)，牛頓用他自己開創(chuàng)的微積分證明了，地球吸引外部物體時(shí)，恰像全部的質(zhì)量集中在球心一樣．也就是說(shuō)，均勻球體對(duì)其外部物體的吸引力，可以從質(zhì)心(球心)計(jì)算距離[1]．

2.2 萬(wàn)有引力一般不能從質(zhì)心整體分析

在力學(xué)中受力分析常見的有隔離法、整體法．在都能解決問題的時(shí)候，整體法往往優(yōu)于隔離法．除均勻球體外，一般物體(或多體系統(tǒng))對(duì)其外部物體的萬(wàn)有引力是否也可以從質(zhì)心計(jì)算距離，整體分析呢？

答案是：一般不可以．上述3種解法中，第一種解法，均勻球體對(duì)其外部物體的吸引力，從質(zhì)心(球心)計(jì)算距離．這種方法從牛頓開始，經(jīng)過(guò)多次的理論推證和實(shí)踐檢驗(yàn)，證明是正確的．后兩種解法得到的結(jié)果與解法1不同，是錯(cuò)誤的．

上述3種不同的挖補(bǔ)方法，結(jié)果各不相同，這就表明：對(duì)于非均勻球體，不能認(rèn)為可以從質(zhì)心計(jì)算萬(wàn)有引力．

原因是，質(zhì)心與物體位置有關(guān)，質(zhì)心與距離遵循一次函數(shù)關(guān)系．而萬(wàn)有引力與距離是平方反比關(guān)系，兩者與距離的關(guān)系并不等價(jià)．所以，引力距離一般不能從質(zhì)心計(jì)算．均勻球體是特例．一般物體受到的萬(wàn)有引力是否可以從質(zhì)心計(jì)算，需另行證明．到底應(yīng)該從哪里計(jì)算距離，一般需要利用微積分的思想進(jìn)行具體分析．

討論重力問題的時(shí)候，為什么可以從質(zhì)心整體分析？因?yàn)樵诘厍虮砻娓浇?，重力?chǎng)可以認(rèn)為是均勻的，重力的合成與位置無(wú)關(guān)．而大尺度的引力場(chǎng)不能認(rèn)為是均勻的，引力的合成與位置有關(guān)．故，不能用重力合成的規(guī)律來(lái)類比．同理，在討論高空重力問題時(shí)，如果考慮重力加速度g隨位置的變化，一般也不能從質(zhì)心整體分析．

下述利用多個(gè)天體繞轉(zhuǎn)的實(shí)例進(jìn)一步驗(yàn)證．

3 兩物體組成系統(tǒng)(啞鈴狀物體)軸線方向受力

以下是中學(xué)常見的“啞鈴”狀系統(tǒng)．A和B兩均勻人造球體，質(zhì)量均為m，由輕質(zhì)硬桿相連，形如一個(gè)“啞鈴”，如圖5所示．A，B兩物體和中心天體C始終在一條直線上，A，B兩物體和輕桿成為C的一個(gè)衛(wèi)星．A，B分別以r1和r2為半徑繞C做圓周運(yùn)動(dòng)．中心天體C的質(zhì)量為M，不計(jì)A，B之間的萬(wàn)有引力．求此衛(wèi)星受到C的萬(wàn)有引力(資料上的試題，一般求周期．這里為方便對(duì)比，改為求引力)．

圖5 兩物體組成系統(tǒng)軸線方向受力情境圖

解法1：對(duì)衛(wèi)星(A,B兩物體組成系統(tǒng))整體分析

衛(wèi)星由A,B及輕桿組成，將其看作一個(gè)系統(tǒng)．該系統(tǒng)的質(zhì)心位于輕桿中某點(diǎn)，距C中心為

如果A,B兩物體組成系統(tǒng)受到其他物體的萬(wàn)有引力可以認(rèn)為系統(tǒng)的質(zhì)量集中于質(zhì)心，整體求解，得衛(wèi)星(A,B兩物體組成系統(tǒng))與天體C之間的萬(wàn)有引力

(14)

解法2：對(duì)A,B隔離分析

A受到C的萬(wàn)有引力

B受到C的萬(wàn)有引力

對(duì)此兩力進(jìn)行合成，得衛(wèi)星系統(tǒng)受到合力

(15)

整體分析與隔離分析，結(jié)果是否等價(jià)?

如果F≠F′，即對(duì)A,B兩物體組成系統(tǒng)整體分析與隔離分析再求合力，結(jié)果不等價(jià)．意味著求A,B系統(tǒng)受到的萬(wàn)有引力，不能認(rèn)為系統(tǒng)的質(zhì)量集中于質(zhì)心．

反之，如果F=F′，意味著A,B系統(tǒng)受到其他物體的萬(wàn)有引力，可認(rèn)為質(zhì)量集中于質(zhì)心．

由式(14)、(15)，由于r1和r2具體數(shù)值均未知，一般F≠F′．在某種特殊情況，也可能F=F′．下面，我們分析滿足何種條件會(huì)出現(xiàn)F=F′.

假設(shè)F=F′，由式(14)、(15)，知

展開，可得

即

整理，得

3r1r2(r1-r2)]=(r1-r2)2·

由于r1>0,r2>0，欲使以上成立，必

r1-r2=0

所以當(dāng)r1=r2時(shí)，F(xiàn)=F′.

即當(dāng)A,B兩物體重合時(shí)，A,B系統(tǒng)受到的萬(wàn)有引力，才能認(rèn)為質(zhì)量集中于質(zhì)心．也就是說(shuō)，正常情況下，兩物體組成系統(tǒng)(啞鈴狀物體)沿軸線方向受到其他物體的萬(wàn)有引力，不能認(rèn)為質(zhì)量集中于質(zhì)心．即兩體系統(tǒng)受其他物體的萬(wàn)有引力，一般不能整體分析．

4 三星繞轉(zhuǎn)

3顆質(zhì)量相等的行星A,B,C位于正三角形的頂點(diǎn)處，都繞三角形的中心做圓周運(yùn)動(dòng)，設(shè)每顆星的質(zhì)量均為m，相鄰兩顆星距離為L(zhǎng)，如圖6所示．每顆行星運(yùn)行所需向心力都由其余兩顆行星對(duì)其萬(wàn)有引力的合力來(lái)提供．

圖6 三星繞轉(zhuǎn)情境圖

解法1：對(duì)AB系統(tǒng)整體分析．如果把A,B兩顆星看作一個(gè)系統(tǒng)，該系統(tǒng)的質(zhì)心位于兩者連線的中點(diǎn)H．質(zhì)心與第3顆星C的距離為

r=Lsin60°

如果A,B兩物體組成系統(tǒng)對(duì)C物體的萬(wàn)有引力可以認(rèn)為系統(tǒng)的質(zhì)量集中于質(zhì)心，整體求解，得

解法2：隔離法

A,B兩物體對(duì)天體C萬(wàn)有引力的合力為

很明顯，兩者并不一致，且差距較大．也就是說(shuō)，兩物體組成的系統(tǒng)在垂直連線方向?qū)Φ谌叩娜f(wàn)有引力，不能認(rèn)為質(zhì)量集中于系統(tǒng)的質(zhì)心．

如果3個(gè)物體質(zhì)量不等，位置不對(duì)稱，或者其他更復(fù)雜的情況，亦可類似證明．

5 總結(jié)

對(duì)于其他結(jié)構(gòu)更復(fù)雜的系統(tǒng)，總可以分解為多個(gè)縱向和橫向的情況進(jìn)行類似的處理．通過(guò)對(duì)多種情況的分析，可以發(fā)現(xiàn)，幾個(gè)物體組成的系統(tǒng)，該系統(tǒng)與其他物體間的萬(wàn)有引力，通常不能認(rèn)為質(zhì)量集中于系統(tǒng)的質(zhì)心進(jìn)行整體分析，即萬(wàn)有引力的計(jì)算與質(zhì)心無(wú)關(guān)．

嚴(yán)格地說(shuō)，萬(wàn)有引力定律只適用于質(zhì)點(diǎn)．對(duì)于不能看做質(zhì)點(diǎn)的物體，一般用微積分的思想進(jìn)行分析．

均勻球體對(duì)其外部物體的吸引力，可以從質(zhì)心(球心)計(jì)算距離．此為特例．非均勻球體，對(duì)其外部物體的吸引力，一般不能從質(zhì)心(或球心)計(jì)算距離．

6 啟示

真理是相對(duì)的．原來(lái)以為很正確的東西，可能也存在一些缺陷．當(dāng)外部條件略有變化的時(shí)候，其結(jié)論未必還成立．中學(xué)階段在分析萬(wàn)有引力問題時(shí)，遇到最多的是均勻球狀天體對(duì)其他物體的吸引力，這種情況可以從質(zhì)心(球心)計(jì)算引力距離．許多師生受此影響，不加證明將該結(jié)論推廣到非均勻球體，導(dǎo)致了一些貌似合理的錯(cuò)誤．教訓(xùn)告訴我們，直覺不一定是正確的，直覺只是給我們提供了一個(gè)可能的研究方向，其是否正確需要我們作進(jìn)一步的科學(xué)分析[2]．

再比如，在力學(xué)中，經(jīng)常把物體看作質(zhì)點(diǎn),但是在熱學(xué)部分，許多情況又恰恰不能把物體看作質(zhì)點(diǎn)，需要考慮其體積的變化．這就導(dǎo)致許多人在處理相關(guān)問題時(shí)栽在了“體積”這匹黑馬上[3]．

在科學(xué)史上，類似的事情也發(fā)生過(guò)多次．比如，李政道和楊振寧獲得諾貝爾物理學(xué)獎(jiǎng)的成果是，提出“弱相互作用中宇稱不守恒”．在“李-楊”之前，人們發(fā)現(xiàn)很多情況下“宇稱守恒”，于是大家想當(dāng)然地認(rèn)為，宇稱在其他情況下也是守恒的．在“李-楊”提出“弱相互作用中宇稱不守恒”之后，吳健雄(美籍華裔)進(jìn)行了實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證，證實(shí)了“李-楊”的觀點(diǎn)．

最后，我們以吳健雄的話作為總結(jié)．“這件事給我們一個(gè)教訓(xùn)，就是永遠(yuǎn)不要把所謂‘不驗(yàn)自明’的定律視為是必然的．”