邊坡圓弧滑裂面最小安全系數(shù)的簡捷計算法

于興華，滕 凱

(1.黑龍江省水利水電集團(tuán)沖填工程有限公司,哈爾濱 150001；2.齊齊哈爾市水務(wù)局,黑龍江省齊齊哈爾 161006)

1 研究背景

邊坡穩(wěn)定分析的圓弧滑動法是Fellenius基于極限平衡理論與1936年提出的，在此之后，Bishop、Spencer及Sarma等又先后提出了各種簡化方法。由于其分析計算的過程是通過完成對多個假定滑弧面上土體條分塊的受力求和來實現(xiàn)的，因此，求解過程繁復(fù)，計算工作量大。但因該方法基本概念清楚，涉及原理簡單，實際工程應(yīng)用較久，且獲得了較好的工程檢驗效果，所以，圓弧滑動法仍然是目前作為邊坡穩(wěn)定分析的主要方法，并被納入相關(guān)設(shè)計規(guī)范[1]。為了加快尋求邊坡臨界滑裂面和最小安全系數(shù)的計算方法，相關(guān)學(xué)者開展了大量而卓有成效的研究工作，截止目前，以提出的計算方法主要有智能算法[2-7]、試算法[8-10]、圖表法[11]及解析法[12]。智能算法雖然可利用微機(jī)通過最優(yōu)化方法完成求解，但因涉及初值選取及局部最優(yōu)解問題，往往使計算可能不收斂或無真解獲得；試算法由于涉及的計算公式比較冗長，且需通過反復(fù)的逐次逼近，實際應(yīng)用繁瑣不便；圖表法雖然計算過程比較直觀，但因受圖表束縛，不便實際工作，而且由于現(xiàn)有圖表法是基于瑞典條分法所得，實際應(yīng)用誤差較大，一般為10%～20%；解析法雖然可以直接完成相關(guān)參數(shù)求解(圓心坐標(biāo)及圓弧半徑)，但因各參數(shù)及相關(guān)中間變量的表達(dá)式過于復(fù)雜，計算過程十分繁復(fù)，而且由于在公式推導(dǎo)中將多個反三角函數(shù)和根式進(jìn)行了麥克勞林展開式近似替代，受變量值域及誤差累積影響，計算精度不易保證。

為了進(jìn)一步簡化求解邊坡滑動最小安全系數(shù)的計算過程，實現(xiàn)利用已知的邊坡高度、邊坡坡比及邊坡土體特征參數(shù)直接完成最小安全系數(shù)求解，本文通過數(shù)學(xué)方法，基于安全系數(shù)的基本計算公式，以積分函數(shù)取代條分求和，用求極值方法取代逐次逼近計算，經(jīng)推導(dǎo)及整理，獲得了邊坡穩(wěn)定最小安全系數(shù)與邊坡坡比及土體參數(shù)的數(shù)值對應(yīng)關(guān)系，并依據(jù)該數(shù)值關(guān)系繪制了相應(yīng)的關(guān)系曲線，基于曲線特點，采用最優(yōu)化擬合技術(shù)，取最大誤差絕對值與標(biāo)準(zhǔn)剩余差之和最小為目標(biāo)函數(shù)，經(jīng)逐次擬合比選，獲得了可直接完成邊坡穩(wěn)定最小安全系數(shù)求解的簡化計算公式，該公式表達(dá)形式簡單、計算過程簡捷、求解精度高、便于實際工程應(yīng)用。

2 簡化計算公式的建立

2.1 解析計算公式的推求

圖1的滑裂面為圓弧的土質(zhì)邊坡，邊坡的高度為H，邊坡比為m(對應(yīng)的傾角為β)，容重為γ，滑裂面上土的黏聚力及內(nèi)摩擦角分別為c及φ?；A心為O(a，b)(a，b分別為x、y軸的坐標(biāo)值)，E1E2E3E4為滑弧上方劃分的面積Ai的第i塊微小土體條。

圖1 圓弧滑動圖

根據(jù)圖1中滑裂面的幾何關(guān)系及受力分析，F(xiàn)ellenins依據(jù)極限平衡理論建立的邊坡穩(wěn)定安全系數(shù)的計算公式為[13-15]：

(1)

根據(jù)圖1中的幾何關(guān)系，利用積分取代式(1)中求和部分，經(jīng)整理可得：

(2)

其中：

(3)

(4)

L=Hcotβ

(5)

(6)

y1=xtanβ

(7)

(8)

(9)

其中：

f=A+By

(10)

(11)

(12)

式中：μ、p、ρ、A及B均為中間變量；y為邊坡已知特征綜合參數(shù)；f為邊坡穩(wěn)定影響系數(shù)。

為求得最危險圓弧滑動面，即kmin值，將式(10)～(12)代入式(9)，完成對式(9)的求導(dǎo)，并令其為0，即為：

(13)

經(jīng)進(jìn)一步整理可得：

(14)

由式(13)可見，當(dāng)f取得最小值fmin時，k即為最小值kmin。因此，求kmin就轉(zhuǎn)化為利用式(14)、(10)求fmin問題。對于某一固定邊坡，其坡比m、坡高H、土體容重γ、黏聚力c及內(nèi)摩擦角φ均為已知值，因此，可設(shè)μ的第1次迭代值為μ1，利用式(14)通過試算(或采用黃金分割法)即可求得與μ1相對應(yīng)的p1，將μ1、p1代入式(11)、(12)及式(10)即可求得與其相對應(yīng)的f1，按照這一計算過程和步驟，再分別選取μ2，μ3，…，μn求出與其相對應(yīng)的f2，f3，…，fn值，并比較其大小，直到獲得fmin，進(jìn)而由式(9)即可求得邊坡穩(wěn)定最小安全系數(shù)kmin值。

2.2 簡化公式的建立

利用上述解析計算公式求解邊坡穩(wěn)定最小安全系數(shù)的過程尚顯過于繁瑣，為了進(jìn)一步簡化計算過程，本文在對大量計算成果進(jìn)行分析及整理的基礎(chǔ)上，提出了可直接完成邊坡最小安全系數(shù)求解的計算公式。

2.2.1 fmin～m～y曲線分析

根據(jù)文獻(xiàn)[14]、[15]可知，產(chǎn)生圓弧滑裂的邊坡土體均為黏性土，其黏聚力c一般均大于10 kPa，邊坡已知特征綜合參數(shù)y的值域范圍一般為0～90。在實際工程中，經(jīng)常遇到的挖填方或自然土質(zhì)邊坡工程，其邊坡比m一般多在1∶0.5～1∶5.0 (對應(yīng)的傾角β為63.43°～11.31°)，依據(jù)參數(shù)的這一適用范圍，利用公式(14)及式(10)采用上述計算方法，可分別求得與邊坡坡比m及邊坡已知特征綜合參數(shù)y相對應(yīng)的邊坡最小穩(wěn)定影響系數(shù)fmin，有關(guān)計算結(jié)果見表1。

表1 fmin～m～y關(guān)系計算結(jié)果表

為了分析fmin～m～y的數(shù)值函數(shù)對應(yīng)關(guān)系，利用表1中的計算結(jié)果即可完成fmin～m～y的關(guān)系曲線繪制，見圖2所示。

由圖2可見，當(dāng)y值一定時，fmin隨m值的減小而增大,并且fmin～y曲線的切線斜率隨m值的增大而減??；而當(dāng)m為一定值時，fmin隨y值的增大呈非線性關(guān)系增加，并且fmin～y曲線的切線斜率隨y值的增大而減小(即為：fmin的增量Δfmin隨y值的增大而減小)，因此fmin～y為指數(shù)小于1的指數(shù)函數(shù)曲線；當(dāng)y=0時，fmin>0，曲線在縱坐標(biāo)軸上的截距應(yīng)為φ=0時的邊坡最小穩(wěn)定影響系數(shù)fmin。

圖2 fmin～m～y關(guān)系曲線圖

2.2.2 簡化計算公式

根據(jù)上述分析，fmin～y可表示為指數(shù)函數(shù)形式，且指數(shù)x∈(0,1)，曲線在縱坐標(biāo)軸上的截距D>0 ?；谶@一分析成果，為使替代函數(shù)具有更好的擬合精度，本文取最大相對誤差絕對值與標(biāo)準(zhǔn)剩余差之和最小為目標(biāo)函數(shù)，即為：

(15)

經(jīng)逐次擬合逼近即可求得表1中關(guān)于fmin～m～y數(shù)值關(guān)系的最優(yōu)擬合，替代式為：

(16)

其中：

(17)

式中：C、D、x均為與邊坡比m有關(guān)的中間變量。

3 簡化計算公式的精度分析

(18)

圖3 式(16)相對誤差包絡(luò)圖

由圖3可見，式(16)替代式(10)相對誤差包絡(luò)圖所形成的正、負(fù)誤差面積基本相等，最大相對誤差絕對值也基本相等，且最大擬合相對誤差小于1.25%，因此，式(16)具有較好的擬合替代精度，完全滿足實際工程的計算精度要求。

4 算例及比較

為說明本文簡化公式的適用性及計算精度，現(xiàn)以工程實例計算結(jié)果的比較進(jìn)行說明。為便于計算，將所引用相關(guān)文獻(xiàn)計算實例的邊坡參數(shù)及最小安全系數(shù)的求解成果列于表2。依據(jù)各算例邊坡的已知參數(shù)，采用本文公式可直接完成邊坡穩(wěn)定最小安全系數(shù)求解，并完成精度比較，結(jié)果見表2。

表2 工程實例計算結(jié)果比較表

由表2可見，在上述邊坡工程中，盡管邊坡各參數(shù)值變化較大，但本文簡化公式的計算結(jié)果與原文計算結(jié)果相對誤差的絕對值均不超過1.23%，可見，本文公式具有較好的計算精度。

5 結(jié) 語

針對目前開展邊坡圓弧滑裂面穩(wěn)定最小安全系數(shù)求解方法存在的問題，提出了邊坡穩(wěn)定最小安全系數(shù)求解的簡化計算公式，該公式具有以下主要優(yōu)點：

(1) 利用邊坡已知參數(shù)即可直接完成邊坡圓弧滑裂面穩(wěn)定最小安全系數(shù)求解，避免了傳統(tǒng)算法必須首先完成最危險滑裂面所對應(yīng)圓心坐標(biāo)及圓弧半徑的繁復(fù)的中間求解過程，使求解計算簡捷直觀。

(2) 公式表達(dá)形式均為簡單的指數(shù)函數(shù)，利用普通的計算器即可非常方便地完成求解運算，便于實際推廣應(yīng)用。

(3) 精度分析及算例計算結(jié)果比較說明，在工程適用參數(shù)范圍內(nèi)，本文簡化計算公式求解結(jié)果的最大相對誤差小于1.25%，完全滿足實際工程的計算精度要求。