橫看成嶺側成峰 遠近高低各不同
——兩道光學題的全新解讀

云南

蔣金團

幾何光學一直是高考中的重點和難點，學生往往在幾何關系上束手無策，此時可借助費馬原理尋找思路。費馬原理是幾何光學中的一條重要原理，由此原理可證明光在均勻介質中傳播時遵從的直線傳播定律、反射和折射定律，以及傍軸條件下透鏡的等光程性等。光的可逆性原理是幾何光學中的一條普遍原理，該原理為，若光線在介質中沿某一路徑傳播，當光線沿反向傳播時，必沿同一路徑逆向傳播。費馬原理規(guī)定了光線傳播的唯一可實現(xiàn)的路徑，不論光線正向傳播還是逆向傳播，必沿同一路徑。因而借助于費馬原理可說明光的可逆性原理的正確性。光在任意介質中從一點傳播到另一點時，沿所需時間最短的路徑傳播。正因為費馬原理指定了光的傳播路徑是唯一的，很多光學題暗藏的各種技巧在費馬原理照射之下都是無所遁形的。

【例1】(2011年·全國卷第34題)一半圓柱形透明物體橫截面如圖1所示，底面AOB鍍銀，O表示半圓截面的圓心，一束光線在橫截面內從M點入射，經過AB面反射后從N點射出。已知光線在M點的入射角為30°，∠MOA=60°，∠NOB=30°。求：

圖1

(1)光線在M點的折射角；

(2)透明物體的折射率。

【官方解答】(1)如圖2所示，透明物體內部的光路為折線MPN，Q、M點相對于底面EF對稱，Q、P和N三點共線。設在M點處，光的入射角為i，折射角為γ，∠OMQ=α,∠PNF=β,根據題意有α=30° ①

由幾何關系得，∠PNO=∠PMO=γ

于是β+γ=60° ②

且α+γ=β③

由①②③式得γ=15° ④。

圖2

(2)根據折射率公式有sini=nsinγ⑤

這道題的最大特點是淺入深出，考生畫出半圓內部的光路圖之后再寫出折射定律相關表達式，這是難度不大的事，所以得零分很不容易，但是要想快速求出M點處的折射角并非易事，命題者將半圓補成圓，把反射光線反向延長與圓相交，作出入射點的鏡像點，巧妙利用入射光線和反射光線的對稱性以及圓的對稱性來尋找?guī)缀侮P系，這種靈活性的設計對只有中等思維品質的學生確實是一個大的挑戰(zhàn)，甚至是無從下手。當年的統(tǒng)計結果表明這道題的難度系數是0.17，難度確實不小。既然大多數考生對對稱性的運用不順手，那么有更實用的方法突破這個關卡嗎？有，它就是費馬原理。由題意知，光線從M點經反射到N點時，入射點和出射點的坐標是確定的，根據費馬原理，光沿最短路徑傳播，路徑也是確定的，這說明光線打在底部上的點是確定的，只要用入射光線和反射光線斜率的大小相等確定出該點的坐標，所有的問題都迎刃而解。

由兩點間的距離公式得

在△MOP中，由余弦定理得

xP2=R2+MP2-2RMPcosγ③

圖3

(2)第二問同官方解答。

圖4

【例2】(2017年·全國卷Ⅱ第34題)一直桶狀容器的高為2L，底面是邊長為L的正方形；容器內裝滿某種透明液體，過容器中心軸DD′、垂直于左右兩側面的剖面圖如圖4所示。容器右側內壁涂有反光材料，其他內壁涂有吸光材料。在剖面的左下角處有一點光源，已知由液體上表面的D點射出的兩束光線相互垂直，求該液體的折射率。

【官方解答】設從光源發(fā)出直射到D點的光線的入射角為i1，折射角為r1，在剖面內作光源相對于反光壁的鏡像對稱點C，連接CD，交反光壁于E點，由光源射向E點的光線，反射后沿ED射向D點；光線在D點的入射角為i2，折射角為r2，如圖5所示。

圖5

設液體的折射率為n，由折射定律得

nsini1=sinr1①，nsini2=sinr2②

根據題意r1+r2=90° ③

聯(lián)立④⑤⑥解得n=1.55。

這道題與例1如出一轍，官方的解答都是先作出反射光線的反向延長線之后得到一個鏡像點，再利用對稱性尋找?guī)缀侮P系。似乎是歷史重演，筆者和考生交流時，很多考生依然想不到這條重要反向延長線，太過靈活的方法未必適合所有學生，接下來，筆者仍選擇費馬原理作為避開對稱性的突破口。

【筆者解答】如圖6所示，以底部的O點為坐標原點建立直角坐標系，由已知條件可得

圖6

設液體的折射率為n，由折射定律得

nsini1=sinr1③，nsini2=sinr2=cosr1④