量子力學(xué)教學(xué)中關(guān)于自旋算符及其對易關(guān)系引入方式的探討

舒崧

摘要：本文主要探討了量子力學(xué)教學(xué)中自旋的一種新的引入方式。通過空間轉(zhuǎn)動變換后粒子內(nèi)秉空間波函數(shù)的轉(zhuǎn)動不變性可以引入自旋算符，由作為矢量的自旋算符平均值的空間轉(zhuǎn)動不變性可以進(jìn)一步導(dǎo)出自旋算符間的對易關(guān)系。這樣引入自旋有助于學(xué)生認(rèn)識到空間轉(zhuǎn)動對稱性與自旋的關(guān)系。

關(guān)鍵詞：對稱性；空間轉(zhuǎn)動不變性；自旋算符；對易關(guān)系；量子力學(xué)課程教學(xué)

中圖分類號：G642.0 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A 文章編號：1674-9324（2018）25-0200-02

在近代物理學(xué)的發(fā)展當(dāng)中，量子力學(xué)發(fā)展到量子場論，對稱性在其中起到了非常重要的作用。物理中的對稱性是指物理系統(tǒng)在時空坐標(biāo)的某種變換操作下的不變性。深入研究對稱性的數(shù)學(xué)理論是群論，它在粒子物理和高能物理中有著廣泛的應(yīng)用。而量子力學(xué)的教學(xué)應(yīng)該更多地反映量子力學(xué)相關(guān)領(lǐng)域研究中基本物理觀念和數(shù)學(xué)處理方法上的發(fā)展。

自旋是量子力學(xué)中一個重要的基本概念，在通常的本科量子力學(xué)教材中自旋是類比角動量的概念引入的，自旋算符和其對易關(guān)系也完全是按照角動量算符的對應(yīng)情形直接引入的，并沒有作任何推導(dǎo)。在教學(xué)過程中，這種引入方式顯得有些突兀，雖然學(xué)生能夠接受，但是學(xué)生不能從中理解到自旋概念與空間轉(zhuǎn)動對稱性的關(guān)系，對學(xué)生以后深入理解和學(xué)習(xí)自旋沒有更多的幫助。所以在本論文中筆者希望結(jié)合量子力學(xué)課程教學(xué)來探討一下從空間轉(zhuǎn)動對稱性的角度出發(fā)來引入自旋算符和相應(yīng)的對易關(guān)系。

一、由自旋內(nèi)秉空間波函數(shù)的空間轉(zhuǎn)動不變性引入自旋算符

在本科量子力學(xué)教學(xué)中，自旋概念是根據(jù)具體的實(shí)驗(yàn)事實(shí)而提出來的，比如施特恩-蓋拉赫實(shí)驗(yàn)。這些實(shí)驗(yàn)說明電子具有某種內(nèi)秉角動量，被稱作自旋。這種角動量不能由通常的軌道角動量定義方式，即來定義描述。那么量子力學(xué)中怎么來描述一種內(nèi)秉角動量呢？這里問題的關(guān)鍵在于量子力學(xué)中角動量還有其他的定義和描述方式嗎？答案是有。這就是由空間轉(zhuǎn)動不變性來定義角動量。在某種空間轉(zhuǎn)動下如果粒子的運(yùn)動狀態(tài)不發(fā)生改變，這時對應(yīng)轉(zhuǎn)動變換的生成元就是角動量。這實(shí)際上是基于群論基礎(chǔ)對角動量更為普適的一種定義方式。但在本科教學(xué)中，由于學(xué)生沒有群論學(xué)習(xí)基礎(chǔ)，我們只能從另一種途徑來說明這一點(diǎn)。由于量子力學(xué)中粒子的狀態(tài)是由波函數(shù)來描述，準(zhǔn)確地說是粒子在空間中存在的幾率分布狀態(tài)由波函數(shù)模的平方來決定。粒子運(yùn)動狀態(tài)不變是指波函數(shù)模的平方不變，所以這相當(dāng)于對波函數(shù)作一個幺正變換，而幺正變換的概念學(xué)生在量子力學(xué)先前的課程中一般都學(xué)習(xí)過。幺正變換對應(yīng)一個幺正變換算符。

參考文獻(xiàn)：

[1]周世勛.量子力學(xué)教程[M].北京：高等教育出版社，2009.

[2]喀興林.高等量子力學(xué)[M].北京：高等教育出版社，2001.