組合重力場(chǎng)模型的精度及其適用性分析

馬艷鴿，郭春喜，張盼盼

(1.長(zhǎng)安大學(xué) 地質(zhì)工程與測(cè)繪學(xué)院，陜西 西安 710064；2.國(guó)家測(cè)繪地理信息局大地測(cè)量數(shù)據(jù)處理中心，陜西 西安 710054)

高分辨率、高精度的地球重力場(chǎng)模型在利用GNSS技術(shù)計(jì)算正常高中發(fā)揮重要的作用[1-2]。隨著衛(wèi)星重力計(jì)劃的實(shí)施，重力場(chǎng)模型的精度和分辨率都得到很大改善，CHAMP、GRACE、GOCE等重力衛(wèi)星使得全球重力場(chǎng)模型的中低階的精度提高兩個(gè)量級(jí)或者更高[3-4]。現(xiàn)階段主要的超高階重力場(chǎng)模型有EGM2008、GECO及EIGEN-6C4等，EGM2008利用地面重力數(shù)據(jù)、GRACE衛(wèi)星重力數(shù)據(jù)、衛(wèi)星測(cè)高數(shù)據(jù)等共同解算獲得[5]。GECO重力場(chǎng)模型由GOCE低階重力場(chǎng)模型TIM_R5聯(lián)合EGM2008得到，前0～359階利用GO_CONS_GCF_2_TIM_R5重力場(chǎng)模型的0～250階結(jié)合EGM2008重力場(chǎng)模型的0～359階計(jì)算得到，360～2 190階與EGM2008的360～2 190階保持一致[6]。EIGEN-6C4重力場(chǎng)模型利用地面重力數(shù)據(jù)、衛(wèi)星重力數(shù)據(jù)(GOCE、GRACE、LAGEOS)、衛(wèi)星測(cè)高數(shù)據(jù)等共同解算獲得[7]。而EGM2008和EIGEN-6C4重力場(chǎng)模型在解算的過程中除利用衛(wèi)星測(cè)量的數(shù)據(jù)之外，還有一些地形數(shù)據(jù)或者地面重力數(shù)據(jù)，存在一些長(zhǎng)波段的誤差，另外，GECO含有EGM2008模型的信息，同樣存在長(zhǎng)波段的誤差，這些誤差會(huì)傳遞到重力場(chǎng)模型求解的高程異常中，從而影響所得高程異常的精度[8]。為解決這一問題，可利用純衛(wèi)星重力場(chǎng)模型選擇合適的截?cái)嚯A次替換高階重力場(chǎng)模型相對(duì)應(yīng)的階次，純衛(wèi)星重力模型完全由衛(wèi)星數(shù)據(jù)獨(dú)立解算，不依賴地面重力數(shù)據(jù)，因此不受地面數(shù)據(jù)長(zhǎng)波段誤差的污染。本文在分析EGM2008、GECO及EIGEN-6C4 3個(gè)超高階重力場(chǎng)模型計(jì)算高程異常精度的基礎(chǔ)之上選擇GOCO03S、GO_CONS_GCF_2_DIR_R5、GO_CONS_GCF_2_SPW_R2以及GO_CONS_GCF_2_TIM_R5等4個(gè)純衛(wèi)星重力場(chǎng)模型實(shí)驗(yàn)分析，選取合適的截?cái)嚯A次確定組合重力場(chǎng)模型并對(duì)其進(jìn)行精度分析，最后探討組合重力場(chǎng)模型在GNSS高程擬合中的應(yīng)用。

1 原理與方法

1.1 模型的精度檢核

利用GNSS/水準(zhǔn)數(shù)據(jù)進(jìn)行重力場(chǎng)模型的精度檢核，計(jì)算P點(diǎn)的模型高程異常ξp，則GNSS/水準(zhǔn)確定高程異常的方法為

ξGNSS/水準(zhǔn)=H-h.

(1)

式中：H為GNSS實(shí)測(cè)的大地高；h為水準(zhǔn)實(shí)測(cè)的正常高?？梢缘玫綒埐罡叱坍惓?/p>

Δξ=ξp-ξGNSS/水準(zhǔn).

(2)

利用式(3)進(jìn)行重力場(chǎng)模型的精度評(píng)定。

(3)

1.2 組合重力場(chǎng)模型的確定

超高階重力場(chǎng)模型EGM2008、GECO、EIGEN-6C4存在著由地面數(shù)據(jù)引起的長(zhǎng)波誤差，因此選擇GOCO03S、GO_CONS_GCF_2_DIR_R5、GO_CONS_GCF_2_TIM_R5以GO_CONS_GCF_2_TIM_R5等4個(gè)純衛(wèi)星重力場(chǎng)模型進(jìn)行實(shí)驗(yàn)分析，進(jìn)一步選擇合適的模型的截?cái)嚯A數(shù)替換EGM2008、GECO、EIGEN-6C4重力場(chǎng)模型相應(yīng)的階數(shù)。主要步驟為：①選擇合適的純衛(wèi)星重力場(chǎng)模型截?cái)嚯A數(shù)N。②組合重力場(chǎng)模型的0～N階由純衛(wèi)星重力場(chǎng)模型得到，N～2 190階由超高階重力場(chǎng)模型相應(yīng)的階補(bǔ)充得到。因此，組合重力場(chǎng)模型的確定關(guān)鍵是模型的截?cái)嚯A數(shù)的確定，截?cái)嚯A數(shù)的確定是利用GNSS/水準(zhǔn)數(shù)據(jù)檢核組合重力場(chǎng)模型的精度進(jìn)行確定的，具體的步驟為：

1)對(duì)純衛(wèi)星重力場(chǎng)模型選擇截?cái)嚯A數(shù)k(k=10，20，30…N；N為純重力場(chǎng)模型的最大階數(shù))，組成新的重力場(chǎng)模型，新模型的0～K階由純重力場(chǎng)模型獲取，K～2 190階由超高階重力場(chǎng)模型相應(yīng)的階補(bǔ)充得到。

2)利用新的重力場(chǎng)模型計(jì)算GNSS點(diǎn)對(duì)應(yīng)的模型高程異常，由式(2)計(jì)算殘差高程異常，然后由式(3)計(jì)算模型的精度。

3)選擇精度最高的模型為最終的組合重力場(chǎng)模型，其對(duì)應(yīng)的階數(shù)k為最佳的截?cái)嚯A數(shù)。

1.3 組合重力場(chǎng)模型在GNSS高程擬合中的應(yīng)用

GNSS高程擬合的模型很多，本文以多面函數(shù)擬合模型進(jìn)行GNSS高程擬合，GNSS高程多面函數(shù)擬合模型的基本原理是將殘差高程異常用多個(gè)曲面高度逼近，建立數(shù)學(xué)模型，借此可以求解未知點(diǎn)的高程異常[9]。多面函數(shù)的數(shù)學(xué)表達(dá)式可以表示為

(4)

式中:Δξi為高程異常值;ai為待定系數(shù);Q(x,y,xi,yi)為核函數(shù)，本文選擇的核函數(shù)為雙曲面核函數(shù)，具體形式為

(5)

其中δ為光滑系數(shù)。

2 算例分析

本文選取長(zhǎng)江南京段控制網(wǎng)數(shù)據(jù)進(jìn)行重力場(chǎng)模型精度及適用性分析，總共有53個(gè)高精度的GNSS控制點(diǎn)，每個(gè)點(diǎn)位都有基于WGS-84坐標(biāo)系下的大地坐標(biāo)以及二等水準(zhǔn)高程數(shù)據(jù)。圖1為點(diǎn)位分布圖。

圖1 點(diǎn)位分布圖

2.1 超高階重力場(chǎng)模型精度分析

對(duì)EGM2008、GECO及EIGEN-6C4超高階重力場(chǎng)模型，分別計(jì)算53個(gè)GNSS控制點(diǎn)對(duì)應(yīng)的模型高程異常，并與GNSS/水準(zhǔn)實(shí)測(cè)的高程異常做比較，結(jié)果見表1。

表1 超高階模型與GNSS/水準(zhǔn)的高程異常比較結(jié)果 m

在本實(shí)驗(yàn)區(qū)域，從表1可以看出： 3個(gè)超高階重力場(chǎng)模型的精度都達(dá)到了厘米級(jí)；EGM2008重力場(chǎng)模型的精度稍高于GOCE和EIGEN-6C4模型的精度。

2.2 組合重力場(chǎng)模型確定

組合重力場(chǎng)模型確定的關(guān)鍵是對(duì)純衛(wèi)星重力場(chǎng)模型截取可靠的階次，對(duì)EGM2008、GECO及EIGEN-6C4超高階重力場(chǎng)模型利用純衛(wèi)星重力場(chǎng)模型進(jìn)行不同階次的組合，得到各自對(duì)應(yīng)的組合重力場(chǎng)模型(例如：GOCO03S/ EGM2008、GOCO03S/ GECO、GOCO03S/ EIGEN-6C4等，具體表示純衛(wèi)星重力場(chǎng)模型與超高階重力場(chǎng)模型的組合重力場(chǎng)模型)。利用1.2中的原理分別對(duì)EGM2008、GECO及EIGEN-6C4超高階重力場(chǎng)模型對(duì)應(yīng)的組合重力場(chǎng)模型進(jìn)行精度分析，精度結(jié)果分別見圖2—圖4。

圖2 EGM2008對(duì)應(yīng)的組合重力場(chǎng)模型精度趨勢(shì)

圖3 GECO對(duì)應(yīng)的組合重力場(chǎng)模型精度趨勢(shì)

圖4 EIGEN-6C4對(duì)應(yīng)的組合重力場(chǎng)模型精度趨勢(shì)

由圖2—圖4可以看出超高階重力場(chǎng)模型EGM2008、GECO及EIGEN-6C4對(duì)應(yīng)的組合重力場(chǎng)模型在150階前的精度趨勢(shì)基本一致，在150階以后各組合重力場(chǎng)模型的精度趨勢(shì)表現(xiàn)出明顯的差異?？梢赃x擇精度最高時(shí)對(duì)應(yīng)的階次為組合模型的可靠截取階次，由圖2可以看出組合重力場(chǎng)模型GOCO03S/ EGM2008、GO_CONS_GCF_2_DIR_R5/EGM2008、GO_CONS_GCF_2_SPW_R2/EGM2008及GO_CONS_GCF_2_TIM_R5/EGM2008的可靠截取階 階次分別為90、260、230及220。由圖3可以看出組合重力場(chǎng)模型GOCO03S/ GECO、GO_CONS_GCF_2_DIR_R5/GECO、GO_CONS_GCF_2_SPW_R2/GECO及GO_CONS_GCF_2_TIM_R5/GECO的可靠截取階次分別為90、260、220及230。由圖4可以看出組合重力場(chǎng)模型GOCO03S/ EIGEN-6C4、GO_CONS_GCF_2_DIR_R5/ EIGEN-6C4、GO_CONS_GCF_2_SPW_R2/ EIGEN-6C4及GO_CONS_GCF_2_TIM_R5/ EIGEN-6C4的可靠截取階次分別為90、260、230及260。

2.3 組合重力場(chǎng)模型的精度分析

利用2.2中得到的組合重力場(chǎng)模型以及EGM2008、GECO及EIGEN-6C4超高階重力場(chǎng)模型計(jì)算實(shí)測(cè)GNSS點(diǎn)位的高程異常值，并與GNSS/水準(zhǔn)實(shí)測(cè)的高程的高程異常值比較，結(jié)果見表2—表4，由表2—表4得到的重力場(chǎng)模型精度結(jié)果見圖5。

表2 EGM2008及其對(duì)應(yīng)的組合重力場(chǎng)模型與實(shí)測(cè)高程異常比較結(jié)果 m

表3 GECO及其對(duì)應(yīng)的組合重力場(chǎng)模型與實(shí)測(cè)高程異常比較結(jié)果 m

圖5 重力場(chǎng)模型精度結(jié)果

由表2可以看出：在實(shí)驗(yàn)區(qū)域，EGM2008對(duì)應(yīng)的組合重力場(chǎng)模型精度最優(yōu)為0.061，最差為0.072，而EGM2008的精度為0.074，因此高程異常的精度最高提升18%；組合重力場(chǎng)模型的精度比EGM2008的精度都要高，見圖5。

由表3可以看出：在實(shí)驗(yàn)區(qū)域，GECO對(duì)應(yīng)的組合重力場(chǎng)模型精度最優(yōu)為0.054，最差為0.074；而GECO的精度為0.078，因此高程異常的精度最高提升31%；組合重力場(chǎng)模型的精度比GECO的精度都要高，見圖5。

由表4可以看出：在實(shí)驗(yàn)區(qū)域，EIGEN-6C4對(duì)應(yīng)的組合重力場(chǎng)模型精度最優(yōu)為0.059，最差為0.077；而EIGEN-6C4的精度為0.078。因此高程異常的精度最高提升24%；組合重力場(chǎng)模型的精度比EIGEN-6C4的精度都要高，見圖5。

綜合表2、表3、表4及圖5可以看出：4種純衛(wèi)星重力場(chǎng)模型截取可靠階次后對(duì)EGM2008、GECO及EIGEN-6C4模型精度提升能力從大到小以此為GO_CONS_GCF_2_SPW_R2、

GO_CONS_GCF_2_DIR_R5、GO_CONS_GCF_2_TIM_R5、GOCO03S。GO_CONS_GCF_2_SPW_R2

對(duì)于精度提高影響最明顯，GOCO03S對(duì)于精度提高影響最小。

2.4 組合重力場(chǎng)模型在GNSS高程擬合中的應(yīng)用

根據(jù)圖1的選點(diǎn)方案，其中40個(gè)點(diǎn)為擬合點(diǎn)，13個(gè)點(diǎn)為檢核點(diǎn)。利用2.3中得到的精度最高的組合模型(GO_CONS_GCF_2_ SPW_R2/EGM2008、GO_CONS_GCF_2_SPW_R2/GECO、GO_CONS_GCF_2_SPW_R2/ EIGEN-6C4)以及高階重力場(chǎng)模型(EGM2008、GECO、EIGEN-6C4)，基于1.3中的原理，采用多面函數(shù)擬合法進(jìn)行GNSS高程擬合，檢核點(diǎn)與GNSS/水準(zhǔn)比較結(jié)果見表5。

表5 檢核點(diǎn)與GNSS/水準(zhǔn)比較結(jié)果 m

從表5可以看出，利用EGM2008、GECO及EIGEN-6C4超高階重力場(chǎng)模型進(jìn)行高程擬合的精度與利用組合重力場(chǎng)模型進(jìn)行高程擬合的精度相當(dāng)，這說明EGM2008、GECO及EIGEN-6C4超高階重力場(chǎng)模型存在的長(zhǎng)波段誤差也可通過一定的擬合模型進(jìn)行削弱。

3 結(jié)束語(yǔ)

本文進(jìn)行了組合重力場(chǎng)模型的精度及其適用性分析，得出以下結(jié)論：

1)在本實(shí)驗(yàn)區(qū)域，GNSS/水準(zhǔn)數(shù)據(jù)檢核表明， EGM2008、GECO及EIGEN-6C4超高階重力場(chǎng)模型的精度都達(dá)到厘米級(jí)，且EGM2008重力場(chǎng)模型的精度稍高于GOCE和EIGEN-6C4模型的精度。

2)利用GNSS/水準(zhǔn)數(shù)據(jù)檢核組合重力場(chǎng)模型表明，組合重力場(chǎng)模型能提高重力場(chǎng)模型精度。EGM2008對(duì)應(yīng)的組合重力場(chǎng)模型精度比EGM2008精度至少提高3%，最優(yōu)提高18%。GECO對(duì)應(yīng)的組合重力場(chǎng)模型精度比GECO精度至少提高5%，最優(yōu)提高31%。EIGEN-6C4對(duì)應(yīng)的組合重力場(chǎng)模型精度比EIGEN-6C4精度至少提高2%，最優(yōu)提高24%。

3)4種純衛(wèi)星重力場(chǎng)模型截取可靠階次后對(duì)EGM2008、GECO及EIGEN-6C4精度提升能力影響最大的是GO_CONS_GCF_2_SPW_R2，影響最小的是GOCO03S。

4)利用EGM2008、GECO及EIGEN-6C4超高階重力場(chǎng)模型進(jìn)行高程擬合的精度與利用組合重力場(chǎng)模型進(jìn)行高程擬合的精度相當(dāng)，這說明EGM2008、GECO及EIGEN-6C4超高階重力場(chǎng)模型存在的長(zhǎng)波段誤差也可通過一定的擬合模型進(jìn)行削弱。