中學(xué)常見(jiàn)絕對(duì)值問(wèn)題解法的探析

李玲

摘 要：在中學(xué)數(shù)學(xué)中，絕對(duì)值是非常常見(jiàn)的一種概念，絕對(duì)值通過(guò)和其他多種數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行相連后，便能夠衍生出更多新型絕對(duì)值問(wèn)題，在中學(xué)階段，存在很多常見(jiàn)的絕對(duì)值問(wèn)題，因此，本文對(duì)中學(xué)常見(jiàn)絕對(duì)值問(wèn)題解法進(jìn)行深入研究，具有重要意義。

關(guān)鍵詞：中學(xué) 絕對(duì)值問(wèn)題 解法

關(guān)于中學(xué)常見(jiàn)的絕對(duì)值問(wèn)題，包括絕對(duì)值定義運(yùn)用問(wèn)題、一元一次絕對(duì)值不等式問(wèn)題、一次絕對(duì)值函數(shù)問(wèn)題、一元一次絕對(duì)值方程問(wèn)題等，針對(duì)這些問(wèn)題，本文分別給出了對(duì)應(yīng)問(wèn)題的解法，同時(shí)為便于理解，本文進(jìn)行了例題分析。因此，本文對(duì)中學(xué)常見(jiàn)絕對(duì)值問(wèn)題解法進(jìn)行深入研究，具有重要意義。[1]

一、絕對(duì)值的幾何意義

IaI的幾何意義為：在數(shù)軸中，表示原點(diǎn)O和點(diǎn)a之間的距離。Ia-bI的幾何意義為：在數(shù)軸中，點(diǎn)a和點(diǎn)b之間的距離。針對(duì)一些問(wèn)題，如果采用絕對(duì)值的幾何意義來(lái)進(jìn)行解決，更為簡(jiǎn)單、直觀，能夠快速解決問(wèn)題。[2]

二、一元一次絕對(duì)值方程的解法

（1）針對(duì)Ia+bI=c（a≠0）型的絕對(duì)值方程，其解法為：

②當(dāng)c<0時(shí)，將絕對(duì)值的非負(fù)性作為依據(jù)，則可以獲知該方程是無(wú)解的；

②當(dāng)c=0時(shí)，原方程變?yōu)镮ax+bI=0，即ax+b=0，則；

③當(dāng)c>0時(shí)，原方程變?yōu)閍x+b=c或ax+b=-c，

解得或者。

例1：求解I2x+3I=5

解：根據(jù)（1）可得，由于5>0，則原方程可以變形為2x+3=5或者2x+3=-5，解得x=1或者x=-4。

（2）針對(duì)Iax+bI=cx+d（ac≠0）型的絕對(duì)值方程，其解法為：

①將絕對(duì)值的非負(fù)性作為主要依據(jù)，可得cx+d≥0，進(jìn)而能夠?qū)的取值范圍計(jì)算出來(lái)；

②將絕對(duì)值的定義作為主要依據(jù)，能夠?qū)⒃匠踢M(jìn)行轉(zhuǎn)型，變?yōu)閮蓚€(gè)方程，即ax+b=cx+d和ax+b=-（cx+d）；

③對(duì)方程ax+b=cx+d和ax+b=-（cx+d）分別進(jìn)行求解；

④將計(jì)算出來(lái)的解，代入cx+d≧0中，對(duì)其進(jìn)行檢驗(yàn)，將不合條件的解進(jìn)行舍去。

例2：解方程：I4x+3I=2x+9

解：根據(jù)（2）可得，將絕對(duì)值的定義作為主要依據(jù)，對(duì)原方程進(jìn)行變型，變?yōu)閮蓚€(gè)方程：4x+3=2x+9和4x+3=-（2x+9）；分別解得x=3和x=-2；通過(guò)檢驗(yàn)后，其結(jié)果都是成立的。

（3）針對(duì)Iax+b=Icx+dI（ac≠0）型的絕對(duì)值方程，其解法為：

①將絕對(duì)值的定義作為主要依據(jù)，對(duì)原方程進(jìn)行變型，變?yōu)閍x+b=cx+d或者ax+b=-（cx+d）；

②對(duì)方程ax+b=cx+d和ax+b=-（cx+d）分別進(jìn)行求解。

例3：求解I2x-1I=I3x+1I。

解：根據(jù)（3）可得，將絕對(duì)值的定義作為主要依據(jù)，對(duì)原方程進(jìn)行變型，變?yōu)閮蓚€(gè)方程，即：2x-1=3x+1或者2x-1=-（3x+1）I3x+1I；分別解得x=-2和x=0。

（4）針對(duì)Ix-aI+Ix-bI=c（a

①將絕對(duì)值的幾何意義作為主要一種，可得Ix-aI+Ix-bI≧Ia-bI；

②當(dāng)Ia-bI=c時(shí)，方程的解為a≤x≤b；當(dāng)Ia-bI>c時(shí)，此時(shí)方程是沒(méi)有解的；

當(dāng)Ia-bI

①當(dāng)x>b時(shí)，原方程的解為；

②當(dāng)x

例4：求解Ix-1I+Ix-3I=4+-=

解：根據(jù)（4）可得，I2-1I<4能夠劃分為兩種情況，即：

①當(dāng)x<1時(shí)，原方程的解為x=0；②當(dāng)x>3時(shí)，原方程的解為x=4。

三、一元一次絕對(duì)值不等式的解法

將絕對(duì)值符號(hào)去掉，使不等式轉(zhuǎn)型為沒(méi)有絕對(duì)值符號(hào)的一般不等式，然后，和對(duì)不等式組或者一般不等式的解法一樣，對(duì)以上不等式進(jìn)行求解，這就是對(duì)含有絕對(duì)值符號(hào)的不等式求解的主要思路。對(duì)絕對(duì)值不等式進(jìn)行求解，轉(zhuǎn)化是關(guān)鍵。將絕對(duì)值的意義作為主要依據(jù)，對(duì)絕對(duì)值不等式進(jìn)行有效轉(zhuǎn)化，使其變?yōu)橐淮尾坏仁健?/p>

（1）針對(duì)不等式IxI0），其解集為{xI-a

不等式IxI>a（a>0），其解集為{xIx>a或x<-a}。

將不等式IxIc（c>0）中的x進(jìn)行替換，使其變?yōu)閍x+b，便能夠獲得Iax+bI>c（c>0）和Iax+bI0）型的不等式的解法。

（2）Iax+bI>c（c>0）的解法為：首先對(duì)不等式組ax+b>c或者ax+b<-c進(jìn)行求解，然后根據(jù)不等式的性質(zhì)，對(duì)原不等式的解集進(jìn)行求解。

Iax+bI0）的具體解法為：首先對(duì)不等式組-c

例6：對(duì)I2x-3I>4進(jìn)行求解。

解：根據(jù)I2x-3I>4，可得2x-3>4或者2x-3<-4，

然后得到或者。

因此，原不等式解集為。

（3）在對(duì)Iax+bI>c（c>0）與Iax+bI0）型不等式進(jìn)行求解時(shí)，必須要注

意a是正數(shù)還是負(fù)數(shù)。當(dāng)a是負(fù)數(shù)時(shí)，可先將a變?yōu)檎龜?shù)以后，再進(jìn)行求解。

例7：求解I1-2xI<5

根據(jù)題意得，-5<1-2x<5，則-2

因此，原不等式的解集是{x|-5/2

（5）含由絕對(duì)值的雙向不等式的解法：將絕對(duì)值號(hào)去掉是關(guān)鍵。

例8：求解2

解：原不等式等價(jià)于

則，即；

則解集為。

（6）對(duì)含有多重絕對(duì)值符號(hào)的不等式進(jìn)行求解時(shí)，可由外及內(nèi)的順序進(jìn)行求解，對(duì)絕對(duì)值不等式類型的解題方法進(jìn)行不斷重復(fù)運(yùn)用，將絕對(duì)值符號(hào)去掉，對(duì)其進(jìn)行一一化解.

例9：求解Ix-I2x+1II>1

解：根據(jù)Ix-I2x+1II>1可得，x-I2x+1I>1或者x-I2x+1I<-1

（1）根據(jù)x-I2x+1I>1可得，x-1>I2x+1I

則或者；

即或者均無(wú)解；

（2）根據(jù)x-I2x+1I<-1可得，x+1

則或者；

即或者

因此，；原不等式的解集是。

四、一次絕對(duì)值函數(shù)的求解方法

在中學(xué)階段，一次絕對(duì)值函數(shù)問(wèn)題大致可以劃分為4種類型，即：其一，函數(shù)圖象；其二，解析式；其三，值域；其四，定義域。經(jīng)過(guò)分類討論后，將絕對(duì)值號(hào)去除，這是一次絕對(duì)值函數(shù)問(wèn)題求解的關(guān)鍵。其中，令絕對(duì)值內(nèi)的式子為0是分類標(biāo)準(zhǔn)，進(jìn)而能夠?qū)?shù)軸劃分為若干段，便能夠進(jìn)行討論了，然后將函數(shù)解析式寫出來(lái)，對(duì)相應(yīng)函數(shù)圖像進(jìn)行畫(huà)出來(lái)，則問(wèn)題便會(huì)變得清晰、明朗。

例10：求解y=Ix+2I-Ix-5I，同時(shí)將定義域和值域?qū)懗鰜?lái)。[4]

解：y=Ix+2I-Ix-5I，先分別令x+2=0，x-5=0，可得x=-2，x=5。此時(shí)，把數(shù)軸劃分為3大段，即：①當(dāng)x<-2時(shí)，x+2<0，x-5<0，因此y=-（x+2）-（-（x-5））=-7；

②當(dāng)-2≤x≤5時(shí)，x+2>0，x-5<0，則y=（x+2）+（x-5））=2x-3；

③當(dāng)x>5時(shí)，x+2>0，x-5>0，則y=（x+2）-（x-5））=7；

因此

其中，最小值是-7，最大值是7，由此可得，該函數(shù)的值域是[-7，7]，定義域是R。

例11：將函數(shù)y=Ix-5I+Ix+3I的圖像畫(huà)法指出來(lái)。

解：①將絕對(duì)值符號(hào)去除，求出分界點(diǎn)：x-5=0，x=5；x+3=0，x=-3，則分界點(diǎn)就是-3和5；

②根據(jù)不同情況進(jìn)行討論：當(dāng)x≤-3時(shí)，y=Ix-5I+Ix+3I=5-x-x-3=2-2x；當(dāng)-35時(shí)，y=Ix-5I+Ix+3I=x-5+x-3=2x-8。

③根據(jù)上文3個(gè)區(qū)間所對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式，便能夠?qū)в薪^對(duì)值符號(hào)的函數(shù)圖像畫(huà)出來(lái)了。

參考文獻(xiàn)

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