基于中心復(fù)合設(shè)計(jì)的RSM邊坡可靠度研究

孫開(kāi)暢，尹志偉，李 權(quán)

(三峽大學(xué)水利與環(huán)境學(xué)院，湖北宜昌443002)

0 引 言

邊坡穩(wěn)定是巖土工程研究的重點(diǎn)內(nèi)容。邊坡穩(wěn)定性分析一般采用安全系數(shù)作為評(píng)價(jià)指標(biāo)，傳統(tǒng)安全系數(shù)法未能考慮對(duì)坡體穩(wěn)定有影響的因素的不確定性[1- 2]，如巖土體參數(shù)本身的變異性、計(jì)算模型及滑動(dòng)面的確定是否合理、勘探取樣和試驗(yàn)方法造成的誤差等，得到的結(jié)果可能與實(shí)際情況存在偏差[3- 4]，不能真實(shí)反映邊坡安全程度?；诟怕式y(tǒng)計(jì)理論的可靠度分析[5- 6]將邊坡穩(wěn)定性影響因素(巖土特性參數(shù)、滲透系數(shù)、地震荷載、結(jié)構(gòu)荷載等)視為隨機(jī)變量，能有效地考慮邊坡系統(tǒng)內(nèi)部實(shí)際存在的不確定性和相關(guān)性。邊坡可靠度分析計(jì)算方法主要有Monte Carlo(MC)法、一次二階矩法、隨機(jī)有限元法(Stochastic Finite Element Method，SFEM)、響應(yīng)面法(Reponse Surface Method，RSM)等。桂勇、羅文強(qiáng)[7- 8]提出建立安全系數(shù)與可靠性相耦合的二元評(píng)價(jià)體系。吳振君[9]介紹了一種優(yōu)化算法。MC法受問(wèn)題限制小，得到的結(jié)果相對(duì)準(zhǔn)確，但計(jì)算量大，需要樣本數(shù)巨大，收斂速度較慢。RSM是一種高效的邊坡可靠度計(jì)算方法，迭代效率受響應(yīng)面函數(shù)的形狀和試驗(yàn)點(diǎn)的選取的影響較大。

本文基于RSM的基本思想，在響應(yīng)面函數(shù)形狀上采用不含交叉項(xiàng)的二次多項(xiàng)式，在試驗(yàn)樣本點(diǎn)的選取上對(duì)比了拉丁超立方抽樣(LHS)和中心復(fù)合設(shè)計(jì)(CCD)這2種試驗(yàn)設(shè)計(jì)，邊坡不確定性上主要考慮土體強(qiáng)度參數(shù)c、φ的不確定性，同時(shí)考慮邊坡穩(wěn)定計(jì)算模型的不確定性，編寫(xiě)了相應(yīng)的可靠求解的Matlab程序，與MC基準(zhǔn)解對(duì)比，并在托巴110 kV施工變電站邊坡工程中進(jìn)行了驗(yàn)算。

1 邊坡穩(wěn)定和響應(yīng)面

1.1 邊坡穩(wěn)定性分析方法

3種穩(wěn)定模型(Bishop、Spencer、Morgenstern-Price)安全系數(shù)Fs的求解理論見(jiàn)參考文獻(xiàn)[1]。由邊坡穩(wěn)定安全系數(shù)建立邊坡功能函數(shù)Z=Fs-1，Z<0表示邊坡失效，Z>0表示邊坡穩(wěn)定，Z=0表示邊坡處于極限狀態(tài)。Fs、Z均屬于非線性的隱式函數(shù)，采用傳統(tǒng)方法無(wú)法直接計(jì)算其可靠度。

1.2 RSM函數(shù)

RSM是統(tǒng)計(jì)學(xué)的綜合試驗(yàn)技術(shù)，用于處理復(fù)雜系統(tǒng)的輸入(基本變量)和輸出(系統(tǒng)響應(yīng))之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系。是用近似的功能函數(shù)來(lái)代替真實(shí)的功能函數(shù)。為兼顧效率與精度，研究認(rèn)為[10- 11]，響應(yīng)面函數(shù)表達(dá)式采用二次多項(xiàng)式比較合適。對(duì)比二次多項(xiàng)式中帶交叉項(xiàng)的和不帶交叉項(xiàng)的，二者的精度有一些差異但很小。因此，在一般情況下，響應(yīng)面函數(shù)采用不帶交叉項(xiàng)的二次多項(xiàng)式，既有靈活性，又滿足計(jì)算精度要求。

(1)

式中，λ0，λi，λii(i=1，2，…，n)為待定系數(shù)，總計(jì)2n+1個(gè)。

1.3 可靠度求解流程

由RSM得到邊坡的近似功能函數(shù)后，還需結(jié)合一定的可靠度分析方法。本文采用可靠度計(jì)算的一次二階矩法，計(jì)算流程見(jiàn)圖1。借助Matlab強(qiáng)大的數(shù)學(xué)功能以提高迭代求解效率，編寫(xiě)相應(yīng)程序得到可靠指標(biāo)和驗(yàn)算點(diǎn)。

圖1 可靠度計(jì)算流程

2 試驗(yàn)設(shè)計(jì)

2.1 拉丁超立方抽樣(LHS)

LHS是由McKay等于1980年專門為仿真試驗(yàn)提出的一種試驗(yàn)設(shè)計(jì)類型，是一種使輸入組合相對(duì)均勻地填滿整個(gè)試驗(yàn)區(qū)間的設(shè)計(jì)，每個(gè)試驗(yàn)變量使用水平只使用1次。與均勻、正交試驗(yàn)設(shè)計(jì)相比，LHS抽樣對(duì)均值和方差的估計(jì)在效果上有顯著改善[12]。

2.2 中心復(fù)合設(shè)計(jì)(CCD)

CCD具有序貫、高效、靈活的特點(diǎn)[13]。在二水平因子設(shè)計(jì)點(diǎn)的基礎(chǔ)上，通過(guò)增加軸向點(diǎn)和中心點(diǎn)來(lái)完善響應(yīng)面的模擬。在2個(gè)標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布自變量下，中心復(fù)合設(shè)計(jì)取樣點(diǎn)包括二水平因子點(diǎn)(1，1)、(1，-1)、(-1，1)、(-1，-1)以及中心點(diǎn)(0，0)和軸向點(diǎn)(0，α)、(0，-α)、(α，0)、(-α，0)(見(jiàn)圖2)。對(duì)于含有q個(gè)自變量的q維向量空間，使用二水平因子設(shè)計(jì)點(diǎn)+中心點(diǎn)+軸向點(diǎn)時(shí)，取樣點(diǎn)數(shù)量為2q+2q+1個(gè)。

圖2 CCD樣本點(diǎn)

取樣點(diǎn)數(shù)量和軸向點(diǎn)到設(shè)計(jì)中心點(diǎn)距離α是CCD試驗(yàn)設(shè)計(jì)的2個(gè)重要參數(shù)?？紤]到二次響應(yīng)面法僅在中心點(diǎn)附近具有較好的近似，試驗(yàn)點(diǎn)應(yīng)位于自變量附近。軸向點(diǎn)反映了模擬區(qū)域大小，中心復(fù)合設(shè)計(jì)的沿Xi軸的軸向取樣點(diǎn)應(yīng)為xi=μXi±ασXi，其中，μXi、σXi分別表示自變量均值和標(biāo)準(zhǔn)差。α的取值取決于設(shè)計(jì)要求和包含因素的數(shù)量，若α的取值太大，在真實(shí)設(shè)計(jì)點(diǎn)附近的局部精度可能得不到滿足；若取太小，在真實(shí)設(shè)計(jì)點(diǎn)附近的大范圍近似程度得不到滿足。一般|α|>1。α的取值可采用α=2q/4計(jì)算[14]。其中，q為自變量個(gè)數(shù)。

3 算例分析

3.1 基本二層土坡可靠度分析

非均質(zhì)二層土坡剖面幾何形狀見(jiàn)圖3。各土層的粘聚力c及內(nèi)摩擦角φ均為相互獨(dú)立的正態(tài)隨機(jī)變量，上、下2層土的重度均為19 kN/m3，不考慮其變異性。土體強(qiáng)度參數(shù)及統(tǒng)計(jì)特性見(jiàn)表1。

圖3 非均質(zhì)二層土坡剖面(單位：m)

表1 土體強(qiáng)度參數(shù)及統(tǒng)計(jì)特征

首先，采用LHS和CCD分別獲取15組初始樣本，借助巖土極限平衡Slide程序獲取Bishop、Spencer、Morgenstern-Price等3種穩(wěn)定模型的樣本功能函數(shù)，得出樣本及對(duì)應(yīng)功能函數(shù)的響應(yīng)值，見(jiàn)表2，3。根據(jù)響應(yīng)面函數(shù)，構(gòu)建邊坡功能函數(shù)顯式表達(dá)式，編寫(xiě)相應(yīng)的Matlab程序。

以MC 106次直接模擬的計(jì)算結(jié)果2.20作為近似精確解，可靠度計(jì)算結(jié)果與MC法對(duì)比見(jiàn)表4。從表4可知，Bishop、Spencer、Morgenstern-Price這3種穩(wěn)定分析模型下，相對(duì)于LHS，CCD求解得到的可靠度指標(biāo)更為接近MC基準(zhǔn)解。以Morgenstern-Price穩(wěn)定模型為例，LHS求解得到的可靠指標(biāo)為2.021 8，相對(duì)誤差為8.1%，CCD求解得到的可靠指標(biāo)為2.181 9，相對(duì)誤差僅為0.82%。分析原因，LHS和CCD驗(yàn)算點(diǎn)相近，但CCD更接近真實(shí)驗(yàn)算點(diǎn)。

表2 LHS的15組樣本及功能函數(shù)

表3 CCD的15組樣本及功能函數(shù)

3.2 托巴邊坡可靠度分析

托巴110 kV施工變電站邊坡位于云南迪慶州維西縣瀾滄江托巴水電站左岸，起止樁號(hào)為K1+385～K1+480，高程1 748 m。邊坡地層巖性主要由塊石、碎石及粉質(zhì)粘土組成，片理產(chǎn)狀N30°～45°W，NE∠72°～85°。邊坡實(shí)際斷面見(jiàn)圖4。

表4 可靠度計(jì)算結(jié)果對(duì)比

圖4 邊坡實(shí)際斷面

邊坡共2階。上土層坡度1∶1，坡高20 m，土體重度γ1=21 kN/m3；下層坡度1∶1.25，坡高25 m，土體重度γ2=23.5 kN/m3。對(duì)試驗(yàn)原始數(shù)據(jù)采用適用于小樣本數(shù)據(jù)的K-S檢驗(yàn)法進(jìn)行假設(shè)驗(yàn)證[15]，確定參數(shù)變量的分布類型，克服傳統(tǒng)意義上人為假設(shè)其分布的誤差。土層物理力學(xué)參數(shù)見(jiàn)表5。邊坡地質(zhì)坡面典型斷面模型均值狀態(tài)下Slope/W穩(wěn)定性計(jì)算結(jié)果為1.38。LHS和CCD分別得到的初始樣本數(shù)據(jù)及其相應(yīng)的功能函數(shù)值見(jiàn)表6、7。依據(jù)響應(yīng)面思想，采用編寫(xiě)的Matlab程序求解可靠指標(biāo)，以MC 106次直接模擬的計(jì)算結(jié)果2.075作為近似精確解，不同方法計(jì)算結(jié)果對(duì)比見(jiàn)表8。

表5 土層物理力學(xué)參數(shù)

從表8可知，3種穩(wěn)定分析模型下，CCD都較LHS可靠度指標(biāo)計(jì)算結(jié)果更為接近MC基準(zhǔn)解。以Morgenstern-Price穩(wěn)定模型為例，LHS求解得到的可靠指標(biāo)為1.88，相對(duì)誤差為9.32%，CCD求解得到的可靠指標(biāo)為1.963 8，相對(duì)誤差僅為5.36%。對(duì)托巴110 kV施工變電站邊坡，采用RSM的2種不同試驗(yàn)設(shè)計(jì)的結(jié)果均滿足精度要求。相對(duì)傳統(tǒng)的MC法，CCD更為精確，可大大提高計(jì)算效率，更加滿足工程需求。

表6 LHS的30組樣本及功能函數(shù)值

4 結(jié) 語(yǔ)

本文基于RSM的思想，在響應(yīng)面函數(shù)形狀上采用不含交叉項(xiàng)的二次多項(xiàng)式，兼顧效率與精度，樣本數(shù)據(jù)選取LHS與CCD這2種試驗(yàn)設(shè)計(jì)。與MC基準(zhǔn)解相比，Bishop、Spencer、Morgenstern-Price等3種穩(wěn)定模型下，CCD可靠指標(biāo)計(jì)算結(jié)果都較LHS更為準(zhǔn)確，排除了穩(wěn)定分析模型的影響。需要指出，本文邊坡穩(wěn)定分析模型僅考慮了物理力學(xué)參數(shù)c、φ的不確定性，對(duì)復(fù)雜邊坡體穩(wěn)定性分析，還需全面考慮邊坡穩(wěn)定性控制的相關(guān)因素，構(gòu)建更為準(zhǔn)確的數(shù)學(xué)模型。

表7 CCD的25組樣本及功能函數(shù)值

表8 可靠度計(jì)算結(jié)果對(duì)比