不同改進的ARIMA模型在水文時間序列預(yù)測中的應(yīng)用

杜 懿，麻榮永

(1.廣西大學(xué)土木建筑工程學(xué)院，廣西南寧530004;2.廣西大學(xué)工程防災(zāi)與結(jié)構(gòu)安全教育部重點實驗室，廣西南寧530004;3.廣西大學(xué)廣西防災(zāi)減災(zāi)與工程安全重點實驗室，廣西南寧530004)

0 引 言

ARIMA模型全稱為自回歸差分滑動平均模型(Autoregressive Integrated Moving Average Model)，是由Box和Jenkins于20世紀(jì)70年代初提出的一種時間序列預(yù)測方法[1- 2]。該模型具有較強的物理基礎(chǔ)，由于結(jié)構(gòu)簡單、理論完備，在時間序列的預(yù)測中得到廣泛應(yīng)用。

近年來，隨著全球氣候變暖以及區(qū)域下墊面的劇烈變化，相當(dāng)一部分水文時間序列表現(xiàn)出了高度的非線性特點。然而，傳統(tǒng)ARIMA模型結(jié)構(gòu)單一，不具備自適應(yīng)學(xué)習(xí)能力，也難以挖掘出序列的原始信息，在應(yīng)用中精度逐漸無法滿足要求。對此，相關(guān)學(xué)者也進行了大量改進研究，但研究的重點往往集中在如何與其他預(yù)測模型(如灰色理論、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)、支持向量機等)進行加權(quán)組合，并通過優(yōu)化算法(如遺傳算法、粒子群算法、蟻群算法等)來確定最佳分配權(quán)重，進而提高模型預(yù)測精度；但并未涉及模型本身。基于此，筆者在具有高效線性預(yù)測能力的傳統(tǒng)ARIMA模型基礎(chǔ)上，結(jié)合新興的非線性預(yù)測方法，對模型本身進行改進，以期獲得更高精度。

1 模型介紹

1.1 ARIMA模型

模型的建模原理文獻[3- 4]已有詳細(xì)介紹，在此不再贅述。該模型具有3個參數(shù)，分別是自回歸階數(shù)(p)、差分次數(shù)(d)以及滑動平均階數(shù)(q)，通常記作ARIMA(p，d，q)，表達式為

Xt=φ1Xt-1+φ2Xt-2+…+φpXt-p+
εt-(θ1εt-1+θ2εt-2+…+θqεt-q)

(1)

式中，Xt為研究的時間序列數(shù)據(jù)；φ1，φ2，…，φp為自回歸系數(shù)；p為自回歸階數(shù)；θ1，θ2，…，θq為滑動平均系數(shù)；q為滑動平均階數(shù)；εt為白噪聲序列。

建模步驟主要包括數(shù)據(jù)預(yù)處理、模式識別、參數(shù)識別和模型檢驗四個部分，具體操作參見文獻[5- 6]。

1.2 EMD-ARIMA模型

經(jīng)驗?zāi)B(tài)分解(Empirical Mode Decomposition)方法是由Huang等[7]人于1998年提出的一種信號分析方法。該法是對一個復(fù)雜的序列進行平穩(wěn)化處理，將一系列具有不同層次的波動從原始序列中提取出來，得到若干個具有不同尺度的IMF分量[8- 9]。

對時間序列進行EMD分解，將所得的各項分別建立最合適的ARIMA(p，d，q)模型，再將各項的模擬結(jié)果進行累加求得最終的預(yù)測值。

1.3 WA-ARIMA模型

小波分析在時域和頻域上同時具有良好的局部化特征，在處理非平穩(wěn)時間序列中體現(xiàn)出很大的優(yōu)越性[10]。小波分解時采用的小波種類很重要，目前常用的有Haar正交小波、Daubechies正交小波、樣條小波、雙正交小波等。本文選用db4小波，分解水平取4。

對時間序列進行小波分解，將所得的各項分別建立最合適的ARIMA(p，d，q)模型，再將各項的模擬結(jié)果進行累加求得最終的預(yù)測值。

1.4 BP-ANN-ARIMA模型

該模型是利用ARIMA模型來描述原始時間序列的線性關(guān)系，而用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)來擬合時間序列的非線性規(guī)律[11]。具體建模思路如下：

圖1 BP-ANN-ARIMA模型建模過程

2 實例應(yīng)用

本文選用南寧市1961年～2015共55年降水量資料進行預(yù)測研究，所用數(shù)據(jù)均來源自于廣西壯族自治區(qū)統(tǒng)計局提供的《廣西統(tǒng)計年鑒》及《廣西水資源公報》。

2.1 ARIMA建模

借助SPSS 20.0統(tǒng)計分析軟件對南寧市年降水量序列建立ARIMA(p，d，q)模型。先對整體序列進行自相關(guān)檢驗(見圖2)。顯然，原始序列即為平穩(wěn)序列，無需進行差分處理，故差分次數(shù)d=0。為確定最佳自回歸階數(shù)p和滑動平均階數(shù)q，分別初定不同取值進行比較，最終確定選用精度最高的ARIMA(1，0，1)模型。

圖2 南寧市年降水量序列的平穩(wěn)性檢驗

2.2 EMD-ARIMA和WA-ARIMA建模

利用MATLAB 7.0編程軟件對南寧市年降水量序列分別進行經(jīng)驗?zāi)B(tài)分解和db4小波分解，結(jié)果見圖3、圖4。

圖3 南寧市年降水量的EMD分解結(jié)果

圖4 南寧市年降水量的db3小波分解結(jié)果

由圖3、4可以看出，兩種分解方法結(jié)果類似，均存在1個低頻成分(res項、s項)和4個高頻成分(imf項、d項)，其中低頻成分顯示了時間序列的整體變化趨勢。觀察圖3和圖4，res項基本為一水平直線，而s項呈現(xiàn)出微弱的波動上升趨勢，相比更能反映實際情況。

將兩種分解模式下的各子項分別進行ARIMA建模，再將各子項的預(yù)測結(jié)果進行累加，得到最終的擬合值。在本例中由于s項、d4項、imf4項及res項為非平穩(wěn)序列(經(jīng)自相關(guān)、偏相關(guān)檢驗)，需要進行差分處理。分析得出，s項最適應(yīng)ARIMA(1，2，1)模型，d4項、imf4項及res項適合ARIMA(1，1，1)模型，其余各項適應(yīng)于ARIMA(1，0，1)模型。

2.3 BP-ANN-ARIMA建模

在BP-ANN-ARIMA模型的建模過程中，先利用ARIMA(1，0，1)模型對原始降水序列進行預(yù)測，經(jīng)與實際值比較得到擬合殘差。再以擬合殘差為基礎(chǔ)，建立經(jīng)L-M算法優(yōu)化的BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)預(yù)測模型，模型設(shè)置2個歷史節(jié)點，學(xué)習(xí)率取用0.075。最后將神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的預(yù)測結(jié)果與ARIMA(1，0，1)模型的預(yù)測結(jié)果疊加得出最終的擬合值(見圖5)。

圖5 各模型擬合過程比較

計算得，4種擬合模型的平均相對誤差分別為11.2%、10.1%、6.8%、5.1%。其中BP-ANN-ARIMA模型表現(xiàn)最佳，擬合誤差最小，說明了BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)具有強大的非線性映射能力，十分適用于非平穩(wěn)時間序列的預(yù)測。小波分解較經(jīng)驗?zāi)B(tài)分解效果要好，WA-ARIMA模型的擬合誤差小于EMD-ARIMA模型，造成差別的原因在于對趨勢項的提取，db4小波分解出的趨勢項為波動緩幅上升趨勢，更符合實際情況，而EMD分解沒有體現(xiàn)出來。

3 結(jié) 論

以上模型在本次預(yù)測研究中均有較好表現(xiàn)，都達到了《水文情報預(yù)報規(guī)范》的規(guī)定。由于ARIMA是一種嚴(yán)格的線性預(yù)測方法，而絕大多數(shù)水文序列屬于線性與非線性的綜合，因而應(yīng)用起來往往精度不高。為克服這一缺點，必須將其與非線性預(yù)測方法結(jié)合，這樣既保留了模型本身的線性預(yù)測能力又彌補了其在非線性預(yù)測方面的不足。

本文將ARIMA模型分別與db4小波、EMD方法以及BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)相結(jié)合，建立了3種不同的改進模型。實例表明，3種模型的預(yù)測精度均有不同程度的提高，尤其是結(jié)合了BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的ARIMA模型，平均相對誤差僅為5.1%，這是基于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)強大的容錯性與自適應(yīng)性。