Pound-Drever-Hall激光穩(wěn)頻系統(tǒng)線性化復(fù)頻域建模及分析研究

蘇 娟, 焦明星, 張凌晨, 邢俊紅(.西安理工大學(xué) 機(jī)械與精密儀器工程學(xué)院, 陜西 西安 70048;2.西安石油大學(xué) 光電油氣測井與檢測教育部重點實驗室, 陜西 西安 70065)

窄線寬超穩(wěn)激光器一般采用Pound-Drever-Hall(PDH)方法壓窄線寬。雖然采用PDH穩(wěn)頻方法的激光器由于無法提供絕對頻率參考而難以保證激光器的長期穩(wěn)定性,但卻具有優(yōu)異的短期頻率穩(wěn)定性能,因而在高分辨精密激光光譜[1-2]、光頻率標(biāo)準(zhǔn)[3-6]、引力波探測[7-8]、低噪聲超穩(wěn)微波信號產(chǎn)生[9]和精密物理實驗[10-11]等領(lǐng)域中都有著非常重要的應(yīng)用。

PDH穩(wěn)頻系統(tǒng)是一個閉環(huán)頻率跟蹤系統(tǒng),以F-P參考腔的中心頻率作為穩(wěn)頻基準(zhǔn),采用調(diào)制光譜技術(shù)和光外差探測技術(shù)將激光器頻率鎖定在該頻率基準(zhǔn)上。得到鑒頻曲線后,逐漸減小加載在激光腔上的線性掃描信號,將伺服系統(tǒng)控制信號加在激光腔上。此時,系統(tǒng)進(jìn)入頻率快速捕獲區(qū),PDH誤差信號與激光器頻率漂移成正比?？觳秴^(qū)內(nèi)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)決定了系統(tǒng)的穩(wěn)定性和是否能夠?qū)崿F(xiàn)無差鎖定;暫態(tài)響應(yīng)體現(xiàn)了系統(tǒng)的鎖定速度和鎖定誤差。以往的文獻(xiàn)大都對PDH穩(wěn)頻系統(tǒng)進(jìn)行建模,旨在分析各部分對噪聲的影響,確定主要噪聲來源并對主要噪聲進(jìn)行壓制,提高信噪比[12-13],并未對頻率快速捕獲區(qū)內(nèi)的穩(wěn)態(tài)和暫態(tài)響應(yīng)進(jìn)行分析。本文建立了頻率快捕區(qū)的PDH穩(wěn)頻系統(tǒng)線性化復(fù)頻域模型,分析了系統(tǒng)的靜態(tài)性能和動態(tài)性能,對于系統(tǒng)的穩(wěn)定性、穩(wěn)態(tài)誤差和暫態(tài)響應(yīng)進(jìn)行了研究,給出了控制模塊參數(shù)設(shè)計依據(jù)。

1 PDH穩(wěn)頻方法原理

1983年,Drever和Hall等人借鑒了1946年P(guān)ound使用微波腔進(jìn)行微波穩(wěn)頻的思想[14],利用射頻相位調(diào)制和光外差探測技術(shù)將激光頻率鎖定在F-P光學(xué)諧振腔的中心頻率上,得到了線寬小于100Hz的激光[15]。這種方法此后被稱為Pound-Drever-Hall(PDH)穩(wěn)頻方法。其系統(tǒng)框圖見圖1。

圖1 PDH穩(wěn)頻系統(tǒng)框圖.Fig.1 The schematic diagram of PDH system for frequency stabilization

文獻(xiàn)[16]對PDH穩(wěn)頻原理進(jìn)行了詳盡的數(shù)學(xué)描述,光電探測器探測到反射光的功率為:

P0{Re[F(ω)F*(ω+Ω)-

F*(ω)F(ω-Ω)]cosΩt+Im[F(ω)F*(ω+Ω)-

F*(ω)F(ω-Ω)]sinΩt}+(2Ωterms)

(1)

式中:P0為入射光功率;J0(β)和J1(β)分別為零階和一階貝塞爾函數(shù);β為調(diào)制度;ω為單頻激光器頻率;Ω為調(diào)制頻率;F(ω)為F-P腔的反射系數(shù);最后一項為兩個邊帶拍頻產(chǎn)生的2Ω項。

從式(1)可以看出,光電探測器輸出包括直流項,頻率為Ω和2Ω的交流項。其中,兩個頻率為Ω的項代表了反射光相對于入射光的相移大小。當(dāng)調(diào)制頻率Ω遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于激光器線寬νl時,兩個邊帶光不進(jìn)入F-P參考腔,在第一個腔鏡處被反射,相位幾乎不發(fā)生改變。此時,余弦項消失,式(1)中反映激光頻率變化的色散項為:

ε= -2J0(β)J1(β)P0Im{F(ω)F*(ω+Ω)-

F*(ω)F(ω-Ω)}

(2)

當(dāng)F-P腔的精細(xì)度足夠大,則有:

(3)

(4)

2 PDH系統(tǒng)線性化復(fù)頻域建模

PDH穩(wěn)頻系統(tǒng)的光路部分實質(zhì)上是一個鑒頻器,即經(jīng)過互阻放大器和帶通濾波器后的光電探測器輸出即為鑒頻器的輸出,可表示為:

uoν=kd·Δνsin(Ωt+φ(t))=uisin(Ωt+φ(t))

(5)

式中kd為鑒頻曲線的斜率和系統(tǒng)調(diào)理電路增益的乘積,在后面的描述中稱為鑒頻系數(shù)?；祛l器和低通濾波器的作用類似于鎖相環(huán)(Phase Locked Loop,PLL)中的鑒相器,PDH穩(wěn)頻系統(tǒng)采用移相器補(bǔ)償了光電探測器輸出與本振信號之間的相位差φ(t)。因此,PDH穩(wěn)頻系統(tǒng)經(jīng)過混頻濾波后的輸出為vd(t)=0.5uiuF,即PDH誤差信號ε與激光頻率失諧量Δω之間為一比例環(huán)節(jié)。

誤差信號ε經(jīng)過PI控制環(huán)節(jié)得到頻率調(diào)節(jié)信號Uc。PZT等效為一個電容,與其驅(qū)動電路一起等效為一階慣性環(huán)節(jié)[17]。PI控制器和PZT等效的二階環(huán)節(jié)起到了環(huán)路濾波器的作用,保證環(huán)路穩(wěn)定、改善環(huán)路跟蹤性能和噪聲特性。當(dāng)激光諧振頻率鎖定在F-P參考腔中心頻率上時,位于信號頻率附近的干擾成分將以低頻干擾的形式進(jìn)入環(huán)路,絕大部分的干擾會受到環(huán)路濾波器低通特性的抑制,從而將混進(jìn)輸入信號中的噪聲和雜散干擾濾除掉。

當(dāng)激光頻率在F-P腔諧振頻率附近變化時,由式(3)可知,誤差信號ε與激光頻率失諧量Δω為線性關(guān)系。建立激光頻率在頻率快速捕獲區(qū)的控制系統(tǒng)復(fù)頻域模型見圖2。其中,V0(s)為F-P參考腔諧振頻率,V(s)為激光頻率反饋信號,Ve(s)為激光器相對于F-P參考腔諧振頻率的漂移量,ε(s)為獲得的PDH誤差信號,Uc(s)為控制激光頻率變化的電壓信號。N(s)為F-P參考腔的噪聲干擾產(chǎn)生的頻率波動。

圖2 PDH系統(tǒng)的線性化復(fù)頻域模型Fig.2 Linearized complex frequency domain control model of PDH system

圖2所示系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為

(6)

式中：Kd為鑒頻系數(shù)(V/MHz);Kp為PI控制環(huán)節(jié)中的比例系數(shù);τi為積分時間常數(shù),約為10-3數(shù)量級;Kl為PZT壓電系數(shù)(nm/V)和腔長調(diào)諧系數(shù)(MHz/nm)的乘積,單位為MHz/V;τc為壓電陶瓷及其驅(qū)動電路的等效慣性環(huán)節(jié)時間常數(shù),約為10-3數(shù)量級。在PDH穩(wěn)頻技術(shù)中,開環(huán)增益越大,對相位噪聲的壓制效果越好。由式(6)可知,開環(huán)增益K=KdKpKl,對于已有穩(wěn)頻系統(tǒng),Kl是已知的,Kp一般較小,因此開環(huán)增益K的大小主要由鑒頻系數(shù)Kd決定。

3 靜態(tài)性能分析

3.1 系統(tǒng)穩(wěn)定性

系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)為:

(7)

由Routh判據(jù)可知,式(7)系統(tǒng)特征根均為實根,在s平面的左半平面,因此系統(tǒng)是穩(wěn)定的。

3.2 穩(wěn)態(tài)誤差分析

系統(tǒng)輸入誤差傳遞函數(shù)表征了輸出跟隨輸入信號的能力,圖2系統(tǒng)的誤差傳遞函數(shù)為:

(8)

令ν0(t)=a為階躍輸入,則

(9)

輸入產(chǎn)生的穩(wěn)態(tài)誤差essr為

(10)

即輸入信號產(chǎn)生的系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差為零,說明系統(tǒng)輸出能夠完全跟蹤輸入的變化。

F-P參考腔作為PDH穩(wěn)頻技術(shù)的穩(wěn)頻基準(zhǔn),其穩(wěn)定性極大程度上決定了該技術(shù)可能達(dá)到的穩(wěn)頻精度。由于F-P參考腔對環(huán)境溫度變化和噪音及振動尤為敏感,在穩(wěn)頻過程中,必須考慮其噪聲干擾N(s)對模型的靜態(tài)和動態(tài)性能的影響。

當(dāng)V0(s)=0時,干擾N(s)作用下的閉環(huán)傳遞函數(shù)為:

(11)

則系統(tǒng)總的輸出V(s)為:

V(s)=φr(s)V0(s)+φn(s)N(s)

(12)

令ν0(t)=a,n(t)=b,均為階躍輸入,則:

(13)

對式(13)進(jìn)行Laplace反變換,可得：

(14)

由式(14)可知,系統(tǒng)的階躍響應(yīng)是穩(wěn)定的。當(dāng)t→∞時,第三項的暫態(tài)響應(yīng)為零。令α=K/[τi(1+K)],則α越大,暫態(tài)響應(yīng)衰減越快。為了使得系統(tǒng)盡快穩(wěn)定,應(yīng)在不影響系統(tǒng)性能的情況下,盡量減小PI控制單元的積分常數(shù)τi。式(14)第一項為輸入產(chǎn)生的輸出,輸入與輸出相等,即系統(tǒng)可以無差跟蹤輸入,這與式(10)的結(jié)論相同。第二項為F-P參考腔噪聲產(chǎn)生的輸出,F-P參考腔噪聲將產(chǎn)生系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差,大小為輸入信號幅度的1/Kd。

3.3 擾動誤差分析

系統(tǒng)擾動誤差傳遞函數(shù)表征了系統(tǒng)抗干擾能力。圖2系統(tǒng)擾動誤差傳遞函數(shù)為:

(15)

n(t)為F-P腔噪聲干擾,為階躍輸入,則：

Ven(s)=φen(s)N(s)=

(16)

n(t)產(chǎn)生的穩(wěn)態(tài)誤差essn為：

(17)

由式(17)可知,由F-P參考腔引起的輸出穩(wěn)態(tài)誤差為鑒頻系數(shù)的倒數(shù)。即鑒頻系數(shù)越大,系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差越小,這與式(14)所得結(jié)論相同。式(14)和式(17)的表達(dá)式相差一個負(fù)號,這是因為擾動誤差傳遞函數(shù)是以參考值為零來衡量的。

4 動態(tài)性能分析

(18)

通常ξ′?ωn/K′,因此式(18)可近似表示為理想二階環(huán):

(19)

由圖3(a)可知,阻尼系數(shù)ξ越小,超調(diào)量越大,輸出震蕩過程越明顯;圖3(b)的近穩(wěn)態(tài)過程中,ξ<1,存在震蕩過程;ξ≥1時,輸出無震蕩過程,ξ越大,輸出跟蹤到輸入的過渡時間越長。

從系統(tǒng)誤差的暫態(tài)響應(yīng)分析,式(14)可相應(yīng)改寫為

(20)

取ξ為不同的數(shù)值,繪制系統(tǒng)階躍輸入下的誤差響應(yīng)曲線如圖4(a)所示。圖4(b)為5≤ωnt≤20 rad時的暫態(tài)過程。

圖3 不同ξ取值下PDH穩(wěn)頻系統(tǒng)歸一化階躍響應(yīng)曲線Fig.3 The normalized step response curve of PDH laser frequency stabilization system with different ξ’s

圖4 不同ξ取值下PDH穩(wěn)頻系統(tǒng)歸一化階躍響應(yīng)誤差曲線Fig.4 The normalized step response error curve of PDH laser frequency stabilization system with different ξ’s

從圖4(a)可以看出,0<ξ<1時,誤差響應(yīng)存在震蕩過程。ξ越小,震蕩越明顯;ξ≥1時,誤差平滑地接近零。圖4(b)說明ξ越接近1,誤差為零的過渡時間越短。

從抑制噪聲方面來說,噪聲帶寬越小,輸入白噪聲在輸出端響應(yīng)的方差越小,即PDH系統(tǒng)對噪聲的濾除能力越強(qiáng)。圖2所示系統(tǒng)模型的噪聲帶寬BW=ωn(1+4ξ2)/8ξ(Hz),BW與ωn成正比[18]。因此,要增大信噪比,就要減小ωn。假若ξ≈1,則BW≈0.625ωn。但是,從系統(tǒng)的暫態(tài)指標(biāo)公式來看,ωn越小,暫態(tài)調(diào)節(jié)時間和上升時間都會增加。將K≈4τc/τi代入ωn的表達(dá)式,可得τi≈2/ωn。取ωn為不同的數(shù)值,繪制系統(tǒng)階躍輸入下的歸一化響應(yīng)曲線見圖5。

圖5 不同ωn時PDH穩(wěn)頻系統(tǒng)歸一化階躍響應(yīng)曲線Fig.5 The normalized step response curve of PDH laser frequency stabilization system with different ωn’s

由圖5可以看出,若要鎖定時間達(dá)μs級,ωn應(yīng)大于104,即積分常數(shù)τi應(yīng)在10-4數(shù)量級,但此時系統(tǒng)噪聲帶寬將會在kHz量級。因此,既要保證噪聲改善,又要保證較小的超調(diào)和過渡時間,τi要綜合考慮選擇。

5 結(jié) 論

當(dāng)不斷減小加在激光腔上的線性掃描電壓幅度,同時調(diào)節(jié)直流偏置,PDH穩(wěn)頻系統(tǒng)進(jìn)入頻率快速捕獲區(qū)。在快捕區(qū)內(nèi),PDH誤差信號與激光頻率變化量成正比。本文建立了PDH線性化控制系統(tǒng)復(fù)頻域模型,并根據(jù)此模型分析了PDH系統(tǒng)的靜態(tài)和動態(tài)性能。系統(tǒng)能夠無差跟蹤激光頻率的變化,然而F-P參考腔會引起輸出穩(wěn)態(tài)誤差,大小與鑒頻系數(shù)的倒數(shù)成正比。環(huán)路固有頻率ωn和阻尼系數(shù)ξ影響系統(tǒng)的動態(tài)性能,從噪聲抑制方面和暫態(tài)響應(yīng)分析的結(jié)果來看,PDH穩(wěn)頻系統(tǒng)應(yīng)設(shè)計為近臨界阻尼系統(tǒng),積分常數(shù)τi在10-4數(shù)量級時,鎖定時間可達(dá)μs級,但會使得系統(tǒng)噪聲帶寬增大,在實際系統(tǒng)設(shè)計時,應(yīng)綜合考慮選擇。