基于囚徒困境策略的改進(jìn)HK網(wǎng)絡(luò)上的合作博弈

鄧云生，楊洪勇

（魯東大學(xué) 信息與電氣工程學(xué)院，山東 煙臺(tái) 264025）

隨著復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)研究的興起，許多現(xiàn)實(shí)世界中的系統(tǒng)都可以使用復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行描述。系統(tǒng)中的元素被視為網(wǎng)絡(luò)中的節(jié)點(diǎn)，節(jié)點(diǎn)的邊用來(lái)表示元素之間的相互作用和關(guān)系。例如，現(xiàn)實(shí)社會(huì)中的演員合作網(wǎng)、交通運(yùn)輸網(wǎng)、Internet網(wǎng)等都可以用復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行描述?，F(xiàn)實(shí)網(wǎng)絡(luò)規(guī)模巨大，節(jié)點(diǎn)間聯(lián)系多而復(fù)雜的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)引起許多學(xué)者的極大興趣，對(duì)其進(jìn)行了大量的研究。

1 網(wǎng)絡(luò)博弈研究現(xiàn)狀

最為成功的復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)模型當(dāng)屬WS小世界網(wǎng)絡(luò)模型[1]和BA無(wú)標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)模型[2]。許多復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)方面的研究都是基于這兩個(gè)模型而展開(kāi)的。然而這兩個(gè)模型都有不足之處，不能真實(shí)再現(xiàn)現(xiàn)實(shí)中的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)。WS模型具有與現(xiàn)實(shí)網(wǎng)絡(luò)相符合的高聚類(lèi)系數(shù)特征，但其度分布為泊松分布，這與現(xiàn)實(shí)網(wǎng)絡(luò)不符。BA模型的度分布具有與現(xiàn)實(shí)相符的冪律特點(diǎn)，但其聚類(lèi)系數(shù)卻很低，這一特征與現(xiàn)實(shí)網(wǎng)絡(luò)尤其是社會(huì)網(wǎng)絡(luò)的特征相去甚遠(yuǎn)。

有鑒于此，Holmes和Kim[3]構(gòu)造了一種可調(diào)聚類(lèi)系數(shù)的網(wǎng)絡(luò)模型(HK模型)，該模型利用一個(gè)可調(diào)參數(shù) pt通過(guò)不斷構(gòu)造網(wǎng)絡(luò)的局部三角形結(jié)構(gòu)，最終形成一個(gè)同時(shí)具有高聚類(lèi)特性和冪律分布特性的網(wǎng)絡(luò)。其基本思想是，考慮到聚類(lèi)系數(shù)實(shí)際上描述的是第3個(gè)節(jié)點(diǎn)與前兩個(gè)節(jié)點(diǎn)一起形成三角形的概率，因此在網(wǎng)絡(luò)的形成過(guò)程中故意增大形成三角形的可能，則可實(shí)現(xiàn)改變聚類(lèi)系數(shù)的目的。HK網(wǎng)絡(luò)模型提出后，許多學(xué)者在此基礎(chǔ)上對(duì)其進(jìn)行了改進(jìn)和研究。文獻(xiàn)[4]在HK網(wǎng)絡(luò)的基礎(chǔ)上，通過(guò)引進(jìn)新增節(jié)點(diǎn)所應(yīng)具備的連接動(dòng)態(tài)性，改進(jìn)了HK模型的局部特性；文獻(xiàn)[5]提出了度分布和聚類(lèi)系數(shù)均可調(diào)的擴(kuò)展HK模型，將HK網(wǎng)絡(luò)模型中的三角形結(jié)構(gòu)擴(kuò)展到舊的節(jié)點(diǎn)之間；文獻(xiàn)[6]在HK模型基礎(chǔ)上引入加速增長(zhǎng)機(jī)制，再現(xiàn)了真實(shí)網(wǎng)絡(luò)中低階冪律集團(tuán)度分布特性；文獻(xiàn)[7]提出的改進(jìn)HK網(wǎng)絡(luò)模型綜合考慮了“優(yōu)先連接”、“三角結(jié)構(gòu)”、“內(nèi)部演化”等機(jī)制；文獻(xiàn)[8]研究了基于HK模型的交通網(wǎng)絡(luò)，在此基礎(chǔ)上提出了一種新的路由算法，有效緩解了交通擁堵，大大提高了交通運(yùn)輸?shù)呢?fù)載能力；文獻(xiàn)[9]進(jìn)一步推廣了HK網(wǎng)絡(luò)，改進(jìn)了HK網(wǎng)絡(luò)構(gòu)造過(guò)程中兩步的連接方式，對(duì)同一時(shí)間內(nèi)采用度優(yōu)先連接的節(jié)點(diǎn)數(shù)量及其被連接的鄰居數(shù)量進(jìn)行限制，構(gòu)造出一種新的具有冪律分布且平均聚類(lèi)系數(shù)可調(diào)的網(wǎng)絡(luò)模型；文獻(xiàn)[10]研究了HK網(wǎng)絡(luò)上聚類(lèi)系數(shù)對(duì)級(jí)聯(lián)故障的影響，研究結(jié)果表明，具有過(guò)高或過(guò)低聚類(lèi)系數(shù)的網(wǎng)絡(luò)在面對(duì)蓄意攻擊時(shí)表現(xiàn)出脆弱性的一面，而具有適度聚類(lèi)系數(shù)的網(wǎng)絡(luò)能更好地抵御級(jí)聯(lián)故障的傳播；文獻(xiàn)[11]研究了聚類(lèi)系數(shù)在相互關(guān)聯(lián)的兩個(gè)HK網(wǎng)絡(luò)面臨蓄意攻擊時(shí)的作用，研究發(fā)現(xiàn)高聚類(lèi)系數(shù)會(huì)增大網(wǎng)絡(luò)的脆弱性；文獻(xiàn)[12]提出了一個(gè)改進(jìn)的在線(xiàn)社交網(wǎng)絡(luò)謠言傳播模型，并在HK網(wǎng)絡(luò)環(huán)境上進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn)，實(shí)驗(yàn)結(jié)果發(fā)現(xiàn)，謠言的傳播能力會(huì)隨著網(wǎng)絡(luò)聚類(lèi)系數(shù)的增加而得到抑制；文獻(xiàn)[13]在HK網(wǎng)絡(luò)模型上，采用Susceptible-Infective-Removal(SIR)模型進(jìn)行傳播影響力的仿真實(shí)驗(yàn)，得出了網(wǎng)絡(luò)聚類(lèi)系數(shù)的改變會(huì)對(duì)節(jié)點(diǎn)中心性指標(biāo)的準(zhǔn)確性產(chǎn)生重要影響的結(jié)論。

復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)上的博弈研究始于Nowak和May[14]研究的囚徒困境博弈在規(guī)則方格網(wǎng)絡(luò)上的動(dòng)態(tài)演化，研究發(fā)現(xiàn)合作者在方格網(wǎng)絡(luò)上可以通過(guò)聚集來(lái)抵抗背叛策略入侵。受此影響，許多學(xué)者采用不同的博弈模型在不同的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)上進(jìn)行研究，得到了豐富的理論成果。例如，文獻(xiàn)[15]研究了可調(diào)聚類(lèi)系數(shù)的無(wú)標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)上的合作現(xiàn)象，研究發(fā)現(xiàn)高聚類(lèi)系數(shù)有利于網(wǎng)絡(luò)中合作行為的演化；文獻(xiàn)[16]研究了齊次網(wǎng)絡(luò)上的囚徒困境博弈，研究結(jié)果表明改變收益矩陣中的參數(shù)確實(shí)會(huì)影響系統(tǒng)的演化過(guò)程；Li等[17]在3種規(guī)則網(wǎng)絡(luò)上研究了雪堆博弈，研究發(fā)現(xiàn)在復(fù)制動(dòng)力學(xué)策略調(diào)整規(guī)則下可以抑制合作行為的參數(shù)區(qū)間；Zhang等[18]研究了隨機(jī)規(guī)則網(wǎng)絡(luò)上的雪崩博弈，研究發(fā)現(xiàn)當(dāng)雪崩博弈成本收益率較小時(shí)，系統(tǒng)演化為全面合作狀態(tài)，反之合作與背叛在系統(tǒng)中共生；文獻(xiàn)[19]研究了基于記憶效應(yīng)的囚徒博弈在相互依存網(wǎng)絡(luò)中的合作現(xiàn)象，發(fā)現(xiàn)了與記憶長(zhǎng)度和依賴(lài)程度相關(guān)的最優(yōu)參數(shù)區(qū)間，可以極大地促進(jìn)網(wǎng)絡(luò)中合作現(xiàn)象的涌現(xiàn)；文獻(xiàn)[20]研究了加權(quán)網(wǎng)絡(luò)空間上的囚徒博弈，通過(guò)仿真實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)網(wǎng)絡(luò)中合作者密度會(huì)隨網(wǎng)絡(luò)耦合程度的升高而變大；文獻(xiàn)[21]研究雙復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)上的囚徒博弈，可以提高合作的水平，同時(shí)也揭示雙網(wǎng)絡(luò)模型下背叛領(lǐng)袖對(duì)合作水平的影響及其與合作領(lǐng)袖的互動(dòng)機(jī)理。

受以上研究啟發(fā)，本文提出了一種改進(jìn)的HK網(wǎng)絡(luò)模型，改進(jìn)后的模型在服從冪律分布且冪律可調(diào)的情況下與HK網(wǎng)絡(luò)模型相比具有更高的聚集系數(shù)。由于網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)的改變是影響演化博弈的一個(gè)重要因素，本文在改進(jìn)的HK網(wǎng)絡(luò)模型上采用囚徒博弈模型，進(jìn)一步研究了網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)對(duì)博弈中合作行為的影響。

2 改進(jìn)的HK網(wǎng)絡(luò)模型

2.1 網(wǎng)絡(luò)模型內(nèi)部演化機(jī)制

現(xiàn)實(shí)的社會(huì)網(wǎng)絡(luò)中，相識(shí)的兩個(gè)人可能同時(shí)認(rèn)識(shí)一個(gè)新的朋友，進(jìn)而有一定的機(jī)率同時(shí)認(rèn)識(shí)這個(gè)新朋友的朋友，本文提出的改進(jìn)后的HK模型正是反映了這種情況。

HK網(wǎng)絡(luò)構(gòu)造過(guò)程如下。

1)初始狀態(tài)：網(wǎng)絡(luò)初始狀態(tài)有m0個(gè)全連通節(jié)點(diǎn)。

2)增長(zhǎng)機(jī)制：每一個(gè)時(shí)間步，向網(wǎng)絡(luò)中加入一個(gè)帶有 m條 邊的節(jié)點(diǎn)i 。連接過(guò)程中，節(jié)點(diǎn)i的第一條邊按照度優(yōu)先規(guī)則連接到網(wǎng)絡(luò)中已存在的節(jié)點(diǎn) j，即選擇節(jié)點(diǎn) j 的 概率為

3)其余 m ?1 條 邊以概率 p 隨 機(jī)連接到節(jié)點(diǎn) j的鄰居上，否則以概率1 ?p使用度優(yōu)先規(guī)則在網(wǎng)絡(luò)中擇優(yōu)連接。

在此基礎(chǔ)上，本文提出了如下改進(jìn)HK網(wǎng)絡(luò)模型(EHK)的演化機(jī)制。

1)初始狀態(tài): 網(wǎng)絡(luò)初始狀態(tài)有 m0個(gè)全連通節(jié)點(diǎn)。

2)增長(zhǎng)機(jī)制: 每一個(gè)時(shí)間步，加入兩個(gè)連接在一起的節(jié)點(diǎn)，每個(gè)節(jié)點(diǎn)有 m 條邊。這兩個(gè)節(jié)點(diǎn)的每一條邊進(jìn)行兩兩配對(duì)，共有 m 對(duì)邊與網(wǎng)絡(luò)中已經(jīng)存在的節(jié)點(diǎn)進(jìn)行相連。這兩個(gè)節(jié)點(diǎn)之中的第一對(duì)邊按度優(yōu)先規(guī)則與網(wǎng)絡(luò)中已存在節(jié)點(diǎn)(例如選中節(jié)點(diǎn)j)進(jìn)行連接。

3)其余 m ?1 對(duì) 邊，首先考慮以概率 p連接到節(jié)點(diǎn) j的鄰節(jié)點(diǎn)上。在此過(guò)程中，若有 le n≥m?1 ( l e n為節(jié)點(diǎn) j的鄰居節(jié)點(diǎn)數(shù)目)，可將 m ?1對(duì)邊隨機(jī)無(wú)重復(fù)連接到i的鄰節(jié)點(diǎn)上，否則 j的鄰節(jié)點(diǎn)全部與新加入的節(jié)點(diǎn)相連，多出的 m ?1?len對(duì)邊在全局按照度優(yōu)先規(guī)則進(jìn)行連接。

4)若 m ?1 對(duì) 邊未能以概率 p 與 節(jié)點(diǎn) j的鄰節(jié)點(diǎn)相連，則這 m ?1對(duì)邊在全局按照度優(yōu)先規(guī)則進(jìn)行連接。

5)終止條件: 重復(fù) 2)、3)、4)步，直至網(wǎng)絡(luò)規(guī)模N達(dá)到設(shè)定值。

2.2 EHK網(wǎng)絡(luò)模型演化動(dòng)力學(xué)分析

根據(jù)EHK網(wǎng)絡(luò)模型演化機(jī)制，經(jīng)過(guò)t步 ，點(diǎn)i在t+1時(shí) 刻的度ki的動(dòng)力學(xué)方程滿(mǎn)足:

式中 kj1,kj2,···,kjv為節(jié)點(diǎn)i的鄰居。

網(wǎng)絡(luò)中的節(jié)點(diǎn)每增加一條連邊，網(wǎng)絡(luò)中的度增加2。每一時(shí)刻網(wǎng)絡(luò)中增加2個(gè)節(jié)點(diǎn)，網(wǎng)絡(luò)中增加2m+1 條 連邊，網(wǎng)絡(luò)的度增加4 m +2。

解該方程:

將節(jié)點(diǎn)i看 作 ti時(shí) 刻進(jìn)入網(wǎng)絡(luò)的節(jié)點(diǎn)，則 ki=m+1；將 ki代入式(3)得

節(jié)點(diǎn)i的度為

假設(shè)等時(shí)間間隔向網(wǎng)絡(luò)中增加節(jié)點(diǎn)，則 ti的概率密度

進(jìn)而有

由式 (7 )可 知，當(dāng) t → ∞時(shí) ， p (k)≈ 2m2k?3?m1。

這表明，本文提出的EHK模型的度分布近似服從冪指數(shù) γ =3+m?1的 冪律分布。冪指數(shù) γ ∈(3,4]，這意味著EHK模型是一個(gè)非均勻的異質(zhì)網(wǎng)絡(luò)。隨著 γ增大，EHK的度分布的均勻性也不斷增加。故EHK模型同時(shí)也是一個(gè)冪指數(shù)可調(diào)的冪律度分布網(wǎng)絡(luò)模型。

由網(wǎng)絡(luò)模型的構(gòu)造算法可看出每一個(gè)時(shí)間步引入的節(jié)點(diǎn)與網(wǎng)絡(luò)中已存在的節(jié)點(diǎn)每進(jìn)行一次成功連接，必然構(gòu)造出一個(gè)局部三角形結(jié)構(gòu)，通過(guò)聚類(lèi)系數(shù)的定義直觀上可以看出由該演化機(jī)制構(gòu)造的網(wǎng)絡(luò)模型必然具有更高的聚類(lèi)系數(shù)。

2.3 仿真分析

為驗(yàn)證2.2節(jié)中的結(jié)論，檢驗(yàn)提出的EHK網(wǎng)絡(luò)模型是否會(huì)繼承HK網(wǎng)絡(luò)模型度分布服從冪律分布這一特性，本文通過(guò)仿真實(shí)驗(yàn)做出EHK網(wǎng)絡(luò)的度分布圖(見(jiàn)圖1)。圖1中網(wǎng)絡(luò)初始狀態(tài)為 m0=100，m=80， p =0.8 最終生成的網(wǎng)絡(luò)規(guī)模大小 N =11 000。由生成的結(jié)果度分布圖可看出EHK網(wǎng)絡(luò)的度分布具有冪律分布的特點(diǎn)，即絕大部分的節(jié)點(diǎn)度相對(duì)較低，但存在少量度值相對(duì)很高的節(jié)點(diǎn)，這類(lèi)度值高的節(jié)點(diǎn)通常也被稱(chēng)為hub節(jié)點(diǎn)。這類(lèi)度分布服從冪律分布的網(wǎng)絡(luò)也被稱(chēng)為冪律網(wǎng)絡(luò)。

圖1 EHK網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)度分布圖Fig. 1 Degree distribution of EHK networks

此外，網(wǎng)絡(luò)中節(jié)點(diǎn)i的聚類(lèi)系數(shù)Ci的幾何定義為

對(duì)網(wǎng)絡(luò)所有節(jié)點(diǎn)的聚類(lèi)系數(shù) Ci取平均值,就得到整個(gè)網(wǎng)絡(luò)的平均聚類(lèi)系數(shù)CC，即

網(wǎng)絡(luò)的平均聚類(lèi)系數(shù)CC可以用來(lái)描述網(wǎng)絡(luò)中節(jié)點(diǎn)之間形成三角形結(jié)構(gòu)的趨勢(shì)。其值反映了網(wǎng)絡(luò)中三角結(jié)構(gòu)連接的密度。由網(wǎng)絡(luò)模型的構(gòu)造算法可看出，每一個(gè)時(shí)間步引入的節(jié)點(diǎn)與網(wǎng)絡(luò)中已存在的節(jié)點(diǎn)每進(jìn)行一次成功連接，必然構(gòu)造出一個(gè)局部三角形結(jié)構(gòu)。通過(guò)聚類(lèi)系數(shù)的定義直觀上可以看出，由該演化機(jī)制構(gòu)造的網(wǎng)絡(luò)模型必然具有更高的聚類(lèi)系數(shù)。

圖2中的仿真結(jié)果顯示了本文提出的網(wǎng)絡(luò)模型的聚類(lèi)系數(shù)與HK模型平均聚類(lèi)系數(shù)的比較，初始條件為 m0=10， m =4 ， 最終生成網(wǎng)絡(luò)規(guī)模 N =5 000，圖中每一個(gè)數(shù)據(jù)是10組運(yùn)算取平均值后所得到的結(jié)果。

圖2 EHK網(wǎng)絡(luò)與HK網(wǎng)絡(luò)平均聚類(lèi)系數(shù)對(duì)比Fig. 2 Comparison of the average clustering coefficient between EHK and HK

由仿真結(jié)果可見(jiàn)，相同條件下，聚類(lèi)系數(shù)的值隨可調(diào)節(jié)概率 p 的值增加而增加；概率 p相同時(shí)，采用新算法生成網(wǎng)絡(luò)的聚類(lèi)系數(shù)要高于HK算法生成網(wǎng)絡(luò)的聚類(lèi)系數(shù)。此外，在求得各個(gè)節(jié)點(diǎn)的聚類(lèi)系數(shù)基礎(chǔ)上，還可以進(jìn)一步定義度為k的節(jié)點(diǎn)的聚類(lèi)系數(shù)平均值并將其表示為節(jié)點(diǎn)度的函數(shù)，即

其中 ωkik定義為

研究表明，許多真實(shí)網(wǎng)絡(luò)的 C (k)分布服從冪律分布，即 C (k)～ k?γ(γ ＞ 0)。對(duì)圖1中的網(wǎng)絡(luò)，做出其聚類(lèi)系數(shù)與節(jié)點(diǎn)度相關(guān)性曲線(xiàn)(見(jiàn)圖3)。由圖3仿真結(jié)果可知，EHK網(wǎng)絡(luò)中節(jié)點(diǎn)的平均聚類(lèi)系數(shù)隨著節(jié)點(diǎn)度數(shù) k的增大而減小，即EHK網(wǎng)絡(luò)中度數(shù)大的節(jié)點(diǎn)具有較小的平均聚類(lèi)系數(shù)，而度數(shù)小的節(jié)點(diǎn)的平均聚類(lèi)系數(shù)較大。這也說(shuō)明，EHK網(wǎng)絡(luò)中度數(shù)較小的節(jié)點(diǎn)及其鄰接點(diǎn)之間的聯(lián)系更加緊密。

圖3 平均聚類(lèi)系數(shù)C (K)與度的關(guān)系Fig. 3 Relation between the average clustering coefficient and degree k

真實(shí)世界的網(wǎng)絡(luò)往往為冪律網(wǎng)絡(luò)，且具有高聚類(lèi)的特性。由圖1和圖2的分析可知，本文構(gòu)建的網(wǎng)絡(luò)模型成功再現(xiàn)了這兩個(gè)特征，并且圖3的仿真結(jié)果也說(shuō)明本文構(gòu)建的網(wǎng)絡(luò)符合現(xiàn)實(shí)網(wǎng)絡(luò)的特征，由此可見(jiàn)本文所構(gòu)建的網(wǎng)絡(luò)模型能夠很好地描述真實(shí)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)特性。

3 EHK網(wǎng)絡(luò)上囚徒博弈

3.1 囚徒博弈模型

在囚徒困境博弈模型(prisoner’s dilemma game，PDG)中，每個(gè)人都有兩種選擇合作(cooperation，C)與背叛 (defection，D)。其收益矩陣為

式中：最左側(cè)一列代表自己的選擇；最上面一行代表對(duì)方的選擇；R為相互合作的獎(jiǎng)勵(lì)，即(C, C)策略組合中，選擇C策略所獲得的個(gè)體收益；S為給傻瓜的報(bào)酬，即(C, D)策略組合中選擇D策略所獲得的個(gè)體收益；T為背叛的誘惑(temptation to defect)，即(D, C)策略組合中，選擇D策略的個(gè)體收益；P為相互背叛的懲罰，即(D, D)策略組合中，采用D 策略的個(gè)體收益，且滿(mǎn)足 T ＞R＞P＞S，2R＞T+S。在上述情形下，理性的參與者總是會(huì)選擇背叛策略作為自己的最佳策略，但從總體而言只有都選擇合作策略才能使收益達(dá)到最大。然而當(dāng)理性的參與者相互背叛時(shí)，沒(méi)有參與者愿意單方面改變自己的策略，因?yàn)檫@樣做會(huì)降低自身的收益，因此相互背叛狀態(tài)(D, D)就構(gòu)成了囚徒博弈的納什均衡狀態(tài)。

本文提出的EHK網(wǎng)絡(luò)中每一個(gè)節(jié)點(diǎn)代表一個(gè)博弈個(gè)體。采用由Nowak和May提出的簡(jiǎn)化的單參數(shù)囚徒博弈模型，其收益矩陣為式中 b ＞1。 令 S代表博弈個(gè)體的策略類(lèi)型，其取值為[1 0]T( 代表合作)或 [0 1]T( 代表背叛)；個(gè)體i與其鄰居 j進(jìn)行一次博弈所得收益 ui可 以表示為 ui=STiPSj，在每一輪博弈過(guò)程中，每個(gè)博弈個(gè)體都與自己直接相連的鄰居進(jìn)行博弈，將博弈個(gè)體i得到的收益總和記為

式中 ?i為 i的所有鄰居節(jié)點(diǎn)集合。然后所有個(gè)體更新它們的策略，即個(gè)體i 隨機(jī)選擇自己的鄰居 j，比較它們的收益，若有 ui≥uj， 則個(gè)體i在下一輪中采取的博弈策略不變；否則個(gè)體i將 以概率 pi←j采取其鄰居j的策略進(jìn)行下一輪博弈。其中

此外合作者密度 ρc(t)是用來(lái)刻畫(huà)網(wǎng)絡(luò)博弈行為的重要物理量，其定義為采取合作策略的博弈個(gè)體占所有博弈個(gè)體的比例，即 ρc(t)=nc(t)N?1， nc(t)表示t博弈時(shí)采用合作策略的博弈個(gè)體數(shù)量。在網(wǎng)絡(luò)科學(xué)研究的過(guò)程中通常會(huì)關(guān)注某一類(lèi)節(jié)點(diǎn)的整體行為。當(dāng)網(wǎng)絡(luò)博弈進(jìn)行的某一時(shí)刻，網(wǎng)絡(luò)中采取合作策略的節(jié)點(diǎn)比例趨于穩(wěn)定不再發(fā)生變化，則稱(chēng)這些采取合作策略的節(jié)點(diǎn)達(dá)到合作穩(wěn)定狀態(tài)。這種多數(shù)節(jié)點(diǎn)的合作穩(wěn)定狀態(tài)也正是本文需要研究的內(nèi)容。博弈初始時(shí)刻，采用合作策略和背叛策略的博弈個(gè)體均以50%的比例隨機(jī)存在于生成的EHK網(wǎng)絡(luò)中，每個(gè)博弈個(gè)體根據(jù)其初始策略和收益矩陣按照式(1)計(jì)算其收益總和，然后根據(jù)策略更新規(guī)則式(15)更新其策略，更新完后的策略作為博弈個(gè)體下一輪博弈中使用的策略。每一次博弈策略的更新會(huì)使合作者密度 ρc(t)在下一次博弈之前發(fā)生變化，隨著博弈的不斷進(jìn)行，合作者密度 ρc(t)會(huì)逐漸達(dá)到動(dòng)態(tài)平衡狀態(tài)。博弈演化流程如圖4所示。

3.2 仿真分析

3.2.1 高聚類(lèi)特性對(duì)合作行為的影響

由第2節(jié)的研究可知，相同條件下可調(diào)節(jié)概率p的值越大，其生成網(wǎng)絡(luò)的聚類(lèi)系數(shù)越高，故可直接用 p值對(duì)網(wǎng)絡(luò)動(dòng)力學(xué)特征進(jìn)行討論。在由 m0=m=2、T=1.5生 成 N =1 000的EHK網(wǎng)絡(luò)上進(jìn)行博弈，初始時(shí)采用合作策略的個(gè)體和采用背叛策略的個(gè)體均以50%的比例隨機(jī)存在于網(wǎng)絡(luò)中，博弈演化規(guī)則如圖4所示，博弈次數(shù)1 000次，取最后50次博弈中合作者密度的平均值為達(dá)到動(dòng)態(tài)平衡時(shí)的合作者密度，記為 fc仿真結(jié)果如圖5所示。

圖4 博弈演化流程Fig. 4 Process of game evolution

圖5 合作者比例隨聚類(lèi)系數(shù)變化Fig. 5 Variation in the partner proportion and clustering coefficient

圖5 中每個(gè)數(shù)據(jù)是相同初始條件下10次重復(fù)實(shí)驗(yàn)所得到的平均值。由圖5仿真結(jié)果可知合作者比例維持在0.75以上，這充分表明EHK網(wǎng)絡(luò)對(duì)合作行為具有較大的促進(jìn)作用。其原因是，EHK網(wǎng)絡(luò)是高聚類(lèi)異質(zhì)網(wǎng)絡(luò)，其中必然會(huì)存在許多具有多三角形結(jié)構(gòu)的高連接度的hub節(jié)點(diǎn)，若hub節(jié)點(diǎn)選擇合作策略，由于其采用累計(jì)收益的計(jì)算方式，會(huì)使hub節(jié)點(diǎn)獲得較高的收益，由式(15)可知其所采用的合作策略容易被其低收益的鄰居節(jié)點(diǎn)采納。由式(13)可知采用(C, C)策略的雙方收益都為1，而hub節(jié)點(diǎn)采用累計(jì)收益的計(jì)算方式，會(huì)使其始終成為被模仿的對(duì)象，這有利于合作行為在網(wǎng)絡(luò)中進(jìn)行傳播。

若hub節(jié)點(diǎn)初始采用背叛策略，則由累計(jì)收益的計(jì)算方式和式(13)可知，hub節(jié)點(diǎn)會(huì)從其大量采用合作策略的鄰居中獲得較高的收益，由博弈演化策略可知，這些采用背叛策略的鄰居在進(jìn)行策略調(diào)整時(shí)會(huì)模仿hub節(jié)點(diǎn)的背叛策略，而由式(13)可知采用(D, D)策略的雙方收益為零，故在下一次的網(wǎng)絡(luò)博弈中hub節(jié)點(diǎn)的收益會(huì)隨著采用背叛策略鄰居增多而大幅下降。

隨著網(wǎng)絡(luò)博弈的進(jìn)行，hub節(jié)點(diǎn)的收益會(huì)下降到使其本身所采用的背叛策略不再是其鄰居節(jié)點(diǎn)模仿的對(duì)象，進(jìn)而在某一時(shí)刻hub節(jié)點(diǎn)會(huì)模仿其鄰居的合作策略，此時(shí)利用其hub節(jié)點(diǎn)本身具有的多連接的資源優(yōu)勢(shì)隨著網(wǎng)絡(luò)博弈的進(jìn)一步演化會(huì)逐漸使其采用的合作策略成為被鄰居節(jié)點(diǎn)模仿的對(duì)象。

由上述分析可知合作策略容易占據(jù)網(wǎng)絡(luò)中的高度連接的hub節(jié)點(diǎn)，進(jìn)而影響其周?chē)従右膊捎煤献鞑呗裕龠M(jìn)在EHK網(wǎng)絡(luò)上合作現(xiàn)象的涌現(xiàn)。

3.2.2 背叛的誘惑對(duì)合作行為的影響

本節(jié)考慮收益矩陣式(13)中參數(shù) b(背叛的誘惑)增大時(shí)，對(duì)網(wǎng)絡(luò)上博弈個(gè)體的合作行為的影響。在初始狀態(tài)為 m0=m=2 ， 規(guī)模 N =1 000的EHK網(wǎng)絡(luò)上進(jìn)行80次博弈后的仿真結(jié)果(見(jiàn)圖6)。由圖6可見(jiàn)，無(wú)論可調(diào)概率 P 值取多大，當(dāng)誘惑參數(shù) b值增大時(shí)，群體中合作者的均衡密度 fc都呈現(xiàn)出減小的趨勢(shì)。這是因?yàn)?，?dāng)誘惑參數(shù) b增大時(shí)節(jié)點(diǎn)采取背叛策略將得到更大的收益，而采取合作策略的節(jié)點(diǎn)的收益并沒(méi)有增加。由策略調(diào)整式(14)可知，這將會(huì)增大兩者收益之差，進(jìn)而會(huì)加大合作者模仿背叛者的概率，從而在宏觀上表現(xiàn)為合作者的密度 fc的值下降。然而，合作者均衡密度雖然整體呈現(xiàn)下降趨勢(shì)，但下降幅度并不大，這種較小的降幅主要是因?yàn)镋HK網(wǎng)絡(luò)的空間結(jié)構(gòu)對(duì)合作行為在囚徒博弈上的影響。過(guò)高的聚類(lèi)系數(shù)使得網(wǎng)絡(luò)中節(jié)點(diǎn)的聯(lián)系更加密切，必然會(huì)使得低連接度的節(jié)點(diǎn)在高連接度的節(jié)點(diǎn)周?chē)纬扇墙Y(jié)構(gòu)，這種三角結(jié)構(gòu)會(huì)使得當(dāng)高度節(jié)點(diǎn)偶爾采用背叛策略時(shí)，低度節(jié)點(diǎn)仍然保持合作策略不變[14]。大量的這種三角形結(jié)構(gòu)會(huì)在空間集結(jié)成簇，共同抵御背叛策略的入侵。

圖6 合作者密度與欺騙誘惑關(guān)系Fig. 6 Relationship between the partner density and deception temptation

此外，圖6也從另一方面說(shuō)明網(wǎng)絡(luò)中這種擁有大量鄰居節(jié)點(diǎn)的hub節(jié)點(diǎn)往往受到合作策略的眷顧，并且會(huì)在欺騙誘惑增大的情況下，起到阻礙背叛策略傳播的作用。

4 結(jié)束語(yǔ)

本文在HK網(wǎng)絡(luò)基礎(chǔ)上提出了一種高聚類(lèi)冪律可調(diào)的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)模型，該模型與原HK網(wǎng)絡(luò)模型相比具有更高的聚類(lèi)系數(shù)。進(jìn)一步在此模型基礎(chǔ)上進(jìn)行博弈演化策略的研究，研究結(jié)果表明高聚類(lèi)冪律可調(diào)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)有利于促進(jìn)博弈中合作現(xiàn)象的涌現(xiàn)，并且隨著博弈模型中誘惑參數(shù)的增大合作者所占比例會(huì)隨之降低。