基于矩陣運(yùn)算的超網(wǎng)絡(luò)構(gòu)建方法研究及特性分析

劉勝久，李天瑞，洪西進(jìn),3，王紅軍，珠杰,4

（1. 西南交通大學(xué) 信息科學(xué)與技術(shù)學(xué)院，四川 成都 611756; 2. 西南交通大學(xué) 四川省云計(jì)算與智能技術(shù)高校重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，四川 成都 611756; 3. 臺(tái)灣科技大學(xué) 資訊工程系，臺(tái)灣 臺(tái)北 10607; 4. 西藏大學(xué) 計(jì)算機(jī)系，西藏 拉薩 850000）

復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)可較好地描述并刻畫復(fù)雜系統(tǒng)，對(duì)其系統(tǒng)性研究起源于20世紀(jì)Erdos與Renyi二者合作提出的ER隨機(jī)網(wǎng)絡(luò)模型[1]。一些相近的其他模型，包括WS/NW小世界網(wǎng)絡(luò)模型[2-3]及BA無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)模型[4]等同類別其他復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)模型相繼提出。

小世界特性與無標(biāo)度特性被稱為復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)兩大特性，對(duì)它們進(jìn)行分析也成為復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的研究熱點(diǎn)[5-6]。近幾年，自相似特性成為復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)新的研究熱點(diǎn)[7-8]。小世界網(wǎng)絡(luò)模型、無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)模型與自相似網(wǎng)絡(luò)模型的各種改進(jìn)是復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的重點(diǎn)研究內(nèi)容[9]。同時(shí)，采用矩陣運(yùn)算對(duì)復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行構(gòu)建與分析已得到一定的研究與應(yīng)用[10]。

真實(shí)世界中，通常意義上的網(wǎng)絡(luò)或圖并不能對(duì)實(shí)際網(wǎng)絡(luò)的所有特性進(jìn)行刻畫。對(duì)超大規(guī)模網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)進(jìn)行研究，往往會(huì)出現(xiàn)網(wǎng)絡(luò)中有網(wǎng)絡(luò)，即超網(wǎng)絡(luò)等問題。超網(wǎng)絡(luò)的特性和傳統(tǒng)復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的特性有很大差異[11-12]。對(duì)超網(wǎng)絡(luò)的分析仍處于初始階段，并沒有形成公認(rèn)的超網(wǎng)絡(luò)的定義。本文主要對(duì)層次形態(tài)的Supernetwork型超網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行分析研究。

當(dāng)前，人們?nèi)栽诜e極探尋借助全新的分析理論及研究策略對(duì)超網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行研究。本文嘗試根據(jù)鄰接矩陣來分析研究超網(wǎng)絡(luò)，借助矩陣運(yùn)算生成不同類型的超網(wǎng)絡(luò)，即根據(jù)簡單初始圖序列得到超網(wǎng)絡(luò)鄰接矩陣的迭代Khatri-Rao積運(yùn)算操作生成自相似超網(wǎng)絡(luò)，同時(shí)根據(jù)多個(gè)簡單初始圖序列得到超網(wǎng)絡(luò)鄰接矩陣的Khatri-Rao和運(yùn)算操作生成隨機(jī)超網(wǎng)絡(luò)，并對(duì)二者的特性進(jìn)行深入的分析研究。

1 預(yù)備知識(shí)

1.1 超網(wǎng)絡(luò)

對(duì)任意圖序列G(1),G(2),···,G(i),···,G(n)， 其中G(i)=(V(i),E(i))(1≤i≤n)是一個(gè)無向無環(huán)無|權(quán)無|重邊簡單圖，而且V(i)=(v(i)1,v(i)2,···,v(i)j,···)(1≤ j≤||V(i)||)、E(i)=(e(i)1,e,···,e,···)(1 ≤ k ≤ |||E|||)分 別是G 中的節(jié)點(diǎn)集及(i)2(i)k(i)(i)||邊集，且 E(i)?V(i)×V(i)， n 表示圖序列長度，|| V(i)||及分 別表示G 中節(jié)點(diǎn)數(shù)目及邊數(shù)目。(i)

定義1 超網(wǎng)絡(luò)是指由圖序列G(1),G(2),···,G(i),···,G(n)構(gòu) 成且對(duì)應(yīng)節(jié)點(diǎn)序列 v(1)j,v(2)j,···,v(i)j,···,v(n)j相互關(guān)聯(lián)的層次形態(tài)的網(wǎng)絡(luò)，記為 S，表述為

定義2 超網(wǎng)絡(luò)的鄰接矩陣 A (S)是指由構(gòu)成超網(wǎng)絡(luò) S的圖序列鄰接矩陣構(gòu)成的分塊矩陣，即

定義3 超網(wǎng)絡(luò)的邊際度是指超網(wǎng)絡(luò)各層網(wǎng)絡(luò)的節(jié)點(diǎn)度。

定義4 超網(wǎng)絡(luò)的邊際度分布是指超網(wǎng)絡(luò)中各層網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)度的分布，包括概率分布及頻率分布。

定義5 超網(wǎng)絡(luò)的邊際度分布多項(xiàng)式是指超網(wǎng)絡(luò)中各層網(wǎng)絡(luò)以節(jié)點(diǎn)度為次數(shù)、以節(jié)點(diǎn)度頻數(shù)為系數(shù)的各個(gè)單項(xiàng)式構(gòu)成的多項(xiàng)式。

根據(jù)定義1～5，可對(duì)超網(wǎng)絡(luò)聯(lián)合度、聯(lián)合度分布與聯(lián)合度分布多項(xiàng)式進(jìn)行定義。

以 n =2 時(shí) ，2個(gè)節(jié)點(diǎn)數(shù)目相同的網(wǎng)絡(luò)G(1)與 G(2)構(gòu)成的最簡單超網(wǎng)絡(luò) S為例，超網(wǎng)絡(luò) S的邊際度分布多項(xiàng)式與聯(lián)合度分布多項(xiàng)式為

定義6 超網(wǎng)絡(luò)的密度是指超網(wǎng)絡(luò) S中邊數(shù)與最多可能邊數(shù)的比值，記為Density ( S)，則有

1.2 分形理論

分形幾何為分形理論數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，并進(jìn)而發(fā)展到分形圖案等分形方面的多個(gè)研究應(yīng)用領(lǐng)域[13]。

定義7[14]分形矩陣是由迭代相加生成的一簇具備分形性質(zhì)的矩陣。

圖案生成是分形矩陣最初應(yīng)用領(lǐng)域[15]。對(duì)于矩陣 Am×n， 用 A 的 各 元 素 aij(1 ≤i≤ m,1≤ j≤ n) 與 A的各元素進(jìn)行相加，再用生成的新矩陣更換 aij，生成局部和整體自相似的一個(gè)新矩陣。若一直將上述操作延續(xù)下去，則會(huì)生成自相似的一簇新矩陣：各元素與 A進(jìn)行相加后更換而生成的。分形矩陣就是上述更換操作生成的一簇新矩陣樣可以根據(jù)迭代Kronecker積運(yùn)算而得到。本文在超網(wǎng)絡(luò)鄰接矩陣中引入矩陣運(yùn)算。

1.3 矩陣?yán)碚?/h3>

對(duì)圖來說，其鄰接矩陣的每列或每行代表一節(jié)點(diǎn)，圖序列間通過節(jié)點(diǎn)之間相互的關(guān)聯(lián)生成的超網(wǎng)絡(luò)可用圖序列鄰接矩陣構(gòu)成的分塊矩陣進(jìn)行刻畫，而且分塊矩陣中的每一個(gè)分塊都是一個(gè)圖的鄰接矩陣。對(duì)分塊矩陣形式超網(wǎng)絡(luò)的鄰接矩陣進(jìn)行分析研究，基于Kronecker積運(yùn)算、Kronecker和運(yùn)算有Khatri-Rao積運(yùn)算、Khatri-Rao和運(yùn)算。

AB與的Khatri-Rao積運(yùn)算[17]可表示為

AB與的Khatri-Rao和運(yùn)算[18]可表示為

2 基于矩陣運(yùn)算超網(wǎng)絡(luò)模型

2.1 自相似超網(wǎng)絡(luò)模型

對(duì)于一個(gè)節(jié)點(diǎn)數(shù)目相同圖序列的鄰接矩陣構(gòu)成的分塊矩陣A，分別用A的各分塊矩陣與自身相乘生成的矩陣去更換自身，會(huì)生成局部與整體自相似的一個(gè)新矩陣，將此操作不斷延續(xù)下去，可以生成自相似的一簇新矩陣。這些新矩陣可看成鄰接矩陣，對(duì)應(yīng)超網(wǎng)絡(luò)即為A迭代Khatri-Rao積運(yùn)算的結(jié)果，也就是自相似超網(wǎng)絡(luò)。

在文獻(xiàn)[18]中，Liu研究了Khatri-Rao積運(yùn)算的一些特性。此處，將超網(wǎng)絡(luò)對(duì)應(yīng)的鄰接矩陣看成各個(gè)圖鄰接矩陣構(gòu)成的分塊矩陣，則其Khatri-Rao積運(yùn)算的結(jié)果就是各個(gè)圖鄰接矩陣Kronecker積運(yùn)算所得到的結(jié)果。

對(duì)超網(wǎng)絡(luò)來說，其鄰接矩陣中，各分塊矩陣的列數(shù)或行數(shù)代表此層網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)數(shù)目，分塊矩陣的數(shù)目代表超網(wǎng)絡(luò)的層數(shù)，超網(wǎng)絡(luò)密度為各層中網(wǎng)絡(luò)密度的算術(shù)平均值，于是有

超網(wǎng)絡(luò)邊際度分布多項(xiàng)式與聯(lián)合度分布多項(xiàng)式都將節(jié)點(diǎn)度看成單項(xiàng)式次數(shù)。直接對(duì)初始超網(wǎng)絡(luò)邊際度分布多項(xiàng)式與聯(lián)合度分布多項(xiàng)式進(jìn)行計(jì)算可得到超網(wǎng)絡(luò)迭代Khatri-Rao積運(yùn)算的邊際度分布多項(xiàng)式與聯(lián)合度分布多項(xiàng)式，則有定理1。

定理1 超網(wǎng)絡(luò)迭代Khatri-Rao積超網(wǎng)絡(luò)的邊際度分布多項(xiàng)式可對(duì)邊際度分布多項(xiàng)式進(jìn)行系數(shù)相乘且次數(shù)相乘得到。

證明 分塊矩陣迭代Khatri-Rao積運(yùn)算等同于對(duì)分塊矩陣的各分塊進(jìn)行迭代Kronecker積運(yùn)算操作，而超網(wǎng)絡(luò)邊際度分布多項(xiàng)式就是各分塊對(duì)應(yīng)網(wǎng)絡(luò)的度分布多項(xiàng)式。Kronecker積運(yùn)算為兩個(gè)矩陣的各行分別進(jìn)行相乘運(yùn)算，生成的結(jié)果矩陣中各行非零元素的數(shù)目就是節(jié)點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的邊際度。可將矩陣各行非零元素?cái)?shù)目看成單項(xiàng)式次數(shù)，通過超網(wǎng)絡(luò)邊際度分布多項(xiàng)式對(duì)超網(wǎng)絡(luò)邊際度分布進(jìn)行處理時(shí)，行之間的相乘在邊際度分布多項(xiàng)式中就是次數(shù)與次數(shù)之間的相乘。定理1得證。

超網(wǎng)絡(luò)鄰接矩陣Khatri-Rao積運(yùn)算過程中，各分塊矩陣Kronecker積運(yùn)算相互獨(dú)立，定理1涉及的超網(wǎng)絡(luò)邊際度分布多項(xiàng)式的規(guī)律可應(yīng)用到聯(lián)合度分布多項(xiàng)式中，則有引理1。

引理1 超網(wǎng)絡(luò)迭代Khatri-Rao積超網(wǎng)絡(luò)聯(lián)合度分布多項(xiàng)式可對(duì)聯(lián)合度分布多項(xiàng)式進(jìn)行系數(shù)相乘且次數(shù)相乘得到。

證明 分塊矩陣Khatri-Rao積運(yùn)算操作中，各分塊矩陣Kronecker積運(yùn)算相互獨(dú)立，則可進(jìn)行組合。各分塊矩陣Kronecker積運(yùn)算結(jié)果可通過邊際度分布多項(xiàng)式系數(shù)相乘且次數(shù)相乘得到，則分塊矩陣Khatri-Rao積運(yùn)算結(jié)果同樣可根據(jù)聯(lián)合度分布多項(xiàng)式系數(shù)相乘及次數(shù)相乘操作獲取。引理1得證。

分形理論方面，論證一圖形是分形圖形的實(shí)質(zhì)是計(jì)算其分形維數(shù)。本文通過對(duì)自相似超網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行研究，計(jì)算出此類自相似超網(wǎng)絡(luò)分形維數(shù)。

定理2 超網(wǎng)絡(luò)迭代Khatri-Rao積運(yùn)算生成自相似超網(wǎng)絡(luò)分形維數(shù)表述為生成此超網(wǎng)絡(luò)各自相似網(wǎng)絡(luò)分形維數(shù)幾何平均值與1之和，即

證明 文獻(xiàn)[9]中，迭代Kronecker積圖的自相似網(wǎng)絡(luò)分形維數(shù)表述為圖邊數(shù)兩倍對(duì)數(shù)值與節(jié)點(diǎn)數(shù)對(duì)數(shù)值之比。自相似超網(wǎng)絡(luò)方面，其分形維數(shù)體現(xiàn)為自相似網(wǎng)絡(luò)分形維數(shù)的融合，由于其層次形態(tài)的特征，根據(jù)余維相加定律[19]，故為各自相似網(wǎng)絡(luò)的分形維數(shù)幾何平均值與1之和。定理2得證。

定理3 超網(wǎng)絡(luò)迭代Khatri-Rao積運(yùn)算生成自相似超網(wǎng)絡(luò)分形維數(shù)一定不會(huì)超過3。

證明 自相似網(wǎng)絡(luò)分形維數(shù)一定不會(huì)超過2，式(9)中有

顯然，定理3成立。定理3得證。

通常情況下，只對(duì)連通且非二分圖序列的迭代Khatri-Rao積運(yùn)算生成的超網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行研究，基于定理3，則有引理2。

引理2 連通且非二分圖序列迭代Khatri-Rao積運(yùn)算生成超網(wǎng)絡(luò)分形維數(shù)在2～3之間。

式(9)中有

結(jié)合定理3，有 2 ＜FD(S)＜3。引理2得證。

同時(shí)，通過超網(wǎng)絡(luò)分塊矩陣形式鄰接矩陣迭代Khatri-Rao積運(yùn)算生成的矩陣一樣為分塊矩陣，對(duì)此進(jìn)行研究，可得到定理4。

定理4 連通且非二分圖序列迭代Khatri-Rao積運(yùn)算生成超網(wǎng)絡(luò)直徑不超過初始圖直徑和的兩倍。

證明 文獻(xiàn)[9]中，連通且非二分圖鄰接矩陣迭代Kronecker積運(yùn)算生成Kronecker積圖直徑不超過初始圖直徑兩倍。設(shè)構(gòu)成超網(wǎng)絡(luò)任一圖 G(i)直徑為 d(i)，于是自相似超網(wǎng)絡(luò)任意一層網(wǎng)絡(luò)中的任意一個(gè)節(jié)點(diǎn)均可在不超過內(nèi)抵達(dá)任意一層網(wǎng)絡(luò)中的任意一個(gè)節(jié)點(diǎn)。定理4得證。

根據(jù)定理4，計(jì)算超網(wǎng)絡(luò)直徑時(shí)，通過初始圖直徑可較為便捷得到所生成的自相似超網(wǎng)絡(luò)直徑。進(jìn)一步，有引理3。

引理3 N 個(gè)完全圖且非二分圖序列迭代Khatri-Rao積運(yùn)算生成超網(wǎng)絡(luò)直徑為 2 N。

證明 對(duì)完全圖且非二分圖來說，其迭代Kronecker積圖直徑為2，完全圖且非二分圖序列迭代Khatri-Rao積運(yùn)算生成超網(wǎng)絡(luò)各層直徑均為2，此N 層超網(wǎng)絡(luò)直徑即為2 N 。引理3得證。

與定理4相似，引理3同樣只在由連通且非二分圖序列生成超網(wǎng)絡(luò)情形下成立。

為更清晰論述自相似超網(wǎng)絡(luò)不同維度的特性，將連通且非二分圖序列迭代Khatri-Rao積運(yùn)算生成自相似超網(wǎng)絡(luò)與門格海綿[20]進(jìn)行比較，門格海綿分形維數(shù)同樣在2～3之間。

門格海綿中，設(shè)初始情況下正方體棱長 T0=1，正方體數(shù)量 N0=1 ， 周長 L0=12 ， 表面積 S0=6，體積V0=1， Tn、 Nn、 Ln、 Sn和 Vn分 別為第 n步迭代后生成門格海綿正方體的棱長、數(shù)量、周長、表面積及體積，則可以得到：

自相似超網(wǎng)絡(luò)與門格海綿對(duì)比如表1所示。

表1 自相似超網(wǎng)絡(luò)與門格海綿對(duì)比表Table 1 Comparison between self-similarity supernetwork and Menger sponge

2.2 隨機(jī)超網(wǎng)絡(luò)模型

基于矩陣運(yùn)算隨機(jī)超網(wǎng)絡(luò)構(gòu)建方法為：對(duì)于一簇隨機(jī)選取初始超網(wǎng)絡(luò) S(1),S(2),···,S(i),···，將Khatri-Rao和運(yùn)算順次應(yīng)用于此超網(wǎng)絡(luò)對(duì)應(yīng)鄰接矩陣，可得到一個(gè)新矩陣，其對(duì)應(yīng)超網(wǎng)絡(luò)就是隨機(jī)超網(wǎng)絡(luò)。

超網(wǎng)絡(luò) Sa及 Sb對(duì)應(yīng)邊際節(jié)點(diǎn)度分布多項(xiàng)式PolyM(i)(Sa)、 PolyM(i)(Sb)中，將Khatri-Rao積運(yùn)算應(yīng)用于 Sa及 Sb對(duì)應(yīng)鄰接矩陣生成超網(wǎng)絡(luò) Sab的邊際節(jié)點(diǎn)度分布可通過 P olyM(i)(Sa)與 P olyM(i)(Sb)的Khatri-Rao積運(yùn)算而得到，即

類似地，將Khatri-Rao和運(yùn)算應(yīng)用于 Sa及 Sb對(duì)應(yīng)鄰接矩陣生成超網(wǎng)絡(luò)的邊際節(jié)點(diǎn)度分布可通過式(15)得到：

式(15)為通常意義上多項(xiàng)式乘法。對(duì)Khatri-Rao積采用系數(shù)相乘且次數(shù)相乘，類似地，對(duì)Khatri-Rao和采用系數(shù)相乘且次數(shù)相加可得到新超網(wǎng)絡(luò)邊際度分布。將兩個(gè)超網(wǎng)絡(luò)Khatri-Rao積運(yùn)算邊際度分布看成初始超網(wǎng)絡(luò)邊際節(jié)點(diǎn)度分布的非線性組合，同理，可將兩個(gè)超網(wǎng)絡(luò)Khatri-Rao和運(yùn)算結(jié)果邊際度分布看成初始超網(wǎng)絡(luò)邊際節(jié)點(diǎn)度分布的線性組合。隨機(jī)選取的初始超網(wǎng)絡(luò)，其邊際度分布服從高斯分布，鑒于有限個(gè)高斯分布的線性組合同樣是高斯分布，通過多個(gè)初始超網(wǎng)絡(luò)Khatri-Rao和運(yùn)算所得到超網(wǎng)絡(luò)的邊際度分布同樣服從高斯分布。

與此類似，對(duì)超網(wǎng)絡(luò)聯(lián)合度分布進(jìn)行分析也可得到與邊際度分布相近{的結(jié)論。}

初始超網(wǎng)絡(luò)集合 S(1),S(2),···,S(i),···中，對(duì)順次選取 S(i)且通過Khatri-Rao和運(yùn)算生成超網(wǎng)絡(luò) S(n)來說，其各層網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)數(shù)目、邊數(shù)目及密度可根據(jù)邊際度分布多項(xiàng)式的分析研究得到：

2.3 不同組合超網(wǎng)絡(luò)模型

拓展上文中超網(wǎng)絡(luò)生成方法，可得出一般情形下基于矩陣運(yùn)算超網(wǎng)絡(luò)生成方法。通過一個(gè)、有限多個(gè)，乃至無限多個(gè)超網(wǎng)絡(luò)Khatri-Rao積運(yùn)算和/或Khatri-Rao和運(yùn)算，可得到9類超網(wǎng)絡(luò)模型，如表2所示，9類超網(wǎng)絡(luò)相互之間的關(guān)系如圖1所示。

表2 9類超網(wǎng)絡(luò)統(tǒng)計(jì)表Table 2 Statistics of 9 supernetworks

圖1 9類超網(wǎng)絡(luò)關(guān)系圖Fig. 1 Diagram of 9 supernetworks

3 基于矩陣運(yùn)算超網(wǎng)絡(luò)模型理論分析

3.1 基于矩陣運(yùn)算超網(wǎng)絡(luò)數(shù)量

邊際度分布多項(xiàng)式與聯(lián)合度分布多項(xiàng)式均無法反映超網(wǎng)絡(luò)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)等特性，相同邊際度分布多項(xiàng)式與聯(lián)合度分布多項(xiàng)式可能對(duì)應(yīng)不同超網(wǎng)絡(luò)。

定理5 邊際度分布相同超網(wǎng)絡(luò)數(shù)量為各邊際度分布對(duì)應(yīng)網(wǎng)絡(luò)數(shù)量的乘積，即

證明 n層超網(wǎng)絡(luò)中，僅分析邊際度分布，各層網(wǎng)絡(luò)度分布相互獨(dú)立，n層超網(wǎng)絡(luò)數(shù)量等于各層相互獨(dú)立網(wǎng)絡(luò)數(shù)量之乘積。定理5得證。

定理5僅研究邊際度分布相同超網(wǎng)絡(luò)數(shù)量，不涉及聯(lián)合度分布。因聯(lián)合度分布涉及各層網(wǎng)絡(luò)之間的關(guān)聯(lián)與耦合等特征，對(duì)聯(lián)合度分布欠缺必要的應(yīng)對(duì)策略。對(duì)聯(lián)合度分布相同超網(wǎng)絡(luò)數(shù)量及邊際度分布與聯(lián)合度分布都相同超網(wǎng)絡(luò)數(shù)量的分析有待進(jìn)一步深入研究。

3.2 基于矩陣運(yùn)算超網(wǎng)絡(luò)敏感性

超網(wǎng)絡(luò)敏感性分析主要對(duì)初始超網(wǎng)絡(luò)波動(dòng)對(duì)基于矩陣運(yùn)算生成超網(wǎng)絡(luò)的干擾進(jìn)行研究。本文主要分析對(duì)超網(wǎng)絡(luò)直徑、分形維數(shù)和度分布的影響。

定理6 增添一個(gè)節(jié)點(diǎn)與至少一條邊到構(gòu)成自相似超網(wǎng)絡(luò)的任意一個(gè)初始圖后，自相似超網(wǎng)絡(luò)直徑增加量不超過2。

證明 增添一個(gè)節(jié)點(diǎn)與至少一條邊到構(gòu)成自相似超網(wǎng)絡(luò)任一初始圖，初始圖節(jié)點(diǎn)間最短距離不變，而初始圖原節(jié)點(diǎn)到新增節(jié)點(diǎn)距離不超過原始圖直徑加1，故超網(wǎng)絡(luò)直徑增量不超過2。定理6得證。

定理7 增添一條邊到構(gòu)成自相似超網(wǎng)絡(luò)任意一個(gè)初始圖后，自相似超網(wǎng)絡(luò)直徑減少量不超過該初始圖直徑。

證明 增添一條邊到構(gòu)成自相似超網(wǎng)絡(luò)任一初始圖，因增添邊連接的節(jié)點(diǎn)為原圖中不鄰接的兩節(jié)點(diǎn)，致使原圖會(huì)增多至少一個(gè)回路，而此回路上任意一對(duì)節(jié)點(diǎn)間隔不超過回路長度的半數(shù)，所以此圖直徑為超網(wǎng)絡(luò)直徑減少量的上限。定理7得證。

式(9)為基于初始超網(wǎng)絡(luò)生成自相似超網(wǎng)絡(luò)分形維數(shù)，分析增添或去掉生成超網(wǎng)絡(luò)初始圖一個(gè)節(jié)點(diǎn)與一條邊對(duì)超網(wǎng)絡(luò)分形維數(shù)的影響就是對(duì)其分形維數(shù)一階導(dǎo)數(shù)進(jìn)行分析。不失一般性，對(duì) Ga及 Gb生成的2層超網(wǎng)絡(luò) Sab分形維數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)進(jìn)行分析：

式(20)中，分形維數(shù)和度分布多項(xiàng)式二階導(dǎo)數(shù)聯(lián)系緊密。這說明，在增添或去掉節(jié)點(diǎn)或者邊時(shí)，可對(duì)度分布多項(xiàng)式進(jìn)行計(jì)算，進(jìn)而得到分形維數(shù)的波動(dòng)情況。此研究可拓展到任意層次超網(wǎng)絡(luò)。

分析自相似超網(wǎng)絡(luò)邊際度分布敏感性，具體方面，是對(duì)邊際度分布多項(xiàng)式采用系數(shù)相乘，次數(shù)也相乘的操作。式(19)中，對(duì)邊際度分布多項(xiàng)式進(jìn)行分析，可得到：

通過式(21)可以發(fā)現(xiàn)，增添或去掉一個(gè)節(jié)點(diǎn)或一條邊后，不能用微分公式來增量式更新，即不可微，也即敏感。所以，初始情形下，增添或去掉一個(gè)節(jié)點(diǎn)或一條邊的微弱差異將伴隨迭代次數(shù)的增加而因?yàn)檫B鎖反應(yīng)無限放大。分析自相似超網(wǎng)絡(luò)聯(lián)合度分布，可得出相似結(jié)論。

繼續(xù)分析隨機(jī)超網(wǎng)絡(luò)敏感性，具體而言，是分析隨機(jī)超網(wǎng)絡(luò)邊際度分布敏感性。隨機(jī)超網(wǎng)絡(luò)中，是將邊際節(jié)點(diǎn)度分布多項(xiàng)式進(jìn)行系數(shù)相乘且次數(shù)相加。式(19)中，對(duì)邊際度分布多項(xiàng)式進(jìn)行分析，可得

從式(22)中可以看出，增添或去掉一個(gè)節(jié)點(diǎn)或一條邊后，可用微分公式來增量式更新，即可微，也即不敏感。所以初始情形下，盡管選取不同圖但生成隨機(jī)超網(wǎng)絡(luò)度分布形態(tài)近似相同，均呈鐘形高斯分布。分析隨機(jī)超網(wǎng)絡(luò)聯(lián)合度分布，可得出相似結(jié)論。

引入微積分等理論與技術(shù)，在超網(wǎng)絡(luò)敏感性分析方面有一些量化結(jié)論，但對(duì)超網(wǎng)絡(luò)敏感性根源仍未完全透徹了解，后續(xù)研究中，重點(diǎn)在于繼續(xù)使用微分方程等工具，對(duì)超網(wǎng)絡(luò)敏感性進(jìn)行深入研究。

4 結(jié)束語

本文主要對(duì)自相似超網(wǎng)絡(luò)與隨機(jī)超網(wǎng)絡(luò)等通過矩陣運(yùn)算生成超網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行分析，通過超網(wǎng)絡(luò)的鄰接矩陣迭代Khatri-Rao積運(yùn)算可生成自相似超網(wǎng)絡(luò)，自相似特性在于其鄰接矩陣為分形矩陣，連通且非二分圖序列構(gòu)成自相似超網(wǎng)絡(luò)同時(shí)有小世界特性，在與門格海綿的對(duì)比中，闡明了自相似超網(wǎng)絡(luò)的各項(xiàng)性質(zhì)。多個(gè)超網(wǎng)絡(luò)鄰接矩陣Khatri-Rao和運(yùn)算可生成隨機(jī)超網(wǎng)絡(luò)，隨機(jī)特性在于有限個(gè)高斯分布的線性組合。通過邊際度分布多項(xiàng)式及聯(lián)合度分布多項(xiàng)式可計(jì)算出基于矩陣運(yùn)算生成的超網(wǎng)絡(luò)邊際度分布與聯(lián)合度分布等特性。此外，對(duì)超網(wǎng)絡(luò)數(shù)量及敏感性等進(jìn)行一定程度的量化分析。