速度關聯(lián)類問題求解策略

山東 張啟光 李瑞芳

運動物體間速度關聯(lián)問題是有些高考命題的切入點，尋找速度關聯(lián)關系是考生普遍感覺的難點。關聯(lián)意味著雙方服從某種共同條件的制約，即等量關系，而尋找等量關系應當從兩個研究對象的共同之處著眼，這是解題關鍵。本文從同體關聯(lián)和異體關聯(lián)兩大類進行該問題的分析。

一、同體關聯(lián)

所謂“同體關聯(lián)”問題，是指同一根繩(或桿)的兩端連著兩個物體，其速度各不相同，常常是已知一個物體的速度和有關角度，求另一個物體的速度。要順利解決這類題型，需要搞清兩個問題：

(1)分解誰的問題：哪個運動是合運動就分解哪個運動，物體實際經(jīng)歷的運動就是合運動。切記，可以分解的一定是實際速度，即實際速度是合速度。

(2)如何分解的問題：由于繩(或桿)不能伸縮，所以沿同一繩(或桿)上的速度分量大小相等，將合速度分解成一個沿繩(或桿)方向的速度和一個垂直于繩(或桿)方向的速度，即將合速度向沿繩方向作“投影”，根據(jù)兩個端點的速度沿著繩(或桿)方向的分速度大小相等列式求解。

1．繩端關聯(lián)

【例1】一輛車通過一根跨過定滑輪的繩PQ提升井中質(zhì)量為m的物體，如圖1所示，繩的P端拴在車后的掛鉤上，Q端拴在物體上，設繩的總長不變，繩子質(zhì)量、定滑輪的質(zhì)量和尺寸、滑輪上的摩擦都忽略不計，開始時，車在A點，左右兩側(cè)繩都已繃緊并且是豎直的，左側(cè)繩長為H，提升時，車加速向左運動，沿水平方向從A駛向B，設A到B的距離也為H，車過B點時的速度為vB，求在車由A移到B的過程中，繩Q端的拉力對物體做的功。

【點評】通過定滑輪的繩兩端連接兩個物體時，兩端物體在沿繩方向上的分速度大小相等。

【例2】如圖3所示，物體A置于水平面上，A前固定一滑輪B，高臺上有一定滑輪D，一根輕繩一端固定在C點，再繞過B、D。BC段水平，當以速度v0拉繩子自由端時，A沿水平面前進，求：當跨過B的兩段繩子夾角為α時A的運動速度v。

【點評】一個物體與幾條繩相關聯(lián)時，每條繩獨立研究，物體的實際速度在每條繩上的分速度等于該方向收繩的速度；繩一端固定，另一端通過動滑輪拉物體時，另一端拉繩的速度是動滑輪兩側(cè)收繩速度之和。

2．桿端關聯(lián)

【例3】如圖4所示，均勻直桿上連著兩個小球A、B，不計一切摩擦。當桿滑到如圖位置時，B球水平速度為vB，桿與豎直方向夾角為α，求此時A球速度。

【解析】A球速度向下，B球速度向右，由于桿不能伸縮，所以兩球沿桿方向的分速度相等，分別對小球A和B的速度沿著桿方向和垂直于桿方向進行分解有：vAcosα=vBsinα，解得vA=vBtanα。

【答案】vBtanα

【點評】通過桿兩端連接兩個物體時，把物體的實際速度沿桿和垂直桿方向進行分解，兩端物體在沿桿方向上的分速度大小相等；另外有固定轉(zhuǎn)動軸的桿端關聯(lián)是有共同的角速度。

二、異體關聯(lián)

所謂“異體關聯(lián)”問題，是指兩個物體沒有連接在一起，僅通過接觸等方式聯(lián)系在一起，要順利解決這類運動物體間的速度關聯(lián)題型，關鍵是選取合適的連結(jié)點，即與兩物體相聯(lián)系的分運動，依據(jù)平行四邊形定則分解速度，尋找速度關系列式求解。

1．異體接觸帶動關聯(lián)

【例4】如圖5所示，斜劈B的傾角為30°，劈尖頂著豎直墻壁靜止于水平地面上，現(xiàn)將一個質(zhì)量與斜劈質(zhì)量相同、半徑為r的球A放在墻面與斜劈之間，并從圖示位置由靜止釋放，不計一切摩擦，求此后運動中斜劈的最大速度。

【點評】兩個相互接觸的物體，一個物體運動導致另一物體運動的這類速度關聯(lián)問題，因為垂直接觸面方向兩物體相對靜止，所以兩物體實際速度在垂直接觸面的方向上的分速度相等。

2．相對運動的線狀物體交點速度

【例5】 如圖7所示，A、B為半徑相同的兩個半圓環(huán)，以大小相同、方向相反的速度運動，A環(huán)向右，B環(huán)向左，則從兩半圓環(huán)開始相交到最后分離的過程中，兩環(huán)交點P的速度方向和大小變化為 ( )

A．向上變小

B．向下變大

C．先向上再向下，先變小再變大

D．先向下再向上，先變大再變小

【答案】C

【點評】相對運動的線狀物體交點是兩者相對運動引起，所有交點的速度是兩者分別運動引起交點移動速度的合速度，先分別假設相對運動的兩個物體中的一個靜止，求出另一物體運動時交點的速度，再把求得的這兩個速度求矢量和就是交點的實際速度。

3．照射關聯(lián)

【例6】如圖9所示，S為一點光源，M為一平面鏡，光屏與平面鏡平行放置，SO是垂直照射在M上的光線，已知SO=L，若M以角速度ω繞O點逆時針勻速轉(zhuǎn)動，則轉(zhuǎn)過30°角時，光點S′在屏上移動的瞬時速度v為多大？

【答案】v=8ωL