磁偏轉(zhuǎn)軌跡問題的命題與解題

福建 鄭行軍

帶電粒子在勻強磁場中的運動分析不僅涉及到洛倫茲力作用下的動力學問題，而且往往與運動軌跡的幾何關(guān)系相聯(lián)系，成為考查學生綜合分析問題、運用數(shù)學知識解決物理問題的難度較大的考題。解決此類問題的核心要素在于找圓心、畫軌跡、定半徑，其中關(guān)鍵是確定圓周運動的圓心，只有找到圓心的位置，才能正確運用物理規(guī)律和數(shù)學知識解題。本文就軌跡問題中可能的命題方向進行整理歸類，并提供相應(yīng)的解題策略，供大家參考。

【命題設(shè)計1】已知帶電粒子運動軌跡的三個位置

條件：已知帶電粒子運動軌跡上的三個位置分別為A、B、C三點。

軌跡確定策略：連接AB作弦AB的中垂線，同理作弦AC的中垂線(也可作弦BC的中垂線)，兩中垂線交點即為圓周運動軌跡圓心O，OA(或OB、OC)為軌跡半徑，畫出軌跡如圖1所示。

【命題設(shè)計2】已知帶電粒子運動軌跡的兩個位置及其中一個位置的速度方向

條件：帶電粒子運動經(jīng)過A、B兩位置且已知A位置的速度方向

軌跡確定策略：連接AB作弦AB的中垂線，過位置A作速度方向的垂線，兩垂線的交點即為圓周運動圓心O，OA為軌跡半徑，畫出軌跡如圖2所示。

【命題設(shè)計3】已知帶電粒子運動軌跡的一個位置及兩個速度方向

條件：已知帶電粒子在磁場中經(jīng)過位置A和過A點的速度方向v1，且已知過另一位置(位置未知)的速度方向v2(速度大小v2=v1)。

軌跡確定策略：延長兩速度方向的作用線交于點O1，作出角O1的角平分線，過A點作速度v1方向的垂線，兩線交于一點為圓周運動圓心O，OA為軌跡半徑，畫出軌跡如圖3所示。

【命題設(shè)計4】已知帶電粒子運動的三個速度方向

條件：已知帶電粒子運動過程的三個速度方向分別為v1、v2、v3(速度大小v1=v2=v3)，但未知帶電粒子運動軌跡的位置。

軌跡確定策略：延長兩速度v1、v2方向的所在直線交于點O1，作出角O1的角平分線，同理延長兩速度v1、v3方向的所在直線交于點O2，作出角O2的角平分線(也可作v2、v3方向所在直線的交點的角平分線)，兩角平分線的交點為圓周運動圓心O，O點與速度方向所在直線的距離為軌跡半徑，畫出軌跡如圖4所示。

【命題設(shè)計5】已知帶電粒子運動軌跡的一個位置及速度方向、半徑

條件：已知帶電粒子過位置A、速度方向為v，圓周運動的半徑為R，且電性已知(假設(shè)粒子帶負電荷，磁場方向垂直紙面向里)

軌跡確定策略：根據(jù)左手定則確定帶電粒子所受的洛倫茲力的方向，根據(jù)合力方向始終指向曲線軌跡凹側(cè)的特點，找出軌跡圓心所在的區(qū)域，過A點沿圓心所在區(qū)域作速度方向的垂線，由半徑R確定圓周運動圓心，進而畫出軌跡如圖5所示。

【命題設(shè)計6】已知帶電粒子運動軌跡的兩個位置及半徑

條件：已知帶電粒子運動過程經(jīng)過A、B兩個位置且軌跡半徑為R

軌跡確定策略：連接AB作弦AB的中垂線，在中垂線上取點O1使O1A=R，由左手定則確定粒子在A點的運動方向(假設(shè)粒子帶正電，磁場方向垂直紙面向里)，畫出軌跡①；同理在中垂線上取點O2使O2A=R，由左手定則確定粒子在A點的運動方向，畫出軌跡②，如圖6所示，本命題在求解時要注意粒子運動軌跡可能有兩種情況。

【命題設(shè)計7】已知帶電粒子運動軌跡的一個位置、其他位置的速度方向和半徑

條件：已知帶電粒子運動軌跡半徑為R，運動過程中經(jīng)過位置A，且在另一位置(位置未知)的速度方向為v。

軌跡確定策略：以A點為圓心，R為半徑畫出一段圓弧(圖中虛線所示)，在圓弧中取點使該點與速度方向的垂直距離為R，則該點即為圓周運動的圓心，由數(shù)學關(guān)系可知位置可能有兩種情況(圖中O1和O2)，由左手定則確定帶電粒子在A點的速度方向，畫出軌跡如圖中①②所示。

【例1】在直角坐標系xOy的第一象限內(nèi)有垂直于紙面向里的勻強磁場，磁感應(yīng)強度大小為B。一質(zhì)量為m、電荷量為q的帶負電粒子從y軸正半軸上的A點以與y軸正方向夾角為α=45°的速度垂直磁場方向射入磁場，如圖8 所示，已知OA=a，不計粒子的重力，則下列說法正確的 ( )

B．改變粒子的初速度大小，可以使得粒子剛好從坐標系的原點O離開磁場

D．從x軸射出磁場的粒子中，粒子的速度越大，在磁場中運動的時間就越短

【解析】粒子垂直于x軸離開磁場，命題條件為已知粒子運動軌跡的一個位置及兩個速度方向，粒子運動軌跡如圖9所示：

【例2】如圖11所示，一粒子源S可向外發(fā)射質(zhì)量為m，電荷量為q帶正電的粒子，不計粒子重力，空間充滿一水平方向的勻強磁場，磁感應(yīng)強度方向如圖所示，S與M在同一水平線上，某時刻，從粒子源發(fā)射一束粒子，速度大小為v，方向與水平方向夾角為θ，SM與v方向在同一豎直平面內(nèi)，經(jīng)時間t，粒子達到N處，已知N與S、M在同一水平面上，且SM長度為L，勻強磁場的磁感應(yīng)強度大小可能是 ( )

(2)帶電粒子在磁場中運動的時間t。

【解析】本題命題條件為已知粒子運動軌跡的一個位置及兩個速度方向，由于題設(shè)條件未知帶電粒子的電性，故分帶正電和帶負電兩種情況討論。

1.若粒子帶正電，軌跡如圖13所示，由幾何關(guān)系得：

粒子進入磁場，做勻速圓周運動，設(shè)其軌道半徑為r，

2.若粒子帶負電，軌跡如圖14所示，

粒子進入磁場，做勻速圓周運動，設(shè)其軌道半徑為r，