一道讓學(xué)生“全軍覆沒”的試題引發(fā)的思考

甘肅 常克義

在高三高考復(fù)習(xí)備考測試中，選用了這樣一道試題：

【題目】如圖1所示，質(zhì)量為M的底座停放在粗糙的水平地面上，中間是內(nèi)壁光滑、半徑為R的豎直圓形軌道，一質(zhì)量為m的小球，在豎直的軌道內(nèi)做圓周運(yùn)動，當(dāng)小球運(yùn)動至最高點(diǎn)A時(shí)，對軌道的壓力恰好為mg。整個過程底座始終處于靜止?fàn)顟B(tài)，小球可視為質(zhì)點(diǎn)。則下列說法正確的是 ( )

A.小球經(jīng)過圓周最高點(diǎn)A時(shí)，小球處于完全失重狀態(tài)

B.小球經(jīng)過圓周最高點(diǎn)A時(shí)，底座對地面的壓力最小，最小值為Mg-mg

C.小球經(jīng)過圓周最低點(diǎn)C時(shí)，底座對地面的壓力最大，最大值為Mg-6mg

D.小球經(jīng)過與圓心等高點(diǎn)D時(shí)，地面對底座的摩擦力最大，方向水平向右

究其原因，主要是學(xué)生存在兩個方面的能力缺陷：

其一，缺乏科學(xué)有效的分析能力。其實(shí)在做這道題時(shí)，學(xué)生已知小球到達(dá)軌道最低點(diǎn)時(shí)對軌道壓力最大，從而錯誤的推得“小球到達(dá)最高點(diǎn)時(shí)底座給地面的壓力最小”的結(jié)論。在這一判斷過程中，學(xué)生簡單的利用了“最低—最大”與“最高—最小”的類比方法，其實(shí)質(zhì)正是學(xué)生思維定勢影響的結(jié)果。

這道習(xí)題的正確分析應(yīng)該為：小球到達(dá)水平直徑B、D兩點(diǎn)以上時(shí)，會對軌道產(chǎn)生斜向上的壓力，底座對地面的壓力將小于底座自身的重力。若利用極端法，假設(shè)小球恰好能夠通過最高點(diǎn)，即到達(dá)最高點(diǎn)時(shí)對軌道的壓力為0，那么，底座對地面的壓力就等于軌道自身的重力，故小球到達(dá)最高點(diǎn)時(shí)底座對地面的壓力一定不是最小值，那么，最小值應(yīng)存在于小球到達(dá)A、B兩點(diǎn)或A、D兩點(diǎn)之間的某一位置。

其二，缺乏數(shù)理結(jié)合的運(yùn)算能力。在講授本習(xí)題時(shí)，通過上述分析，再要求學(xué)生通過計(jì)算求出底座對地面的壓力的最小值，結(jié)果還是沒有學(xué)生能夠得出正確答案，明顯缺乏數(shù)理結(jié)合運(yùn)算能力，以及幾何模型的建立與數(shù)學(xué)運(yùn)算方法的運(yùn)用。

【解析】設(shè)小球運(yùn)動到P點(diǎn)時(shí)，底座對地面的壓力最小，∠POD=α，如圖2所示。

小球在A點(diǎn)時(shí)，根據(jù)牛頓第二定律，得

小球從A點(diǎn)到P點(diǎn)，依據(jù)機(jī)械能守恒，有

小球在P點(diǎn)時(shí)，根據(jù)牛頓第二定律，得

由牛頓第三定律及矢量關(guān)系可知，

由①②③④式可得，小球?qū)壍赖膲毫Φ呢Q直向上的分量為：

FNy=mg(-3sin2α+4sinα) ⑤

那么，底座對地面的壓力的最小值為：

從學(xué)生解答的過程來看，首先是無法將此物理過程轉(zhuǎn)化為如圖2的幾何模型，造成根本無法進(jìn)行相關(guān)的計(jì)算。其次是很多學(xué)生往往是就物理解物理，一旦遇到數(shù)理結(jié)合問題就無法靈活轉(zhuǎn)換思維，即便是得到了⑤式還是無法運(yùn)用數(shù)學(xué)方法求解。

雖然，以上問題是從學(xué)生解決物理習(xí)題時(shí)體現(xiàn)出來的，但也從另一側(cè)面反映出物理教學(xué)中對于學(xué)生能力培養(yǎng)方面存在的不足。為此，必須對物理教學(xué)進(jìn)行一些必要的反思。

1.加強(qiáng)對物理過程、現(xiàn)象的理解與分析。物理習(xí)題、試題都是以一定的物理過程(或理想化的過程)、物理現(xiàn)象為依據(jù)，其中設(shè)定某些狀態(tài)與條件。對于學(xué)生而言，很多物理過程并非親身經(jīng)歷，而是未知的，因此只有能夠正確分析物理過程，構(gòu)建出物理過程圖景，理解物理過程所包含的物理規(guī)律，才能正確解決物理問題。無疑，加強(qiáng)學(xué)生對物理過程、現(xiàn)象的理解與分析成為物理教學(xué)的重要環(huán)節(jié)，其中有兩個方面值得重視：

其一，通過觀察與實(shí)驗(yàn)，積累和豐富學(xué)生對物理過程、現(xiàn)象的認(rèn)知度。“在物理教育活動中應(yīng)當(dāng)關(guān)注學(xué)生的體驗(yàn)、強(qiáng)調(diào)物理教育實(shí)踐的重要性，追求物理教育意義的實(shí)現(xiàn)……，因?yàn)?，所有這一切都是在活生生的物理教育的世界中發(fā)生著的?！北热?，在教授超重、失重現(xiàn)象時(shí)，讓學(xué)生利用臺秤從站立到蹲下的過程中觀察臺秤示數(shù)變化，理解“支持力小于重力，物體具有豎直向下加速度，物體處于失重狀態(tài)；支持力大于重力，物體具有豎直向上加速度，物體處于超重狀態(tài)”。由此，學(xué)生對諸如電梯的啟動、制動過程，小球落在豎直固定在水平面上的彈簧上，再到下降至最低點(diǎn)的過程等等，都會有清晰的認(rèn)識與理解。

其二，教會學(xué)生分析物理過程、現(xiàn)象的方法。李政道教授在談到物理學(xué)習(xí)時(shí)曾指出：“一般不要先用數(shù)學(xué)去解釋。第一步應(yīng)解決的是觀念問題，第二步才是精密計(jì)算。如果對某個問題觀念上有問題，那計(jì)算就是次要的了。”這里的觀念問題就是要分清物理過程，及依據(jù)不同的過程找到其遵循的規(guī)律。分析物理過程就是弄清物理過程的具體細(xì)節(jié)、分析其前因后果、制約條件及其包含的知識要素和基本規(guī)律。首先，正確選擇研究對象，在一個物理過程中往往存在著相互關(guān)聯(lián)的幾個物體，選擇系統(tǒng)性分析還是個別性分析對于問題的解決是至關(guān)重要的，一般原則是優(yōu)先“適用整體法”，然后“適用隔離法”。其次，分析研究對象的過程、狀態(tài)變化，包括運(yùn)動形式(或軌跡)、受力關(guān)系、能量關(guān)系、狀態(tài)參量、臨界條件等，以及按時(shí)間順序把一個復(fù)雜過程分成幾個簡單過程或?qū)⑼粫r(shí)間內(nèi)發(fā)生的幾個相關(guān)聯(lián)的過程，分成幾個簡單的過程。最后，確定每一過程中成立的物理關(guān)系和物理規(guī)律，也就是找到解決物理問題的物理關(guān)系式，為下一步“精密計(jì)算”奠定正確基礎(chǔ)。

2.強(qiáng)化數(shù)理結(jié)合的訓(xùn)練。我們先來看看伽利略這個著名的數(shù)學(xué)推論：根據(jù)亞里士多德的論斷，一塊大石頭的下落速度要比一塊小石頭的下落速度大。假定大石塊的下落速度為8，小石塊的下落速度為4，當(dāng)我們把兩塊石頭捆在一起時(shí)，大石塊就會被小石塊拖著減慢，結(jié)果整個系統(tǒng)的下落速度應(yīng)該小于8；但兩塊石頭捆在一起，總的重量比大石塊還要重，因此整個系統(tǒng)下落的速度要比8還大。這樣，就從“重物比輕物落得快”的前提推斷出了相互矛盾的結(jié)論，這使亞里士多德的理論陷入了困境。曾在兩千年的時(shí)間里被人們奉為經(jīng)典的論斷就這樣被數(shù)學(xué)“推”倒了。毋庸置疑，數(shù)學(xué)方法和數(shù)學(xué)思想在解決物理問題中的重要性。

為此，在物理教學(xué)中，必須強(qiáng)化學(xué)生的數(shù)理結(jié)合意識與能力的培養(yǎng)。首先是強(qiáng)化學(xué)生的數(shù)理結(jié)合意識。從哲學(xué)意義而言，人的意識的理性形式就是把握事物的本質(zhì)、事物的全體、事物的內(nèi)部聯(lián)系。有了數(shù)理結(jié)合意識就能夠更加全面、透徹的分析物理問題，把蘊(yùn)含在物理過程、現(xiàn)象中的關(guān)系運(yùn)用數(shù)學(xué)方式精確的表示出來。例如，筆者通常會利用如下物理過程對學(xué)生進(jìn)行數(shù)理結(jié)合意識的練習(xí)。如圖3所示，豎立的彈簧固定于水平面上靜止，現(xiàn)將一質(zhì)量為m的小球(可視為質(zhì)點(diǎn))輕輕放在勁度系數(shù)為k的彈簧上端，在小球下降至最低點(diǎn)的過程中，分析小球運(yùn)動的速度和加速度變化情況。首先要求學(xué)生必須根據(jù)牛頓第二定律和胡克定律，建立起小球受力的數(shù)學(xué)關(guān)系：mg-kx=ma。然后，讓學(xué)生通過變量x的變化對關(guān)系式：mg-kx=ma中各量的數(shù)學(xué)關(guān)系作出判斷，從而準(zhǔn)確地把握小球下落過程的各個階段，即開始階段：mg>kx，小球a減小，v增大；臨界狀態(tài)：mg=kx，小球a=0，速度達(dá)到最大值vm；最后階段：mg

其次是培養(yǎng)學(xué)生將物理問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題以及運(yùn)用數(shù)學(xué)進(jìn)行推理計(jì)算的能力。馬克思曾說過:“一切科學(xué)只有成功地運(yùn)用數(shù)學(xué)時(shí)，才算達(dá)到了真正完善的地步?！睂Υ?，《考試大綱》中也有明確的闡述：“要求學(xué)生能根據(jù)具體問題列出物理量間的關(guān)系式，進(jìn)行推導(dǎo)和求解，并根據(jù)結(jié)果得出物理結(jié)論；必要時(shí)能運(yùn)用幾何圖形及函數(shù)圖象進(jìn)行表達(dá)、分析，能進(jìn)行正確的數(shù)學(xué)運(yùn)算?！睌?shù)學(xué)方法是研究物理問題、進(jìn)行科學(xué)抽象和思維推理的重要工具，而且在高考物理試題中，數(shù)理結(jié)合問題往往成為考查學(xué)生綜合能力與素質(zhì)的重要題型。因此，要將培養(yǎng)學(xué)生將物理問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題以及運(yùn)用數(shù)學(xué)進(jìn)行推理計(jì)算的能力作為高中物理教學(xué)的核心目標(biāo)之一，始終貫穿于高中物理課堂教學(xué)之中。比如，在“直線運(yùn)動”一章中，教會學(xué)生利用極限概念和圖象研究速度、加速度和位移；用代數(shù)法和幾何法研究運(yùn)動規(guī)律和軌跡；用矢量運(yùn)算法則研究位移與速度的合成和分解等。

另外，在習(xí)題教學(xué)中，進(jìn)行具有針對性的訓(xùn)練，也是提高學(xué)生利用數(shù)學(xué)方法解決物理問題的能力的重要途徑。并利用習(xí)題教學(xué)讓學(xué)生掌握常用的數(shù)學(xué)方法，包括：數(shù)學(xué)方程法、函數(shù)極值法、基本不等式的運(yùn)用方法、微元法、幾何方法、圖象法、數(shù)學(xué)遞推歸納法等。

【例題】在水平軌道上有兩列火車A和B相距x，A車在后面做初速度為v0、加速度大小為2a的勻減速直線運(yùn)動，而B車同時(shí)做初速度為零、加速度為a的勻加速直線運(yùn)動，兩車運(yùn)動方向相同。要使兩車不相撞，求A車的初速度v0滿足什么條件。

在教授這樣的習(xí)題時(shí)，筆者通常會讓學(xué)生運(yùn)用多種數(shù)學(xué)方法進(jìn)行求解，以求數(shù)理結(jié)合訓(xùn)練成效的最大化。

【解法一】臨界法:

火車A和B運(yùn)動過程，如圖4所示。

兩車位移關(guān)系有x=xA-xB，

追上時(shí)，兩車不相撞的臨界條件是vA=vB，

【解法二】函數(shù)法:

由解法一可知xA=x+xB，

整理得3at2-2v0t+2x=0。

【解法三】圖象法:

先作A、B兩車的v-t圖象，如圖5所示，設(shè)經(jīng)過t時(shí)間兩車剛好不相撞，則對A車有vA=v′=v0-2at，

對B車有vB=v′=at，

經(jīng)t時(shí)間兩車發(fā)生的位移之差為原來兩車間距離x，它可用圖中的陰影面積表示，由圖象可知